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        例談變式教學(xué)在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

        2016-11-17 06:37:38江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)斜塘學(xué)校
        數(shù)學(xué)大世界 2016年12期
        關(guān)鍵詞:輔助線切線變式

        江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)斜塘學(xué)?!⊥酢》?/p>

        例談變式教學(xué)在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

        江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)斜塘學(xué)校王芳

        筆者有幸參加了一次蘇州市初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)研討會(huì),學(xué)習(xí)了兩節(jié)“直線和圓的位置關(guān)系”的復(fù)習(xí)課,兩位老師處理問題的風(fēng)格迥然不同,但是成功的原因如出一轍,即都是一位“善變”的數(shù)學(xué)老師。這里的“善變”是指巧妙設(shè)計(jì)變式,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,點(diǎn)燃學(xué)生思維的火花,讓學(xué)生在不斷的探索中復(fù)習(xí)鞏固知識(shí),體會(huì)數(shù)學(xué)的思想、方法,從而提高分析問題和解決問題的能力。

        一、變式教學(xué),有利于學(xué)生把握概念的本質(zhì)

        概念是最基本的思維形式。數(shù)學(xué)中的命題都是由概念構(gòu)成的,數(shù)學(xué)中的推理和證明,又是由命題構(gòu)成的。因此,概念的學(xué)習(xí)是教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)概念是從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出來的,具有較強(qiáng)的抽象性,學(xué)生掌握起來比較困難。因此,教師可以通過對(duì)概念的變式,來引導(dǎo)學(xué)生把握概念的本質(zhì)。

        二、變式教學(xué),有利于激發(fā)學(xué)生參與的熱情

        課堂教學(xué)效果很大程度上取決于學(xué)生的參與情況,這就首先要加強(qiáng)學(xué)生在課堂中的參與意識(shí),使學(xué)生真正成為課堂教學(xué)的主人。而變式教學(xué)就注意到了教材前后知識(shí)的銜接,題目設(shè)計(jì)由易到難,形成一定的層次,循序漸進(jìn),通過對(duì)各題的分析,概括出各題中共同的、本質(zhì)的東西,以達(dá)到由一題向另一題的遷移,對(duì)一般原理的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)的目的,讓我們的數(shù)學(xué)活動(dòng)有層次地推進(jìn)。給人以層次感、新鮮感,能夠喚起學(xué)生的好奇心和求知欲,因而能夠產(chǎn)生主動(dòng)參與的動(dòng)力,保持其參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的興趣和熱情。

        如復(fù)習(xí)切線的性質(zhì)和常用輔助線:

        如圖1,PC切⊙O于點(diǎn)C,PB=2,PC=4,則⊙O的半徑為___。

        【分析】該題的已知條件簡單明了,PC切⊙O于點(diǎn)C,學(xué)生能立即反應(yīng)出連結(jié)OC作出輔助線,根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥PC,從而構(gòu)造直角三角形,再通過設(shè)未知數(shù)的方法,利用勾股定理列出方程,解決問題。當(dāng)然還有一部分同學(xué)把BO延長,利用切割線定理解決問題。本題主要意圖是讓學(xué)生熟練掌握常用輔助線的添法,并鼓勵(lì)學(xué)生嘗試用多種方法解決問題。

        圖1

        變式:

        (3)已知PC切⊙O于點(diǎn)C,∠P=40o,則∠PCB的度數(shù)是___。

        【分析】第(1)小題可以利用特殊三角函數(shù)來求解,也可以設(shè)未知數(shù)列方程求解;第(2)小題只能通過設(shè)未知數(shù)來求解;第(3)小題利用切線的性質(zhì)和圓的半徑相等的性質(zhì)來求得。這三個(gè)小題旨在通過不同的變式,掌握常規(guī)輔助線的添法,理解切線的性質(zhì),以及體會(huì)各種解法的利弊,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

        三、變式教學(xué),有利于提高學(xué)生的辨析能力

        所謂變式,就是通過變更對(duì)象的非本質(zhì)特征的表現(xiàn)形式,變更人們觀察事物的角度或方法,以突出對(duì)象的本質(zhì)特征,突出那些隱蔽的本質(zhì)要素,讓學(xué)生在變式中思維,從而掌握事物的本質(zhì)和規(guī)律。采用的主要方法是改變對(duì)象的表達(dá)形式,如題目條件與結(jié)論的互換;圖形位置、大小、形狀等的變化;規(guī)律和語言符號(hào)的互譯等。

        例如,復(fù)習(xí)切線的判定:

        (1)如圖2,若PA切⊙O于點(diǎn)A, 點(diǎn)B在⊙O上,且PA=PB,那么PB是⊙O的切線嗎?為什么?

        圖2

        圖3

        (2)如圖3,若PA切⊙O于點(diǎn)A, PO平分∠APB,那么PB是⊙O的切線嗎?為什么?

        【分析】這兩小題的已知條件不同之處在于,第(1)小題已知點(diǎn)B在⊙O上,而第(2)小題不然,要讓學(xué)生找出不同之處,并理解不同的已知條件,輔助線的添法截然不同,證明切線的方法也不同。

        最后讓學(xué)生歸納總結(jié)一般規(guī)律:

        (1)若直線過圓上某一點(diǎn),一般是“連半徑,證垂直”;

        (理論依據(jù):切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。)

        (2)若直線與圓的公共點(diǎn)沒有確定,一般是“作垂直,證半徑”。(理論依據(jù):利用數(shù)量關(guān)系:圓心到直線的距離等于半徑,即d=r)

        四、變式教學(xué),有利于促進(jìn)學(xué)生知識(shí)的建構(gòu)

        教學(xué)中要特別重視對(duì)課本例題和習(xí)題的變式。數(shù)學(xué)的思想方法都隱藏在課本例題和習(xí)題中,我們在教學(xué)中要對(duì)這類習(xí)題進(jìn)行必要的挖掘,即通過一個(gè)典型的例題,最大可能地覆蓋知識(shí)點(diǎn),把分散的知識(shí)點(diǎn)串成一條線,往往會(huì)起到意想不到的效果,有利于知識(shí)的建構(gòu)。教學(xué)像我們聽評(píng)書的“且聽下回分解”一樣,每節(jié)課給學(xué)生留下回味的余地,給學(xué)生提供繼續(xù)研究的舞臺(tái)。

        例如本節(jié)課中典型例題的安排:

        例1如圖4,已知直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn),AE是⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,且AC平分∠PAE,過點(diǎn)C作CD⊥PA,垂足為D。求證:CD為⊙O的切線。

        圖4

        【分析】此題已知點(diǎn)C在⊙O上,所以要證明CD為⊙O的切線,只要“連半徑,證垂直”。學(xué)生通過此題,體會(huì)證明切線的常用方法。

        例2如圖5,已知直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn),AE是⊙O的直徑,CD是⊙O的切線,且CD⊥PA,垂足為D。

        圖5

        (1)求證:AC平分∠PAE。

        (2)若CD=4,AD=2,求⊙O的半徑。

        (3)若CD+AD=6,⊙O的直徑為10,求AB的長度。

        (4)若⊙O的半徑為4,求AD·AB的最大值。

        【分析】例2把例1的條件作了改變,已知CD是⊙O的切線,且CD⊥PA,垂足為D,第(1)小題反過來求證AC平分∠PAE,這里考查了切線的性質(zhì);第(2)小題利用相似三角形,求線段長度,也是圓中求線段長度的常用方法;第(3)小題的難點(diǎn)在于輔助線如何添,學(xué)生有一個(gè)嘗試的過程。作OF⊥AB于點(diǎn)F,這樣就出現(xiàn)矩形DCOF,OC=DF=5,要算出AB的長,首先要知道AD和DC的長,所以必須設(shè)AD或DC的長為未知數(shù),才能通過勾股定理構(gòu)造方程,解決問題,這里涉及了方程的思想;第(4)小題在第(3)小題的基礎(chǔ)上提高了難度,但是學(xué)生應(yīng)該從中得到設(shè)未知數(shù)的思想方法,設(shè)AD=x,則AF=4-x,AB=2(4-x),這樣,轉(zhuǎn)化成了二次函數(shù)的最值問題,這種問題就迎刃而解了。

        例2的綜合性是比較強(qiáng)的,考查的知識(shí)點(diǎn)比較多,思想方法有方程的思想和函數(shù)的思想,題目設(shè)置也是層層遞進(jìn),不斷地給學(xué)生挑戰(zhàn)。通過教師引領(lǐng)、學(xué)生活動(dòng),讓學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí),充分發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動(dòng)性。

        在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中,我們要學(xué)做一個(gè)“善變”的老師,既要有強(qiáng)烈的變式意識(shí)、嫻熟的變式方法,又要遵循變式教學(xué)的規(guī)律,合理安排變式教學(xué)的內(nèi)容。如果我們能夠把握變式教學(xué)和變式訓(xùn)練的正確方法和尺度,在數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)使用變式教學(xué)和變式訓(xùn)練,不僅能夠幫助學(xué)生從“題海戰(zhàn)術(shù)”中解放出來,還對(duì)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,將起到比較積極的作用,取得理想的教學(xué)效果。

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