☉江蘇省南通市通州灣三余中學(xué)　施　勤

理解綜合題立意，預(yù)設(shè)教學(xué)微設(shè)計(jì)——以2016年江蘇宿遷卷第26題為例

☉江蘇省南通市通州灣三余中學(xué)施勤

近讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下），發(fā)現(xiàn)很多中考?jí)狠S題的研究文章都能從解題探討走向“一題一課”、“教學(xué)微設(shè)計(jì)”等教學(xué)思考的方向，這些接地氣的文章使對(duì)解題教學(xué)十分有益，只要稍加利用，制作成課件，就可直接拿到初三復(fù)習(xí)課、習(xí)題課上去教學(xué)使用，受此啟發(fā)，筆者也對(duì)一道壓軸題開展了教學(xué)微設(shè)計(jì)，并在校內(nèi)教研課中成功展示，得到同事的好評(píng).本文就是呈現(xiàn)該題的思路及微設(shè)計(jì)，提供研討.

一、考題及思路突破

考題（2016年江蘇宿遷中考卷第26題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將二次函數(shù)y=x2-1的圖像M沿x軸翻折，把所得到的圖像向右平移2個(gè)單位長度后再向上平移8個(gè)單位長度，得到二次函數(shù)圖像N.

（1）求N的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)點(diǎn)P（m，n）是以點(diǎn)C（1，4）為圓心、1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，二次函數(shù)的圖像M與x軸相交于兩點(diǎn)A、B，求PA2+PB2的最大值；

（3）若一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)，則該點(diǎn)稱為整點(diǎn).求M與N所圍成封閉圖形內(nèi)（包括邊界）整點(diǎn)的個(gè)數(shù).

圖1　

圖2　

圖3　

1.思路突破

（1）先由關(guān)于x軸翻折的拋物線解析式變化規(guī)律，得翻折后的拋物線的解析式是y=-x2+1，根據(jù)拋物線平移規(guī)律，容易分析出平移后的拋物線解析式為y=-（x-2）2+ 9，即y=-x2+4x+5.

（2）設(shè)問中的PA2+PB2容易想到構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列式，如圖2，連接PA，PB，作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，在Rt△PAQ中思考，PA2=（m+1）2+n2.同理在Rt△PBQ中思考，PB2=（1-m）2+n2；于是PA2+PB2=（m+1）2+n2+（1-m）2+ n2，整理得PA2+PB2=2（m2+n2）+2，至此，有一個(gè)重要的進(jìn)展就是OP2=m2+n2，也就是PA2+PB2=2OP2+2.接著的難點(diǎn)就是當(dāng)OP取得最大值時(shí)，PA2+PB2就取得最大值，進(jìn)而構(gòu)造圖3，當(dāng)點(diǎn)P位于OC延長線上時(shí)，此時(shí)OP取得取大值.接著利用OP=OC+PO可計(jì)算得所以PA2+PB2的最大值為（3）這一問可以構(gòu)造相對(duì)精準(zhǔn)的草圖分析，如圖4.

圖4　

需要畫準(zhǔn)圖形的幾個(gè)地方，第一，兩條拋物線的交點(diǎn)分別是（-1，0），（3，8），這兩個(gè)交點(diǎn)也是符合要求的；第二，思考當(dāng)x=0時(shí)符合要求的整數(shù)點(diǎn)有7個(gè)，當(dāng)x=1時(shí)符合要求的整數(shù)點(diǎn)有9個(gè)，當(dāng)x=2時(shí)符合要求的整數(shù)點(diǎn)有7個(gè)，M與N所圍成封閉圖形內(nèi)（包括邊界）整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1+7+9+7+1=25個(gè).

2.解后反思

這道考題的第（2）問有一定的難點(diǎn)，且與前后問題之間缺少必要的關(guān)聯(lián)，根據(jù)筆者教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，第（2）問要難于第（3）問，因?yàn)楹笳咧灰珳?zhǔn)作圖輔之計(jì)算驗(yàn)證就可獲得解答，對(duì)思維的要求并不太高；而第（2）問的主要障礙有如下幾點(diǎn)：

難點(diǎn)1：用含m，n的式子表示PA，PB的平方和.

通常都想方設(shè)法用一個(gè)參數(shù)來表示PA，PB的平方和，但對(duì)于此題來說，此路難通，即使把高中階段的圓的解析式（即（m-1）2+（n-4）2=1）利用起來，也難以將PA，PB的平方和用一個(gè)參數(shù)來表示.

難點(diǎn)2：想到OP2=m2+n2.

當(dāng)PA，PB的平方和被表示為2（m2+n2）+2后，要及時(shí)聯(lián)系到OP2，這樣對(duì)于問題獲得轉(zhuǎn)化有很大的幫助，是該題的重要進(jìn)展之一.

難點(diǎn)3：想到點(diǎn)P在OC延長線上.

當(dāng)問題進(jìn)展OP最大時(shí)，PA，PB的平方和最大時(shí)，及時(shí)構(gòu)造出圖3進(jìn)行分析.

二、教學(xué)微設(shè)計(jì)

1.開課階段

例1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線C1：y=x2-1沿x軸翻折后，再向右平移2個(gè)單位長度，繼續(xù)向上平移8個(gè)單位長度，得到拋物線C2.

（1）請(qǐng)指出最后得到的拋物線C2的解析式；

（2）寫出拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）求拋物線C2與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（4）設(shè)直線x=1與拋物線C1，C2分別交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN的長.

設(shè)計(jì)意圖：將翻折、平移變換前后的兩條拋物線組合起來進(jìn)行探究，并引導(dǎo)學(xué)生辨析拋物線C2與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以及直線x=1時(shí)求MN的長，對(duì)應(yīng)著原考題的第（3）問.

2.考題探究

例2如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x2+ 1交x軸于A，B兩點(diǎn).以點(diǎn)C（1，4）為圓心的⊙C與y軸相切.設(shè)點(diǎn)P（m，n）為⊙C上一點(diǎn).

（1）連接OP，用含m，n的式子表示OP2；

（2）連接PA，分析線段PA的最值（包括最大值和最小值）；

（3）設(shè)d=PA2+PB2，用含m，n的式子表示d；

（4）在（3）的條件下，分析d的最值（包括最大值和最小值）.

設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)考題對(duì)應(yīng)原考題的第（2）問，通過增設(shè)系列輔助追問，使得難點(diǎn)得到分解和鋪墊.而且將原考題中分析d的最大值拓展到分析它的最大值與最小值.

3.拓展思考

例3題干同例2.

（1）當(dāng)m=1時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)m=2時(shí)，若直線PC與拋物線交于D點(diǎn)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）若拋物線上有一點(diǎn)Q，連接PC，PQ.

①求PC的最小值；

②求PQ的最小值.

設(shè)計(jì)意圖：受到文2的啟發(fā)，增設(shè)了定點(diǎn)到拋物線上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離探究.使得問題走向拓展，提供高層次學(xué)生向上挑戰(zhàn).

4.變式再練

變式再練：如圖5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線C1：y=x2-4沿x軸翻折后，再向右平移2個(gè)單位長度，繼續(xù)向上平移9個(gè)單位長度，得到拋物線C2.

圖5　

（1）直接寫出拋物線C1與x軸的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo).

（2）直接寫出拋物線C2與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

（3）以點(diǎn)M（1，4）為圓心的⊙M與y軸相切.設(shè)點(diǎn)P（m，n）為⊙M上一點(diǎn).

①用含m，n的式子表示PA2+PB2的長；

②分析PA2+PB2的最值（含最大值與最小值）.

（4）若一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)，則該點(diǎn)稱為整點(diǎn).求拋物線C1與C2所圍成封閉圖形內(nèi)（包括邊界）整點(diǎn)的個(gè)數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：首先是對(duì)題干上的拋物線解析式的數(shù)據(jù)、圖像上的字母都做了改編，接著是后續(xù)系列設(shè)問涵蓋了前面教學(xué)環(huán)節(jié)中訓(xùn)練到的一些考點(diǎn).特別是第（3）問關(guān)于最大值、最小值的拓展思考，包括第（4）問在變換數(shù)據(jù)之后，仍然探討整點(diǎn)問題，都可看成是對(duì)原考題的豐富和生長.

三、寫在最后

習(xí)題課教學(xué)到了初三中考復(fù)習(xí)時(shí)，往往是中考題匯編起來的解題教學(xué)，一節(jié)課中選題常常是“形似”，難有“神似”.想來，針對(duì)一道綜合題而設(shè)計(jì)的“一題一課”常常能從“形似”走向“神似”，也是解題教學(xué)從繁雜走向簡約的一種追求.期待更多的課例跟進(jìn)，研討和豐富這個(gè)課題方向.

1.鄭毓信.多元表征與概念教學(xué)［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2011（10）.

2.蔣建東.一道“階段考題”的思路突破與講評(píng)設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（5）.