☉江蘇省常熟市中學(xué)　張靜芬

高中數(shù)學(xué)思維指導(dǎo)下的解題技巧

☉江蘇省常熟市中學(xué)張靜芬

高中階段數(shù)學(xué)學(xué)科依然占據(jù)主要地位，數(shù)學(xué)考試也是備受學(xué)生和家長(zhǎng)關(guān)注.試卷中各種數(shù)學(xué)題型變幻莫測(cè)，各方面知識(shí)點(diǎn)考查齊全，經(jīng)常讓學(xué)生應(yīng)接不暇.課下有學(xué)生反映考試時(shí)數(shù)學(xué)卷做不完、檢查沒(méi)時(shí)間，手慢腳亂忙了一陣，成績(jī)也不理想，這讓很多學(xué)生和家長(zhǎng)感到苦惱，要想改善這種狀況其實(shí)訣竅就在于能否熟練地掌握解題技巧.解題技巧不是孤立的，要在一定的數(shù)學(xué)思維指導(dǎo)下，這樣學(xué)生才能掌握數(shù)學(xué)的精髓，無(wú)論題型如何變幻，都能應(yīng)對(duì)自如.

班里經(jīng)常有這樣的孩子，平時(shí)非常用功，抓緊每一分每一秒學(xué)習(xí)，甚至吃飯的時(shí)候都是一邊端著碗一邊看著書(shū)，盡管如此，學(xué)習(xí)效果卻不是很理想，為此他們非?？鄲?其實(shí)高效的學(xué)習(xí)不應(yīng)該是一味、單純地挖知識(shí)，一定要有科學(xué)、合理的思想來(lái)指導(dǎo).知識(shí)是肉身，思想是靈魂，它們相輔相成缺一不可，沒(méi)有知識(shí)的思想只是一具空殼，沒(méi)有思想的知識(shí)也只是行尸走肉，只有知識(shí)和思想相結(jié)合才是真正的學(xué)習(xí).高中數(shù)學(xué)一直是學(xué)生們望而生畏的一門(mén)課程，很多學(xué)生苦苦專(zhuān)研，也找不到解題的要領(lǐng)，所以，教師要教會(huì)學(xué)生站在思想的高度掌握解題技巧.

一、發(fā)散性思維指導(dǎo)下的圖解法

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)避免不了要應(yīng)用到圖形，它是解決數(shù)學(xué)難題不可或缺的一種輔助手段，圖形一出現(xiàn)很多已知條件躍然圖中，很容易找到解題的突破口.但是，找到突破口也要帶著目的性、選擇性，不能全部拿來(lái)，眉毛胡子一把抓.要求學(xué)生要具有發(fā)散思維，化抽象為具體，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，以不變對(duì)萬(wàn)變.先綜合所有已知條件思考整個(gè)問(wèn)題，在把握大局的前提下分清主次，接下來(lái)抓住主要的特征，從主要的思維角度入手，一步一步達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

分析：此題中不等式的兩邊都是基本函數(shù)，左邊是指數(shù)函數(shù)，右邊是對(duì)數(shù)函數(shù)，充分利用此特征，作出兩個(gè)函數(shù)圖像，利用圖解法能更好解決此題.在高中數(shù)學(xué)中，利用圖解法，可以比較函數(shù)值的大小，確定參數(shù)范圍，也能利用圖像解決一些方程的解和零點(diǎn)問(wèn)題等.

因?yàn)閘ogax>4x>1，所以0

令f（x）=4x，g（x）=logax，如圖1，當(dāng)

圖1　

又因?yàn)間（x）=logax，x0∈（0，1），a1，a2∈（0，1）且a1loga1x0，

圖解法有圖形，有數(shù)字，有已知條件，有相關(guān)結(jié)論.一個(gè)圖形，多個(gè)數(shù)量關(guān)系，把它們緊密地結(jié)合在一起，先分解，后整合，也是對(duì)學(xué)生發(fā)散性思維的一種鍛煉.這種方法的應(yīng)用范圍很廣，高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)經(jīng)常用到，有時(shí)只在草紙上操作，簡(jiǎn)單易行.我們要學(xué)會(huì)掌握這種方法的精髓，而不是只了解簡(jiǎn)單的皮毛，爭(zhēng)取把它內(nèi)化為自己的一種本領(lǐng).本領(lǐng)在手，不光是數(shù)學(xué)學(xué)科可以用，其他學(xué)科也能用得到，乃至以后遇到其他事情也可以用到這種思維方式..

二、創(chuàng)造性思維指導(dǎo)下的變量代換

高中數(shù)學(xué)有很多題涉及到函數(shù)、導(dǎo)數(shù)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)個(gè)個(gè)都是難關(guān)，非?？鄲?變量代換法既能解決這些難題，又便于學(xué)生掌握，教學(xué)中值得傳授.變量代換，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是引入一個(gè)變量，運(yùn)用相關(guān)知識(shí)予以技巧性的變化來(lái)替換已知條件中的某些定量，得到新的變量，接下來(lái)再展開(kāi)對(duì)新變量的研究，把研究結(jié)果代入原式得出我們要的結(jié)論.這種替換可以連接已知和未知，相當(dāng)于借助中介的力量轉(zhuǎn)化原問(wèn)題的難度，達(dá)到簡(jiǎn)化的目的.這種方法如果用的恰到好處，可以收到事半功倍的效果.

例2不等式x+y≤k（2x+y）對(duì)任意正實(shí)數(shù)x、y恒成立，求k的取值范圍.

分析：這道題中涉及到兩個(gè)變量和一個(gè)參數(shù)，這樣會(huì)使學(xué)生有點(diǎn)手足無(wú)措.如果能將兩個(gè)變量轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量，這樣會(huì)使得題目更容易解決.所以解題時(shí)需先引入一個(gè)新的變量，變量的介入讓不等式改變了原形，再對(duì)變形后的新變量進(jìn)行討論.此題先把兩端分別除以y變量，即可得到，這樣由原來(lái)的x、y兩個(gè)變量變?yōu)?，然后進(jìn)行變量分離，可得，因?yàn)?t+1>1，所以1，最后可得k≥1，則k的取值范圍為［1， +∞）.

另外還有很多類(lèi)似的題目都可以采用此方法來(lái)解決.例如：已知不等式x2+y2≥k·2xy對(duì)任意正實(shí)數(shù)x、y恒成立，求k的取值范圍.此題可以?xún)蛇呁?xy，可得k≤再利用基本不等式可得k≤1.

三、邏輯性思維指導(dǎo)下的觀(guān)察法

提到觀(guān)察法很多學(xué)生會(huì)認(rèn)為這是物理和化學(xué)學(xué)科常用的方法，數(shù)學(xué)就應(yīng)該是計(jì)算，其實(shí)不然，數(shù)學(xué)學(xué)科有很多問(wèn)題通過(guò)觀(guān)察也能找到我們想要的答案.當(dāng)然這里說(shuō)的觀(guān)察不是漫無(wú)目的地瞅來(lái)瞅去，而是帶著尋找答案的目的，發(fā)動(dòng)我們的感官去觀(guān)察.另外，這里說(shuō)的觀(guān)察也不是只抓問(wèn)題的一部分，而是要從整體上把握問(wèn)題的脈絡(luò).所以，細(xì)說(shuō)起來(lái)，觀(guān)察法運(yùn)用的過(guò)程中心要細(xì)，眼要尖，這樣才能尋找突破口，抓住關(guān)鍵，厘清解題思路，做了這些鋪墊什么問(wèn)題都不難了.

本題就是通過(guò)直接觀(guān)察獲取答案的典型例題，適合一類(lèi)函數(shù)值域的求法，一目了然.當(dāng)然在實(shí)際做題過(guò)程中很多習(xí)題難度要比這個(gè)多很多，但是解題思路都是一樣的.主要是通過(guò)此種方法培養(yǎng)學(xué)生的觀(guān)察能力，它是一名優(yōu)秀的學(xué)生應(yīng)該具備的基本素質(zhì).無(wú)論是學(xué)習(xí)還是生活具備觀(guān)察能力都是孩子們具有一項(xiàng)生存技能.善于觀(guān)察才能發(fā)現(xiàn)事物的前因和后果，才能分辨出事情的真實(shí)和虛偽，才能發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方案和技巧，最后才能做學(xué)習(xí)的強(qiáng)者.

四、逆向思維指導(dǎo)下的反證法

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域思考問(wèn)題，我們習(xí)慣于邏輯推理，從已知推出結(jié)論.但在做題的過(guò)程中常常會(huì)遇到從正面證明有困難，或者情況比較多挺復(fù)雜，而反面只有一種情況，相對(duì)簡(jiǎn)單，這時(shí)可以考慮用反證法.所謂反證，就是從反面入手去證明，打破了常規(guī)的思維模式，有另辟蹊徑的感覺(jué).一般不等式證明常用它，如果題中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等字眼就具備了用反證法的條件了.反證法思維方式獨(dú)特，開(kāi)闊眼界，能夠培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.

例4如果p1p2=2（q1+q2），求證；二次函數(shù)y=x2+p1x+ q1和y=x2+p2x+q2的圖像至少有一個(gè)與x軸相交.

分析：該題如果直奔主題去求解很難，不知道從何處下手，無(wú)法斷定哪一個(gè)函數(shù)的圖像與x軸相交.那么我們不妨從問(wèn)題的另一面去考慮，也就是反其道而行之，假設(shè)y=x2+p1x+q1和y=x2+p2x+q2的圖像都不與x軸相交，便得到兩個(gè)判別式，再加上p1p2=2（q1+q2）這個(gè)已知條件，代入求得，即能判斷能否與x軸相交.

證明：假設(shè)二次函數(shù)y=x2+p1x+q1和y=x2+p2x+q2的圖像都不與x軸相交，則有

又因?yàn)閜1p2=2（q1+q2），

所以2p1p2=4（q1+q2），

通過(guò)上題的分析讓我們找一找反證法的適用條件.此題已知條件較少，就只有p1p2=2（q1+q2）一個(gè)，而且它和問(wèn)題之間關(guān)系不是很直接，再加上問(wèn)題“y=x2+p1x+q1和y= x2+p2x+q2的圖像至少有一個(gè)與x軸相交”相對(duì)來(lái)講很抽象，不具體.而其反面結(jié)論恰恰相反，不但具體，還容易入手，這種情況最適合運(yùn)用反證法，這是一種逆向思維方式，打破常規(guī)，實(shí)際做題過(guò)程中多加訓(xùn)練就很容易掌握.

數(shù)學(xué)思維的有效培養(yǎng)可以形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)，數(shù)學(xué)方法的掌握可以提升學(xué)生解題效率.數(shù)學(xué)思維方式不是與生俱來(lái)的，是在不斷的學(xué)習(xí)知識(shí)，掌握和運(yùn)用方法的基礎(chǔ)上形成的，數(shù)學(xué)解題方法也不是一學(xué)就會(huì)的，是在數(shù)學(xué)思維的指導(dǎo)下，不斷的實(shí)踐和訓(xùn)練慢慢掌握的.所以，要想在數(shù)學(xué)上得高分就必須開(kāi)拓思維，認(rèn)真研究，多方面挖掘，總結(jié)和掌握各種解題技巧，技巧熟練，運(yùn)用自如，才能及時(shí)答疑解惑，拓展思路，發(fā)展智力.

1.曾定.淺談高中數(shù)學(xué)解題反思［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2013（12）.

2.曾慶珊.高中數(shù)學(xué)四種解題教學(xué)模式的教學(xué)實(shí)踐研究［D］.長(zhǎng)沙：湖南師范大學(xué)，2014.

3.談敏.逆向思維在高中數(shù)學(xué)解題中的一些應(yīng)用［J］.語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（數(shù)學(xué)教育），2013（12）.