☉江蘇省無錫市河埒中學(xué)　顧　雪

習(xí)題課教學(xué)：值得關(guān)注的多元表征理論——以2016年山西省中考第23題為例

☉江蘇省無錫市河埒中學(xué)顧雪

拋物線為載體的綜合題常常綜合平面幾何的性質(zhì)進(jìn)行考查，中考復(fù)習(xí)過程中的習(xí)題課教學(xué)時(shí)如何重視這類試題的研發(fā)與變式應(yīng)用，是值得很多畢業(yè)年級教師認(rèn)真思考的課題.本文以2016年山西省中考第23題為例，先給出解題思路和解后反思，并圍繞考題開展教學(xué)微設(shè)計(jì)，供研討.

一、考題的思路突破與解后反思

考題（2016年山西省，第23題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx-8與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為D，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E，連接CE，已知點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別為（-2，0）、（6，-8）.

圖1　

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并分別求出點(diǎn)B和點(diǎn)E的坐標(biāo).

（2）試探究拋物線上是否存在點(diǎn)F，使△FOE≌△FCE.若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（3）若點(diǎn)P是y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為（0，m），直線PB與直線l交于點(diǎn)Q，試探究：當(dāng)m為何值時(shí)，△OPQ是等腰三角形？

思路突破：

（1）把A（-2，0）、D（6，-8）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線y= ax2+bx-8的解析式，解關(guān)于a、b的二元一次方程組，得到，即拋物線的解析式為于是拋物線的對稱軸為x=3.再結(jié)合條件：點(diǎn)A（-2，0）與點(diǎn)B關(guān)于對稱軸對稱，可以求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0）；因?yàn)橹本€l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O與點(diǎn)D（6，-8），只要把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入直線l的解析式y(tǒng)=kx可得因?yàn)辄c(diǎn)E是直線與拋物線的對稱軸x=3的交點(diǎn)，把x=3代入直線l的解析式即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)（3，-4）.

（2）先假設(shè)存在，然后展開探究.由△FOE≌△FCE可知FO=FC，EO=EC，即點(diǎn)F的縱坐標(biāo)c. 因?yàn)辄c(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，當(dāng)x=0時(shí)，代入拋物線解析式得y=-8，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-8），即yF=-4，構(gòu)造圖2示意.

由圖2示意知，直線y=-4與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)F1、F2即為所求.只要將yF=-4代入拋物線的解析式8，得到一個(gè)一元二次方程解得x1=3+所以拋物線上存在點(diǎn)或使△FOE≌△FCE.

（3）首先分析△OPQ是等腰三角形的一些可能情形，考慮到點(diǎn)P是y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以只有兩種可能的情況：OP=OQ或PQ=OQ.

①如圖3，當(dāng)OP=OQ時(shí)，△OPQ是等腰三角形.

圖2　

圖3　

此時(shí)直線PB與直線l的交點(diǎn)Q在線段OE上，結(jié)合點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，-4），可得OE=5.考慮過點(diǎn)E作ME∥PB交y軸于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)H，利用相似三角形（或平行線分線段成比例）可得得到OM=OE=5，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-5）.設(shè)直線ME的解析式為y=k1x-5，把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入解析式y(tǒng)=k1x-5，解得所以直線ME的解析式為當(dāng)y=0時(shí)，即可得它與x軸的交點(diǎn)H的坐標(biāo)為（15，0）.由MH∥PB可得即求出

②如圖4，當(dāng)PQ=OQ時(shí)，△OPQ是等腰三角形.

圖4　

此時(shí)直線PB與直線l的交點(diǎn)Q在線段OE的延長線上.由拋物線y與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0， -8），利用勾股定理求得CE的長為5.又OE=5，所以O(shè)E= CE，即∠EOC=∠ECO.由PQ=OQ可知∠QOP=∠QPO，即∠ECO=∠QPO，可得CE∥PQ.利用比例式即求出

二、解題教學(xué)的“微設(shè)計(jì)”

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）：開課階段，熟悉平臺

圖5　

例1如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx-8與x軸交于A（-2，0）、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且該拋物線的對稱軸為直線x=3.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo).

（2）求△ABC的面積.

（3）直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為N（6，n）.

①求證：CN∥x軸；

②設(shè)直線l與對稱軸x=3交于D點(diǎn)，請指出△OCD的形狀，并說明理由.

設(shè)計(jì)意圖：改編原考題，以一些簡單的問題，促進(jìn)學(xué)生思考該拋物線的解析式如何求，怎樣確定拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，并初步理解直線l與拋物線的交點(diǎn)問題.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）：動(dòng)點(diǎn)探究，漸次生長

（1）直接寫出該拋物線的對稱軸；

（2）求k的值；

（3）若拋物線的對稱軸與直線y=kx交于E點(diǎn)，連接CE，求tan∠OCE的值；

（4）若點(diǎn)F是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△FOE≌△FCE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖：主要是針對原考題的第（2）問進(jìn)行訓(xùn)練，通過增設(shè)鋪墊式問題，使得問題的難點(diǎn)分散開來，吸引更多學(xué)生的思維參與.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）：動(dòng)點(diǎn)探究，漸次生長

（1）當(dāng)OP=PE時(shí)，求直線PB的解析式；

（2）當(dāng)△APE為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)△OPQ為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）若拋物線在第四象限有一點(diǎn)M，當(dāng)△MOD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖：前三問主要圍繞原考題的最后一問進(jìn)行變式探究，最后一問則是將問題拓展到“拋物線弓形三角形面積最值問題”，而且需要考慮兩種情況，即點(diǎn)M在線段CD、線段BD上時(shí)，較難的是在線段CD上時(shí)，可以將直線OD向下平移，與拋物線相切時(shí)取得最大值.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）：聽課檢測，學(xué)情反饋

聽課檢測題：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=a（x+2）（x-6）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.直線y=kx分別交該拋物線及其對稱軸于點(diǎn)D、E（3，-4）.

（1）求k的值；

（2）求證：△COE是等腰三角形；

（3）若點(diǎn)P是y軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△OPD為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）設(shè)M、N分別在y軸、直線y=kx上，當(dāng)M、N、B三點(diǎn)在同一直線上，且△OMN～△OCE時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

三、教后感

以拋物線為載體的綜合題常常綜合了很多平面幾何的性質(zhì)，比如全等、相似、等腰三角形、勾股定理、銳角三角函數(shù)等性質(zhì)，如果就題講題，教學(xué)效果會(huì)大打折扣.如果能在課前深刻理解待講考題的思路、結(jié)構(gòu)，并精心設(shè)計(jì)系列問題，特別是鋪墊式問題，則可取得較好的教學(xué)效果.

1.精選考題，注重基礎(chǔ)，漸次生長，拓展延伸

題海茫茫，如何在眾多考題中挑選出適合本地區(qū)使用的是習(xí)題講評時(shí)首先要思考的.具體來說，首先是優(yōu)選本地區(qū)的經(jīng)典考題，在此基礎(chǔ)上變式改編，在課堂前半段要重視基礎(chǔ)的訓(xùn)練，讓更多學(xué)生的思維參與，課堂后半程再漸次生長，引出考題訓(xùn)練的難點(diǎn)，并通過必要的設(shè)問，啟發(fā)點(diǎn)撥，攻克難點(diǎn).

2.預(yù)設(shè)追問，多元表征，變式檢測，注重反饋

在教學(xué)設(shè)計(jì)的同時(shí)，針對各個(gè)不同教學(xué)環(huán)節(jié)，要注意預(yù)設(shè)系列追問，使得教學(xué)過程走向開放，也給學(xué)生展示交流的機(jī)會(huì).系列追問在設(shè)計(jì)時(shí)要注重基于多元表征的理論，即不同的設(shè)問整體上要圍繞一個(gè)主題設(shè)問，加強(qiáng)設(shè)問題組的針對性，而不能問得太過發(fā)散，使得訓(xùn)練的指向過于寬廣，避免前后設(shè)問之間缺少必要的關(guān)聯(lián).教學(xué)最后，針對教學(xué)過程中的變式問題，給出一道變式檢測題，各個(gè)小問分別對應(yīng)著前面所講評的重點(diǎn)問題，以便檢測聽課效果.

1.鄭毓信.多元表征與概念教學(xué)［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2011（10）.

2.鐘啟泉.讀懂課堂［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2015.

3.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1，2，3）.

4.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.Z