☉清華大學(xué)附屬中學(xué)　張曉瓊

低起點，高視角——對2016年北京中考數(shù)學(xué)第28題的評析與思考

☉清華大學(xué)附屬中學(xué)張曉瓊

近兩年北京市中考試題讓人們感覺耳目一新，呈現(xiàn)方式有了明顯的變化，其中幾何綜合題尤為突出.2015年的幾何綜合題最后一問雖然是常規(guī)的求線段長的問題，但是答題要求卻非常規(guī)，不要求寫出解答過程，而是寫出探究思路，這是前所未有的.第三問的“別出心裁”，讓學(xué)生得分慘不忍睹.2016年的幾何綜合題在2015年轉(zhuǎn)型的基礎(chǔ)上，又改變了以往試題的呈現(xiàn)形式，進行了一定的創(chuàng)新，將學(xué)生課堂研究問題的全過程原汁原味地呈現(xiàn)在試卷當(dāng)中.試題消除了學(xué)生以往“入手難”的恐懼心理，讓學(xué)生容易進行初步分析，心態(tài)平和、思路開闊，既考查了基礎(chǔ)，又關(guān)注了學(xué)生的能力培養(yǎng)，對數(shù)學(xué)教學(xué)起到引導(dǎo)作用.

一、原題呈現(xiàn)

題目（2016年北京市中考數(shù)學(xué)第28題）在等邊△ABC中.

（1）如圖1，P，Q是BC邊上兩點，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度數(shù).

（2）P，Q是BC邊上的兩個動點（不與點B，C重合），點P在點Q的左側(cè)，且AP=AQ，點Q關(guān)于直線AC的對稱點為M，連接AM，PM.

①依題意將圖2補全；

②小茹通過觀察、實驗，提出猜想：在點P，Q運動的過程中，始終有PA=PM.小茹把這個猜想與同學(xué)們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：要證PA=PM，只需證△APM是等邊三角形.

想法2：在BA上取一點N，使得BN=BP，要證PA=PM，只需證△ANP≌△PCM.

想法3：將線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BK，要證PA=PM，只需證PA=CK，PM=CK.

……

請參考上面的想法，幫助小茹證明PA=PM.（一種方法即可）

圖1　

圖2　

二、解法探究與評析

我們首先從圖形的構(gòu)成入手，題中給出了兩個共頂點的特殊三角形：等邊△ABC、等腰△APQ，且四個頂點B、P、Q、C共線，很顯然圖形具備軸對稱性.因為∠BAP= 20°，所以第一問求∠AQB的度數(shù)可以直接轉(zhuǎn)化為求∠APC的度數(shù)，很容易利用外角與等邊三角形性質(zhì)求得∠AQB=∠APC=80°.第二問中改變了P，Q兩點的位置，讓其在BC上運動，再作出點Q關(guān)于直線AC的對稱點為M，雖然P、Q、M三點的位置都在變化，但運動變化中的△ABP，△ACQ，△AMC的軸對稱關(guān)系不變，所以我們可以利用它將線段與角進行轉(zhuǎn)化.

來看第二問，我們不妨從四個角度思考.

第一類方法：要證AP=PM，即證△APM是等邊三角形.由AP=AQ=AM，即證∠PAM=∠BAC=60°.

圖3　

答案中給出如下證法：過點A作AH⊥BC于點H，如圖3.由△ABC為等邊三角形，可得∠BAH=∠CAH.由AP=AQ，可得∠PAH=∠QAH.可得∠PAB=∠QAC.由點Q、M關(guān)于直線AC對稱，得∠QAC=∠MAC，AQ=AM.所以∠PAB=∠MAC，AM=AP，所以∠PAM=∠BAC=60°.則△APM為等邊三角形，PA=PM.

我們可以將答案證法優(yōu)化，不添加輔助線，直接推導(dǎo)得到∠PAM=60°.

如圖4，由AB=AC，AP=AQ，可得∠APQ=∠AQP，∠ABC=∠ACB，所以∠PAB=∠QAC.根據(jù)點Q，M關(guān)于直線AC對稱，可得∠QAC=∠MAC=∠PAB，所以∠PAM=∠BAC=60°.我們還可以連接MC，如圖5，證得∠APB=∠AQC=∠AMC，所以∠APC+∠AMC=180°，由∠PCM= 120°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠PAM=60°.

圖4　

圖5　

第二類方法：要證PA=PM，只需構(gòu)造以PA，AM為對應(yīng)邊的兩個全等的三角形即可.

證法：在BA上取一點N，使BN=BP，連接PN，CM，如圖6.由△ABC為等邊三角形，得△BNP為等邊三角形.所以AN=PC，∠ANP=120°.由AB=AC，AP=AQ，得∠PAB=∠CAQ，所以△ABP≌△ACQ，BP=CQ.由點Q，M關(guān)于直線AC對稱，得∠ACM=∠ACQ=60°，CM=CQ.所以NP=BP= CQ=CM.由∠PCM=∠ACM+∠ACQ=120°，所以△ANP≌△PCM，PA=PM.

圖6　

圖7　

我們還可以在CA上取一點N，使CN=CP，連接PN，MC，如圖7.所以△PCN為等邊三角形，PN=PC，∠ANP= 120°，同前可證△ABP≌△ACQ，所以BP=CQ=CM=AN，由∠PCM=120°，所以△ANP≌△MCP，PA=PM.

這兩種方法都是構(gòu)造與△PCM全等的三角形，也可構(gòu)造與△APB全等的三角形.如圖8，延長PC至N，使得CN=BP，可證BP=CQ=CM=MN，所以△ABP≌△PCM，PA=PM.

圖9　

圖8　

第三類方法：根據(jù)等量公理，利用中介線段證明線段相等，證明的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)中介線段.

證法：將線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到BK，連接KP，CK，MC，如圖9.要證PA=PM，只需證PA=CK，PM= CK.由作圖，得△BPK為等邊三角形，KB=BP=PK，∠KPB=∠KBP=60°，所以∠KPC=120°.由△ABC為等邊三角形，得△ABP≌△CBK，AP=CK.同前可證△ABP≌△ACQ，BP=CQ.由點Q，M關(guān)于直線AC對稱，得∠BCM= 2∠ACQ=120°，CQ=CM=PK.所以MC∥PK，四邊形PKCM為平行四邊形，所以CK=PM，PA=PM.

我們還可將將線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到BK，連接KP，CK，MC，如圖10.先證△AKP≌△CPK，得到AP=CK；再證△KPC≌△MCP，得到PM=CK，因此PA=PM.

圖10　

圖11　

第四類方法：利用同圓中弧、弦、圓心角、圓周角等間的等量關(guān)系來證明線段相等.

證法：如圖11，由AP=AQ=AM，可得點P、Q、M都在以點A為圓心，AP長為半徑的圓上.所以由∠MPC+∠ACP=∠CAM+∠AMP可得∠AMP=∠ACP=60°.由AP=AM，可知△APM為等邊三角形，從而證得PA=PM.

評析：分析完本題，再跳出它的預(yù)設(shè)思路，從整體重新審視，我們發(fā)現(xiàn)△ABP經(jīng)過連續(xù)兩次軸對稱得到△AMC，而兩次的軸對稱變換可實現(xiàn)一次旋轉(zhuǎn)變換，且旋轉(zhuǎn)角為對稱軸所在直線夾角的2倍.本題對稱軸所在直線AH，AC夾角30°，如圖3所示.所以旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)線段的夾角為60°，即∠PAM=60°.亦或者本題可以做一些變式，所需求證的∠PAM=60°，和點Q并沒有關(guān)系，那為何交代點Q，只為了交代點M的位置，如果是這樣，我們完全可以變換一種方式，如連接CM，給出∠PCM=120°即可.如果這樣設(shè)計，那就和2013年北京市的幾何綜合題（第25題）如出一轍.

三、思考與啟示

本題的第一問雖然很簡單，但有部分學(xué)生利用邊邊角證明三角形全等，說明他們對于三角形全等的條件并沒有熟練掌握；第二問有的學(xué)生直接利用第一問的已知條件∠BAP=20°，說明學(xué)生對于題目的大前提與小前提分不清楚.本題的第二問分為以下幾個階段，首先需要發(fā)現(xiàn)問題（PA，PM的數(shù)量關(guān)系）、再提出問題（PA=PM），通過交流與討論，形成了解決問題的三種不同的思路，讓學(xué)生進行獨立思考，發(fā)現(xiàn)可以從不同的角度進行分析，并最終選擇一種方法解決問題.學(xué)生需要根據(jù)已知條件，體驗解決問題方法的多樣性，嘗試從不同角度尋求解決問題的方法，考查學(xué)生思維的靈活性和多樣性.同時，拋開題目本身來說，學(xué)生在平常的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，不僅需要注重思維的靈活性與多樣性，同時還需要注重思維的深刻性.也就是說，在追求解法多樣性的過程當(dāng)中，一定要善于總結(jié)哪個思維出發(fā)點解決問題是最優(yōu)的，既要保持思維的靈活性也要保持思維的深刻性，這樣才能不斷地提升自身的思辨能力.

1.王亮亮，范永春.2016年北京市中考數(shù)學(xué)試題解析［J］.數(shù)學(xué)通報，2016（7）.