☉江蘇省南通市通州區(qū)金沙曹衛(wèi)民

從思想視角入手課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

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課堂教師設(shè)計(jì)考驗(yàn)的是教師的綜合能力，這不僅是對(duì)基本知識(shí)傳授順序性、合理性等的思考，還需要考慮在傳承知識(shí)的同時(shí)，在思想方法等角度是否給予學(xué)生有足夠的啟發(fā).筆者近期從一堂公開課設(shè)計(jì)的思想視角談一談，如何在尊崇學(xué)生學(xué)情基礎(chǔ)上，結(jié)合知識(shí)與思想進(jìn)行的教學(xué)設(shè)計(jì)，請(qǐng)讀者批評(píng)指正.

一、設(shè)計(jì)準(zhǔn)備

1.最近知識(shí)發(fā)展區(qū)

在這節(jié)課時(shí)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次不等式的簡(jiǎn)單解法以及運(yùn)用二次不等式與二次函數(shù)、二次方程的關(guān)系解決實(shí)際運(yùn)用問題.對(duì)于三個(gè)“二次”之間的轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合已經(jīng)有了一定的體會(huì)，這將有助于學(xué)生在本節(jié)課學(xué)習(xí)中利用分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想綜合處理問題.

2.學(xué)生能力儲(chǔ)備

學(xué)生在初中學(xué)習(xí)中對(duì)一元一次不等式組、二次函數(shù)的圖像以及二次方程已經(jīng)有了深刻的學(xué)習(xí)，但對(duì)于一元二次不等式與圖像及方程綜合結(jié)合解題的方法和思想不是很熟練.前兩節(jié)課已經(jīng)學(xué)會(huì)利用圖像解二次不等式以及簡(jiǎn)單含參問題的分類討論有所了解.但是對(duì)于含有多個(gè)變量的不等問題的處理的能力還是不足，不會(huì)對(duì)其題意進(jìn)行轉(zhuǎn)化、不會(huì)利用數(shù)形結(jié)合思想綜合分析.

二、策略分析

通過以上對(duì)本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的重難點(diǎn)、學(xué)生學(xué)情的分析，以及所要達(dá)成的學(xué)習(xí)目標(biāo)，特對(duì)本節(jié)課的教學(xué)作如下安排：

（1）以簡(jiǎn)單含參二次不等式的具體實(shí)例進(jìn)行引入，加深學(xué)生利用函數(shù)圖像解二次不等式的解法理解，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)參數(shù)的分類討論、利用數(shù)形結(jié)合思想解題；

（2）根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，通過對(duì)變式及思考，將解不等式問題層層深入、梯級(jí)拓展，進(jìn)而對(duì)二次不等式的恒成立問題的化歸思想的應(yīng)用、利用數(shù)形結(jié)合解題、變參分離的處理方式、主次變量的正確選取等方法有一定的了解.

三、過程設(shè)計(jì)

1.舊題新做，引入主題

解關(guān)于x的不等式x2+（a-4）x+4-2a<0.

師：該二次不等式是含有參數(shù)a的不等式，可因式分解為（x-2）［x-（2-a）］＜0，根據(jù)二次不等式的解法，兩根x1=2，x2=2-a的大小未定，討論根的大小，進(jìn)而解不等式.

解析：當(dāng)2＞2-a，即a＞0時(shí)，2-a＜x＜2；當(dāng)a=0時(shí)，x≠2；當(dāng)2<2-a，即a<0時(shí)，2

設(shè)計(jì)思路：設(shè)計(jì)問題主要是刺激學(xué)生回憶自己已有的知識(shí)和技能，回憶起含參二次不等式的解法，有意識(shí)地使學(xué)生和函數(shù)圖像緊密結(jié)合解題的習(xí)慣，另外是對(duì)不等式中參數(shù)a的重要作用重視.

2.拓展探究，層層上升

預(yù)設(shè)：如何將本題題意進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化可能是學(xué)生思維上的不足，如何引導(dǎo)學(xué)生做正確的等價(jià)轉(zhuǎn)化，這里需做好合理的引導(dǎo).

師：根據(jù)題目文字?jǐn)⑹瞿憧傻葍r(jià)轉(zhuǎn)化為什么數(shù)學(xué)條件？并能總結(jié)出哪些數(shù)學(xué)關(guān)系式？（學(xué)生單獨(dú)回答）

師：該題函數(shù)的簡(jiǎn)單綜合，以冪函數(shù)為模型實(shí)質(zhì)為二次函數(shù)特征.利用冪函數(shù)的定義域被開方數(shù)大于等于0，轉(zhuǎn)化為x2+（a-4）x+4-2a≥0.

解析：由題意等價(jià)為x2+（a-4）x+4-2a≥0在R上恒成立，則Δ=（a-4）2-4（4-2a）≤0，解得a=0.

設(shè)計(jì)思路：該題以基本初等函數(shù)的基本性質(zhì)和二次函數(shù)的圖像特征為知識(shí)基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生解決函數(shù)綜合問題的能力，會(huì)利用化歸思想解題.

變式2二次函數(shù)f（x）=x2+（a-4）x+4-2a，若不等式f（x）＜0的解集為A，又B=｛x|1＜x＜3｝，若A?B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

預(yù)設(shè)：在這題的學(xué)生可能會(huì)先從解出集合A入手，進(jìn)而再利用集合的包含關(guān)系求a，學(xué)生很容易遺忘空集是任意集合的子集，教師應(yīng)提醒學(xué)生注意思維的縝密性，并在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生利用二次函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合直接解題.

師：根據(jù)題意你們會(huì)直接解出利用A，再利用A包含于集合B解題.

這里解不等式的過程可以省略，參照例1.

師：函數(shù)為二次函數(shù)，根據(jù)前面內(nèi)容我們可作出二次函數(shù)圖像，我們?nèi)绻煤瘮?shù)圖像該怎么解本題？

生：作圖思考.

師：根據(jù)我們已作出的此二次函數(shù)圖像，且函數(shù)f（x）=（x-2）（x-2+a）=0的兩根x1=2，x2=2-a，只需方程的根在區(qū)間（1，3）內(nèi)即可，轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布.但注意空集這種特殊情況.

解析：二次函數(shù)開口向上，利用二次函數(shù)函數(shù)的圖像特征，只需方程f（x）=0的根均在區(qū)間（1，3）內(nèi)，則①A= ?，則a=0；②A≠?，則2∈（1，3），所以2-a∈［1，3］，則a∈［-1，0）∪（0，1］.綜上所得a∈［-1，1］.

設(shè)計(jì)思路：設(shè)計(jì)本題的目的是讓學(xué)生不僅可以在常規(guī)情況下解決含參不等式，更主要是誘導(dǎo)學(xué)生正確利用函數(shù)圖像、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的運(yùn)用.重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合解題的美妙與直觀，進(jìn)而養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的習(xí)慣.

變式3方程（log4x）2+alog4x+4-2a=0在［16，+∞）上有兩不等實(shí)根，求a的取值范圍.

預(yù)設(shè)：學(xué)生對(duì)一元二次方程根的分布有一定的了解，但對(duì)于與其他函數(shù)結(jié)合，利用換元思想可能還不是很熟練，特別是對(duì)數(shù)函數(shù)是學(xué)生的薄弱之處，如何啟發(fā)學(xué)生將對(duì)數(shù)換元進(jìn)而轉(zhuǎn)變成他們熟悉的二次方程，另外學(xué)生換元之后新元素的范圍不一定會(huì)考慮到.

師：關(guān)于x的方程可用換元的思想將log4x=t，則方程就等價(jià)為t2+at+4-2a=0在t∈［2，+∞）有不同兩解，轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布的基本題型.

解析：設(shè)log4x=t，因?yàn)閤≥16?t≥2，所以等價(jià)于方程t2+at+4-2a=0有兩個(gè)大于等于2的不等實(shí)根，則需滿足

設(shè)計(jì)思路：該題是二次不等式與其他知識(shí)的融匯整合，如何將學(xué)生不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，使他們遇到問題做好等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用換元等方法將題型基本化，使問題簡(jiǎn)單化.

課后思考：將條件改為log4x改為2x，將區(qū)間改變又如何呢？

變式4對(duì)于任意α∈［-π，π］，不等式cos2α+（4-a）· sinα+2a-5<0恒成立，求a的取值范圍.

預(yù)設(shè)：學(xué)生看到這個(gè)題干可能被其復(fù)雜形式所嚇倒，但在變式3的基礎(chǔ)之上，可以提示學(xué)生該題是不是也可將題意轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單形式.有些學(xué)生可能對(duì)于題目中多個(gè)變量無(wú)所適從，明確題目中自變量與參數(shù)的正確選擇也是解題的關(guān)鍵.另外這題的解題方法也相對(duì)比較靈活，也是本節(jié)課的重點(diǎn)難點(diǎn)所在，所以可以進(jìn)行小組活動(dòng)，進(jìn)而激發(fā)每個(gè)人的參與度.

師：將學(xué)生進(jìn)行分組活動(dòng)，根據(jù)學(xué)生能力可將學(xué)生四人作為一個(gè)小組，一起解決這個(gè)問題，可以讓學(xué)生讓學(xué)生帶著問題進(jìn)行小組活動(dòng).問題1：利用換元法解該題選擇sinα還是cosα更好？問題2：若換元后轉(zhuǎn)化為什么樣的問題？并能如何解決.問題3：化歸解決此類問題的思路是什么？

可給學(xué)生5分鐘左右時(shí)間，在此過程中教師可參與每個(gè)組，發(fā)現(xiàn)每個(gè)組的思維漏洞或者方法.

學(xué)生成果展示，教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)歸納.

師：根據(jù)上題思想可先換元，將cosα=x，α∈［-π，π］，則x∈［-1，1］，原題就等價(jià)于對(duì)于任意x∈［-1，1］，不等式x2+（a-4）x+4-2a＞0恒成立，求a的取值范圍.那接下去應(yīng)該如何解決該恒成立問題？

師：含參恒成立問題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，也是本節(jié)課的重難點(diǎn).該題為恒成立問題，是關(guān)于x的二次不等式，求參數(shù)a的范圍.一般可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)并利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值或者變參分離為a＞f（x）max或a＜f（x）min解題.

分析：先換元，令cosα=x，α∈［-π，π］，則x∈［-1，1］，原題就等價(jià)于對(duì)于任意x∈［-1，1］，不等式x2+（a-4）x+ 4-2a＞0恒成立，求a的取值范圍.

解法一（利用函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為最值求解）：可令函數(shù)f（x）=x2+（a-4）x+4-2a，題意等價(jià)于f（x）min＞0，x∈［-1，1］.

綜上所得a＜1.

解法二（利用二次函數(shù)圖像特點(diǎn)及二次方程根的分布）：函數(shù)f（x）=x2+（a-4）x+4-2a=（x-2）（x+a-2）的兩根為2和2-a，因?yàn)槎魏瘮?shù)圖像開口向上，所以只需f（x）＜0的解集為［-1，1］交集為空即可，則x2=2-a＞1，即a＜1.

解法三（參變分離）：x2+（a-4）x+4-2a＞0?a（2-x）＜x2-4x+4，因?yàn)閤∈［-1，1］，則2-x＞0，則易得2-x的最小值為1，所以a＜1.

課后思考：將變式4中一次項(xiàng)改為5-2a，或者將x范圍變成（1，3），求a的取值范圍.

師：（方法小結(jié)）解決恒成立問題的方法一般有兩種：第一構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值大于零或最小值小于零，利用函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為最值問題解題；第二變參分離，弄清主次變量轉(zhuǎn)化為a＞f（x）max或a＜f（x）min再利用函數(shù)最值解題.但兩種方法殊途同歸，最后就是求函數(shù)的最值.

設(shè)計(jì)思路：本題是本節(jié)課的重難點(diǎn)，含參的二次不等式恒成立問題，也是常見的不等式恒成立問題.通過本題的學(xué)習(xí)讓學(xué)生了解解決恒成立問題的常規(guī)方法和思維方式.

四、一點(diǎn)思考

本節(jié)課的基本設(shè)計(jì)是對(duì)同一題面的多種變式，達(dá)到對(duì)不等式恒成立問題的常用方法的介紹、換元化歸思想的運(yùn)用、數(shù)形結(jié)合解題的體會(huì)的教學(xué)目的.根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，變式探究，層層遞進(jìn)，螺旋上升，體現(xiàn)了新課程理念.對(duì)于重難點(diǎn)的處理，主要是采用了先由學(xué)生進(jìn)行自主、合作學(xué)習(xí)，再通過展示、交流、深入、歸納出知識(shí)的學(xué)習(xí)過程，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，激發(fā)每個(gè)學(xué)生的思維潛能，感受知識(shí)的獲得過程，這比教師單純的教授方法要更有印象更有啟發(fā)，也更能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題的能力與習(xí)慣.在教學(xué)過程中，精心做好每一個(gè)變式，有變化有梯度，內(nèi)容豐富，同時(shí)也十分關(guān)注課堂生成，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，特別注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

1.吳志雄.培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的策略與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2013（11）.

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3.周強(qiáng).高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中思想滲透分析及對(duì)策研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2014（9）.