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從解題賞析走向教學(xué)研究——以2016年無錫卷第27題為例

☉江蘇省無錫市新區(qū)第一實驗學(xué)校許燕

近讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》2016年8月初中版，江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)特級教師姜鴻雁老師對2016年無錫卷第27題的賞析文章（詳見文1），淺入深出，以小見大，頗具詩情畫意.特別是文1后半段提出兩個“追求”：追求自然生長的課堂教學(xué)、追求提示本質(zhì)的課堂教學(xué).筆者深受教益，實踐跟進，在班級上以該題作為一題一課的選題素材，開展了解題教學(xué)，取得較好的教學(xué)效果.本文記錄該課的教學(xué)設(shè)計，并給出教后反思，供研討.

一、考題與思路簡述

考題（2016江蘇無錫，第27題）如圖1，已知?ABCD的三個頂點A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作?ABCD關(guān)于直線AD的對稱圖形AB1C1D.

（1）若m=3，試求四邊形CC1B1B的面積S的最大值.

（2）若點B1恰好落在y軸上，試求的值.

圖1　

圖2　

思路簡述：（1）由于平行四邊形的四個頂點坐標(biāo)是變量，故想清楚四個頂點的位置特點是關(guān)鍵.當(dāng)m=3時，邊AB的長可以用含n的式子表示為3-n，即CD=3-n；再在Rt△AOD中，由勾股定理可得接下來是分析四邊形CC1B1B的形狀.因為四邊形ABCD是平行四邊形，則BC平行且等于AD.同理B1C1平行且等于AD.由四邊形CC1B1B為平行四邊形，再結(jié)合點C與C1、B與B1關(guān)于直線AD對稱，所以AD垂直平分CC1、BB1.又BC∥AD，所以∠BCC1=90°.即四邊形CC1B1B為矩形.該矩形的面積由CC1·CB決定是CH的兩倍（如圖2，設(shè)CC1與AD相交于H）.

這樣在Rt△CDH中思考，根據(jù)相似三角形性質(zhì)或銳角三角函數(shù)可得于是四邊形CC1B1B的面積可以表示為：即所以時，四邊形CC1B1B的面積S取得最大值9.

另解：如圖3，確認(rèn)四邊形CC1B1B為矩形之后，S矩形BCB1C1=2（S梯形BCEA+S△BAF）=2（S梯形BCEA+S△CDE）=2S平行四邊形ABCD= 2（m-n）·2n.當(dāng)m=3時，即當(dāng)時，S矩形BCB1C1取得最大值9.

圖3　

（2）當(dāng)點B1恰好落在y軸上時，結(jié)合A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n），可得OB=m，OA=n，OD=2n，AB=m-n.由（1）可知，則n）.再證出△BOB1～△DOA，所以有，解得

另解思考：由（1）得，四邊形BCB1C1是矩形，S矩形BCB1C1= 2S平行四邊形ABCD=BC×BB1.因為BC=AD，且又m＞n＞0，所以8（m-n）=5m，即

二、“一題一課”教學(xué)微設(shè)計

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）：開課階段，特例引路

例1如圖4，已知?ABCD的三個頂點A（1，0）、B（3，0）、D（0，2）.

圖4　

（1）直接寫出頂點C的坐標(biāo)；

（2）求?ABCD的面積；

（3）設(shè)AC、BD相交于點E，求點E的坐標(biāo)；

（4）作?ABCD關(guān)于直線AD的對稱圖形AB′C′D，求點B所對應(yīng)的點B′的坐標(biāo).

設(shè)計意圖：從常數(shù)出發(fā)，讓學(xué)生訓(xùn)練坐標(biāo)系下各個頂點坐標(biāo)、平行四邊形的面積，以及軸對稱的性質(zhì).教學(xué)時，還可追問學(xué)生點C′的坐標(biāo).

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）：引入?yún)?shù)，感受變化

例2如圖4，已知?ABCD的三個頂點A（n，0）、B（3，0）、D（0，2n）.

（1）寫出頂點C的坐標(biāo)（用含n的式子表示）；

（2）求?ABCD的周長和面積（用含n的式子表示）；

（3）求點C到直線AD的距離（用含n的式子表示）；

（4）作?ABCD關(guān)于直線AD的對稱圖形AB′C′D，求四邊形CC′B′B的面積S的最大值.

設(shè)計意圖：引入一個參數(shù)后，安排系列探究，主要是用含n的式子表示頂點C的坐標(biāo)、平行四邊形的周長與面積，以及分析對稱變換之后得到矩形CC′B′B的面積的最大值.最后一問對應(yīng)著原考題的第（1）問.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）：兩個變量，深入探究

例3如圖4，已知?ABCD的三個頂點A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（n＞0）.

（1）用含n的式子表示邊BC的長.

（2）用含m、n的式子表示?ABCD的面積.

（3）如圖1，作?ABCD關(guān)于直線AD的對稱圖形AB′C′D.

①猜想四邊形CC′B′B的形狀，并說明理由.

設(shè)計意圖：通過增設(shè)前兩個小問，引導(dǎo)學(xué)生在兩個參數(shù)的背景下表示四邊形的邊、面積，為探究原考題的第（2）問提供鋪墊.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）：變式再練，檢測反饋

變式再練：如圖5，已知?OABC的三個頂點A（m，0）、C（n，2n）（m

圖5　

（1）用含m、n的式子表示頂點B的坐標(biāo).

（2）當(dāng)m=-3時，用含n的式子表示?OABC的面積.

（3）作?OABC關(guān)于直線OC的對稱圖形OA′B′C.（點A、B分別對應(yīng)點A′、B′）

①求證：四邊形OA′B′C是矩形.

②當(dāng)m=-3時，分析四邊形OA′B′C的面積的最大值.

設(shè)計意圖：將平行四邊形變式到第二象限，主要考查方向仍然與原考題類似，以此反饋學(xué)生的聽課效果.

三、教后反思

1.精選本地優(yōu)秀考題，設(shè)計“一題一課”

畢業(yè)年級的中考復(fù)習(xí)時間緊、任務(wù)重，選題的針對性十分重要.就目前全國各地中考試題的命題風(fēng)格來看，各個地區(qū)往往都有較為穩(wěn)定（甚至個性化、“八股化”）的命題取向，這時認(rèn)真研究本地區(qū)近五年或者近三年的中考試題的特點，然后在此基礎(chǔ)上精選出優(yōu)秀考題，將其開發(fā)成“一題一課”，使圍繞本地區(qū)經(jīng)典考題的復(fù)習(xí)課的效益達到最大化.強調(diào)所謂“一題一課”也是想讓解題教學(xué)的目標(biāo)更加聚焦，更有針對性，讓學(xué)生通過對本地區(qū)一道典型考題加深理解，也可達到做一題、會一類、通一片的教學(xué)效果.

2.加強引例鋪墊引入，追求“漸次生長”

由于開展的一題一課，我們建議要重視引例的預(yù)設(shè)，這需要必要的命題能力作為保證.即在深刻理解考題的基礎(chǔ)上，將考題的系列問題“加密”，鋪陳系列鋪墊問題，吸引更多學(xué)生的思維參與，特別是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)偏弱的考生，要讓他們在開課階段也能順利進入問題探究，然后漸次生長，讓數(shù)學(xué)層次較高的學(xué)生向上攀登、迎接挑戰(zhàn).

3.重視反饋教學(xué)效果，開展“聽課檢測”

一年來，我們在《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）讀到不少倡導(dǎo)“聽課檢測”的課例文章，筆者深以為然.在日常教學(xué)中也逐漸開展聽課檢測，有時只是簡單改編一下數(shù)字或字母，但不少誤以為自己聽懂的學(xué)生，卻仍然做不出來.這說明，較難的試題講評之后，其聽講效果，常常需要跟進必要的反饋，讓那些“偽懂”的學(xué)生暴露出來，督促他們重新訂正，達到真正學(xué)會的講評效果.

四、寫在最后

解題研究，特別是針對最新中考試題的解法研究，常常是不少專業(yè)期刊的經(jīng)典欄目，然而我們注意到《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）近兩年來，該欄目的用稿風(fēng)格明顯不同于有些兄弟期刊，即不僅關(guān)注繁難考題的解法探討，而是從一些經(jīng)典考題的解法出發(fā)，鏈接到圍繞該題的解題教學(xué)設(shè)計或教學(xué)建議，這是“接地氣”的服務(wù)教學(xué)的研究取向，值得點贊，我們一線教師也深受教益.本文正是在這樣的用稿風(fēng)格的引導(dǎo)之下的一次嘗試，既不一定準(zhǔn)確，更不一定正確，期待批判和研討.

1.【美】波利亞，著.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

2.楊衛(wèi)東.客從何處來：一道幾何把關(guān)題的命制歷程［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（8）.

3.付小飛.明辨并列與遞進，引導(dǎo)分離和聚焦——2016年江蘇蘇州中考第28題解析與教學(xué)思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（7）.

4.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1，2，3）.Z