☉湖南省株洲縣第五中學(xué)　方厚良羅燦

談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之直觀想象與培養(yǎng)*

☉湖南省株洲縣第五中學(xué)方厚良羅燦

一、問(wèn)題的提出

《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》把“研究制訂學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”作為推進(jìn)關(guān)鍵領(lǐng)域和主要環(huán)節(jié)改革的著力點(diǎn).學(xué)科核心素養(yǎng)是核心素養(yǎng)體系的重要組成部分，是實(shí)踐核心素養(yǎng)的主陣地.按先行啟動(dòng)普通高中課程修訂工作的要求，以王尚志教授為修訂組長(zhǎng)的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組，通過(guò)多方研討、征詢、論證，提出了“六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.從大的方面講，核心素養(yǎng)是深化基礎(chǔ)教育課程改革，落實(shí)素質(zhì)教育目標(biāo)的關(guān)鍵要素，是素質(zhì)教育研究的再出發(fā)；從學(xué)科教育教學(xué)層面講，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是保障數(shù)學(xué)學(xué)科育人的關(guān)鍵.但目前，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂工作仍在進(jìn)行，新課標(biāo)尚未出臺(tái)，具體到這六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，雖然我們對(duì)它構(gòu)建的背景和意義有一定的了解，但仍有很多問(wèn)題（疑惑）要問(wèn)，如“為什么以這六個(gè)為核心素養(yǎng)而不是其他（依據(jù)）？對(duì)每個(gè)核心素養(yǎng)如何進(jìn)行內(nèi)涵界定和具體闡釋？各素養(yǎng)之間的關(guān)系如何？怎樣在教學(xué)實(shí)踐中操作？”等等.筆者認(rèn)為，就象之前“四基”中的數(shù)學(xué)基本思想方法和數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，它們都是發(fā)展著、生長(zhǎng)著的概念或理論，課標(biāo)給出的是基本框架和大的方向，數(shù)學(xué)家、專家們有高層次的理解，一線教師也不必自卑，要在學(xué)習(xí)中融入個(gè)人思考形成自己的看法.實(shí)際上，真正和學(xué)生打交道的還是教師，教師的理解可能更重要.所以，本文選取“直觀想象”這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從一線教師視角，整理自己對(duì)該課題的一些學(xué)習(xí)和思考，拋磚引玉，希望方家指正和教誨.

二、作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的直觀想象

對(duì)直觀想象，可從分解與整合的角度探討.首先，直觀、想象是不同的思維方法或思維形式，需對(duì)它們的性質(zhì)、功能、特點(diǎn)進(jìn)行分開(kāi)探討；其次，考慮兩者間的聯(lián)系和關(guān)系，想象也可建立在直觀基礎(chǔ)之上，視為直觀的延伸，二者結(jié)合為一個(gè)連續(xù)性的整體.“普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）”將“直觀感知”和“空間想象”是作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題需經(jīng)歷的思維過(guò)程、具體體現(xiàn)提出來(lái)的；6條具體課程目標(biāo)中的第2條，將空間想象要求為五大基本能力之一.從這一比較，我們也可將“直觀想象”這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視為“幾何直觀”“空間想象”觀念的發(fā)展和融合.

1.直觀

直觀，是指通過(guò)對(duì)客觀事物的直接接觸而獲得的感性認(rèn)識(shí).希爾伯特在他的《幾何基礎(chǔ)》第一版的扉頁(yè)引用了康德的一段話：人類的一切知識(shí)都是從直觀開(kāi)始，從那里進(jìn)到概念，而以理念結(jié)束.對(duì)“直觀”可以做通俗解讀，也可做哲學(xué)思辨，本文不從直觀的各種定義抽象分析，僅選取一些教育家、數(shù)學(xué)家對(duì)“直觀”的看法，從教育，特別是數(shù)學(xué)教育的角度來(lái)紹介，也許對(duì)“直觀”在認(rèn)識(shí)上能獲得更適宜感受、啟發(fā)和把握.

張楚廷先生在文［1］對(duì)直觀闡述了自己的理解：直觀的東西必定具體，具體的東西不一定能直觀，對(duì)于教學(xué)效果的講究來(lái)說(shuō)，具體的東西（而難以直觀者）就夠了，如2，3，4，…這些東西很具體了，但并不直觀.直觀的方法雖然十分重要，但一方面有時(shí)候并不有效，到了一定時(shí)候也并無(wú)必要了.直觀的認(rèn)識(shí)只是認(rèn)識(shí)的一個(gè)片段，教學(xué)的目的要求我們不能讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)停留在這一片段……但它有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)的入門，利于學(xué)生接受新概念和原理，也利于記憶.

數(shù)學(xué)家徐利治在“談?wù)勎业囊恍?shù)學(xué)治學(xué)經(jīng)驗(yàn)”提到“重視直觀”：學(xué)習(xí)一條數(shù)學(xué)定理及其證明，只有當(dāng)我能把定理的直觀含義和直觀思路弄明白了，我才認(rèn)為真正懂了；在科學(xué)研究中，我也常常借助于由經(jīng)驗(yàn)獲得直觀能力，以猜測(cè)的方式去探索某些可能取得的成果；一般英文辭典中，常把intuition譯作直覺(jué)、直觀，足見(jiàn)直觀與直覺(jué)兩詞的涵義會(huì)有不少相通或相同之處，但在數(shù)學(xué)中，我寧愿把“直觀”一詞解釋為借助于經(jīng)驗(yàn)、觀察、測(cè)試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對(duì)事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí)，例如，借助于見(jiàn)到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知，即可稱之為“幾何直觀”.

蘇霍姆林斯基在文［2］的“談?wù)勚庇^性問(wèn)題”中對(duì)直觀（性）有些重要闡述：直觀性是年齡較小的學(xué)生的腦力勞動(dòng)一條普遍規(guī)則；直觀手段只是在促進(jìn)思維積極化的一定階段上才是需要的；應(yīng)當(dāng)逐步地由實(shí)物的直觀手段向繪畫(huà)的直觀手段過(guò)渡，然后再向提供事物和現(xiàn)象的符號(hào)描述的直觀手段過(guò)渡；要引導(dǎo)學(xué)生由繪畫(huà)的直觀性過(guò)渡到詞的形象的直觀性；直觀手段應(yīng)當(dāng)使學(xué)生把注意力放在最主要、最本質(zhì)的東西上去.

2.想象

文［3］指出：在研究圖形的性質(zhì)（即圖形的形狀、大小和位置關(guān)系）時(shí)，除直接給出一些基本圖形的性質(zhì)外，總要根據(jù)所給具體圖形的特點(diǎn)和解決它的需要，把它分解和重新組合，即在頭腦中進(jìn)行操作，出現(xiàn)一些異于當(dāng)前所給圖形的一些新的圖形，這就是“想象”.例如在解決幾何問(wèn)題時(shí)，常常要從眼前的圖形，通過(guò)“想象”，構(gòu)造出新的圖形（如添加輔助線），找出新的關(guān)系，才能解決.這種想象幾何圖形的能力，就是空間想象能力.

文［4］認(rèn)為，數(shù)學(xué)想象是對(duì)數(shù)學(xué)形象的特征推理，它是數(shù)學(xué)表象與數(shù)學(xué)直感在主體頭腦中的有機(jī)聯(lián)結(jié)和組合；數(shù)學(xué)想象是似真推理（或合情推理）的基本成分.數(shù)學(xué)想象有著各種不同的表現(xiàn)形式，按照想象的特點(diǎn)來(lái)分，可以分成圖形想象和圖式想象兩類；按照想象的深度來(lái)分，則可以分成聯(lián)想（包括回憶、追想等）和猜想兩類，聯(lián)想是一種再造性想象，而猜想是屬于創(chuàng)造性想象，在聯(lián)想和猜想之間還有一些近義的中間層次，按照逐漸加深的順序是：聯(lián)想→推想→設(shè)想→構(gòu)想→猜想.圖形想象是以空間形象直感為基礎(chǔ)的對(duì)數(shù)學(xué)圖形表象的加工與改造，是對(duì)幾何圖形的形象建構(gòu)；圖式想象是以數(shù)學(xué)直感為基礎(chǔ)的對(duì)數(shù)學(xué)圖式（數(shù)量關(guān)系的解析表現(xiàn)）表象的加工與改造.它們包括圖形（圖式）構(gòu)想、圖形（圖式）表達(dá)、圖形（圖式）識(shí)別和圖形（圖式）推理四個(gè)層次.圖式是數(shù)量關(guān)系的引申，而又是對(duì)圖形的抽象和概括；圖形是數(shù)量關(guān)系的形象表現(xiàn)，而又是圖式的直觀顯示.

3.作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的直觀想象

鮑建生教授在“高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中若干問(wèn)題”講座中談及“聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，介紹了作為核心素養(yǎng)的直觀想象的4方面表現(xiàn)形式：（1）利用圖形描述數(shù)學(xué)問(wèn)題；（2）利用圖形理解數(shù)學(xué)問(wèn)題；（3）利用圖形探索和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題；（4）構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型.從直觀想象的4個(gè)表現(xiàn)，我們可以做如下解讀：

首先，從數(shù)學(xué)學(xué)科角度，對(duì)直觀想象提出自己的要求，那就是直觀、想象的載體是“圖形”，因?yàn)槠渌麑W(xué)科也存在直觀和想象的問(wèn)題，突出學(xué)科特點(diǎn)，數(shù)、形是數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)的基本對(duì)象，相對(duì)而言，形直觀，數(shù)抽象，正如華羅庚名言：數(shù)缺形難達(dá)直觀，形缺數(shù)難以入微.其次，相對(duì)以往，對(duì)“圖形”概念擴(kuò)大了范圍，由幾何圖形，拓展包括各種函數(shù)圖像及其變換、向量的幾何意義與運(yùn)算等.再次，也應(yīng)考慮現(xiàn)代技術(shù)手段的介入，特別是一些強(qiáng)大軟件的作圖功能，將原先難以做到的變?yōu)橹庇^，為想象提供更高平臺(tái)和起點(diǎn).

三、談學(xué)生直觀想象的培養(yǎng)

史寧中教授在文［5］說(shuō)：“數(shù)學(xué)知識(shí)的形成依賴于直觀，數(shù)學(xué)知識(shí)的確定依賴于推理，也就是說(shuō)，在大多數(shù)的情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是‘看’出來(lái)的而不是‘證’出來(lái)的，所謂‘看’是一種直覺(jué)判斷，這種直覺(jué)判斷建立在長(zhǎng)期的有效能的觀察和思考的基礎(chǔ)上……‘人為什么能夠獲取知識(shí)’這個(gè)問(wèn)題……就是因?yàn)槿司哂幸环N能力，我們姑且稱這個(gè)能力為‘直觀能力’.直觀能力的存在是先天的，但一個(gè)好的直觀能力的養(yǎng)成卻是依賴于經(jīng)驗(yàn)的.”在文［6］則指出“直觀不是‘教’出來(lái)的，而是自己‘悟’出來(lái)的，這就需要經(jīng)驗(yàn)積累”.這些見(jiàn)解，對(duì)我們培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象這一核心素養(yǎng)有重要的指導(dǎo)意義.我的理解是，教師要選擇典型的數(shù)學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)探討情境，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生觀察和思考，在豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)歷中積累自己的“直觀想象”經(jīng)驗(yàn)，“悟”出門道.結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程，筆者以為可從以下4各方面來(lái)著手培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象.

1.學(xué)函數(shù)，用圖像

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.以函數(shù)為主線可以將很多數(shù)學(xué)內(nèi)容“串”起來(lái)：函數(shù)、不等式、方程、數(shù)列、微積分等，占高中數(shù)學(xué)課程的“半壁江山”.但函數(shù)的概念抽象，內(nèi)涵豐富，思想精微.用“學(xué)函數(shù)，用圖像”觀點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)：從概念層面看，豐富表征，完善結(jié)構(gòu)，便于概念抽象；從思想方法層面看，以形助數(shù)、數(shù)形溝通，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合；從學(xué)習(xí)心理角度看，用圖思考，形象直觀，有助于建立信心.

“學(xué)函數(shù)，用圖像”具體表現(xiàn)為：

（1）用圖像，從“形”的角度刻畫(huà)和理解函數(shù)及其相關(guān)概念；

（2）用圖像，為函數(shù)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)、描述、理解和記憶提供方法；

（3）用圖像，從變換的視角將復(fù)雜函數(shù)“看”簡(jiǎn)單；

（4）用圖像，架起方程（不等式）通往函數(shù)的“橋梁”；

（5）用圖像，構(gòu)建直觀模型使抽象函數(shù)問(wèn)題不抽象.

2.研究空間位置關(guān)系，用好長(zhǎng)方體這一直觀模型

立體幾何初步的教學(xué)重點(diǎn)是幫助學(xué)生逐步形成空間想象能力.課標(biāo)（實(shí)驗(yàn)）要求內(nèi)容設(shè)計(jì)遵循從整體到局部、具體到抽象的原則；以長(zhǎng)方體為模型和載體，直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.熟悉長(zhǎng)方體空間基本元素的關(guān)系和性質(zhì)，把空間關(guān)系的一些重要結(jié)論放到長(zhǎng)方體來(lái)觀察和思考，既易于發(fā)現(xiàn)又便于記憶，一些復(fù)雜的幾何體，可以借助割補(bǔ)法化歸為長(zhǎng)方體（有時(shí)更特殊為正方體）模型處理，打開(kāi)思路，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化.

例1（2014全國(guó)新課標(biāo)I卷理12）如圖1，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為（）

圖1　

分析：三視圖和直觀圖之間的“互化”是高考考查空間想象力的重要載體.三視圖需想象從正面、側(cè)面和下面三個(gè)角度“豎”起與平行光線垂直的投影面，長(zhǎng)方體當(dāng)然具有現(xiàn)成的面可供選取，我們就可以考慮把一些空間幾何體置于長(zhǎng)方體（或正方體）模型中并利用割補(bǔ)法想象實(shí)施，構(gòu)造出所要研究的幾何對(duì)象.本題就是一個(gè)經(jīng)典例子：從水平標(biāo)準(zhǔn)放置的棱長(zhǎng)為4的正方體中割出一個(gè)三棱錐，如圖2，并易知三棱錐E-CC1D1（其中E為BB1的中點(diǎn)）最長(zhǎng)的棱為D1E=

圖2　

3.理解好向量幾何意義，發(fā)揮向量幾何直觀優(yōu)勢(shì)

在高中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)中，向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，向量及其運(yùn)算工具性貫穿于高中數(shù)學(xué)教材體系不同內(nèi)容和不同問(wèn)題之中.但對(duì)向量概念及其運(yùn)算，中學(xué)可能強(qiáng)調(diào)代數(shù)坐標(biāo)運(yùn)算過(guò)了頭，特別是空間向量處理立體幾何問(wèn)題.其實(shí)向量有豐富的幾何背景和幾何意義，要加大從“形”的角度理解好向量，養(yǎng)成主動(dòng)想圖、作圖和用圖思考的習(xí)慣，“看”出思路，“看”出簡(jiǎn)潔.

例2（2005年浙江理10）已知向量a≠e，|e|=1滿足：對(duì)任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，則（）

A.a⊥eB.a⊥（a-e）

C.e⊥（a-e）D.（a+e）⊥（a-e）

思路1：從代數(shù)運(yùn)算變形角度考慮，將向量模的不等式用平方法變形整理為關(guān)于實(shí)數(shù)t的一元二次不等式恒成立問(wèn)題.

原問(wèn)題等價(jià)于t2-2a·et+（2a·e-1）≥0對(duì)任意t∈R均成立，則有△=（-2a·e）2-4（2a·e-1）≤0?（a·e-1）2≤0.所以a·e=1.

所以e·（a-e）=e·a-e2=1-1=0.所以e⊥a-（）e.選C.

4.解析幾何，仍要重視圖的作用

解析幾何是數(shù)形結(jié)合的經(jīng)典內(nèi)容，雖然它的主體思想是代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，但仍需強(qiáng)調(diào)圖形的重要性，包括：從圖形的觀察，特別是運(yùn)動(dòng)變化中的不變性，抓住幾何特征，再將其坐標(biāo)翻譯為方程，如橢圓是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和為定值的點(diǎn)的幾何，即幾何特征為｛P||PF1|+|PF2|=2a｝；熟練掌握?qǐng)A錐曲線的基本量a，b，c，e，p的幾何意義、公式的幾何意義（斜率坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式等）、參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義、極坐標(biāo)中極角極徑θ，ρ的幾何意義等；養(yǎng)成畫(huà)圖、用圖思考和探尋簡(jiǎn)化運(yùn)算路徑的好習(xí)慣.

四、結(jié)束語(yǔ)

本文僅是對(duì)直觀想象的初步探討，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為新課程改革深化的重大突破成果，要研究的東西確實(shí)太多太多，既要在理論層面去完善，更要在教學(xué)層面上去實(shí)踐.鮑建生教授認(rèn)為：數(shù)學(xué)素養(yǎng)是在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上在數(shù)學(xué)活動(dòng)中逐步養(yǎng)成的，應(yīng)貫穿從小學(xué)到大學(xué)所有的數(shù)學(xué)活動(dòng)中；數(shù)學(xué)素養(yǎng)是按照水平逐步提高的，不同的人在數(shù)學(xué)素養(yǎng)上也有不同的特點(diǎn)；數(shù)學(xué)素養(yǎng)之間有較高的相關(guān)性，設(shè)計(jì)綜合性、開(kāi)放性的數(shù)學(xué)任務(wù)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效途徑；對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的評(píng)價(jià)需要改進(jìn)評(píng)價(jià)工具和方式.筆者以為，這些觀點(diǎn)擴(kuò)大了我們對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的思考空間，可作為我們下一步深入探索數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究課題.

1.張楚廷.數(shù)學(xué)原則今論［M］.長(zhǎng)沙：湖南師范大學(xué)出版社，1994.

2.瓦·阿·蘇霍姆林斯基，著.給教師的建議［M］.杜殿坤，編譯.北京：教育科學(xué)出版社，1984.

3.鄭君文，張恩華.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論［M］.南寧：廣西教育出版社，1996.

4.任樟輝.數(shù)學(xué)思維論［M］.南寧：廣西教育出版社，1996.

5.史寧中.數(shù)學(xué)的抽象［J］.東北師大學(xué)報(bào)（哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版），2008（5）.

6.史寧中.數(shù)學(xué)的基本思想［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2011（1）.

7.方厚良.學(xué)函數(shù)，用圖象.［J］中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中），2016（4）.

*本文為湖南省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度基礎(chǔ)教育研究課題“普通高中數(shù)學(xué)教材的心理化研究”（課題編號(hào)：XJK015CZXX074，主持人：方厚良）的研究成果之一.