江蘇省海門市海南中學(xué)　黃　華

領(lǐng)悟“整式的加減”中的數(shù)學(xué)思想

江蘇省海門市海南中學(xué)黃華

在學(xué)習(xí)中品味數(shù)學(xué)的思想，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的精華，讓學(xué)習(xí)不只是服務(wù)于應(yīng)試與升學(xué)，更服務(wù)于成長(zhǎng)與成才。在人教版“整式的加減”的教學(xué)中，我們可以嘗試通過多個(gè)方面來滲透數(shù)學(xué)思想，引領(lǐng)學(xué)生成長(zhǎng)。

數(shù)學(xué)；思想；數(shù)形結(jié)合

整式的加減是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。它是學(xué)習(xí)整式的乘除、分式和根式運(yùn)算、方程以及函數(shù)等知識(shí)的基礎(chǔ)。整式的加減，不僅要熟練運(yùn)用整式的加減法則進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值，領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想則更是重中之重。巧用各類數(shù)學(xué)思想對(duì)解決有關(guān)問題常有事半功倍的效果。

一、用字母表示數(shù)的思想

用字母表示數(shù)，是發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)、進(jìn)行量化刻畫的基礎(chǔ)，同時(shí)也是從常量研究到變量研究的基礎(chǔ)，從具體到抽象的規(guī)律發(fā)現(xiàn)的重要過程，是算術(shù)跨越到代數(shù)的橋梁，是學(xué)生學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)必須進(jìn)行的思想方法、思維方式轉(zhuǎn)變的第一關(guān)，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)非常重要。

例1計(jì)算2015×20162016-2016×20152015。

分析：此題雖然可以直接計(jì)算，但過于煩瑣。如果設(shè)x=2015，y=2016，用字母表示數(shù)，把數(shù)的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的運(yùn)算，則可使運(yùn)算簡(jiǎn)便。

點(diǎn)評(píng)：正確理解用字母表示數(shù)，是學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵，通過本題我們發(fā)現(xiàn)，有時(shí)用字母表示數(shù)可以使問題簡(jiǎn)化。

二、整體思想

整體思想就是考慮問題時(shí)，不著眼于它的局部特征，而是將具有共同特征的某幾項(xiàng)某一類看成一個(gè)整體的數(shù)學(xué)思想方法。在中考中該思想方法比較常見，尤其在化簡(jiǎn)求值題中經(jīng)常用到。

例2當(dāng)x=-1時(shí)，整式ax3+bx+3的值為7，則當(dāng)x=1時(shí)，其值為______。

分析：把x=-1代入整式，得到-a+b+3=7，即-（a+b）=4，雖無法求出a，b的值，但當(dāng)x=1時(shí)，整式ax3+bx+3就可表示為a+b+3，整體代入即可。

解：當(dāng)x=-1時(shí)，原式=-a+b+3=7，即-（a+b）=4。

所以，原式=a+b+3=-4+3=-1。

1）王家會(huì)站測(cè)驗(yàn)斷面相對(duì)穩(wěn)定，中高水水位流量關(guān)系相關(guān)性較好，中高水經(jīng)單值化處理定線后，水位流量關(guān)系線系統(tǒng)誤差的絕對(duì)值和隨機(jī)不確定度均小于《水文巡測(cè)規(guī)范》（SL195-2015）4.5.2條基本站允許誤差。

點(diǎn)評(píng)：解題時(shí)不要只著眼“局部”，還要著眼于“整體”，利用“整體代入”的方法會(huì)使一類整式的化簡(jiǎn)求值問題便于解決。

三、方程思想

方程思想就是把未知數(shù)看成已知數(shù)，讓代替未知數(shù)的字母和已知數(shù)一樣參加運(yùn)算，找出相關(guān)量之間的相等關(guān)系，列出方程或方程組，從而解決問題的一種思維方式。

例3若單項(xiàng)式axb+2y7與x5ya+3是同類項(xiàng)，求a-b的值。

分析：依據(jù)同類項(xiàng)的定義可知：兩個(gè)項(xiàng)中x的指數(shù)相等，y的指數(shù)也相等。

解：因?yàn)閱雾?xiàng)式axb+2y7與x5ya+3是同類項(xiàng)，所以b+2=5，a+3=7，則有a=4，b=3，所以a-b=4-3=1。

點(diǎn)評(píng)：用方程思想分析解決問題，直觀明了，便于理解，是今后解實(shí)際問題及解其他問題（如空間與圖形問題）的重要方法。

四、歸納思想

從特殊（具體）的例子出發(fā)，經(jīng)過猜想、探究、歸納出一般（抽象）的規(guī)律。這種特殊到一般、具體到抽象的方法滲透了我們數(shù)學(xué)中常用的歸納思想，對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維非常重要。

例4用同樣大小的正方形按下列規(guī)律擺放，將重疊部分涂上顏色，下面的圖案中，第n個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)是______。

答案：4n-1。

點(diǎn)評(píng)：這種“特殊（具體）→一般（抽象）”的思維方式，正是人類認(rèn)識(shí)新事物、探索新規(guī)律常用的方法。由于此類命題切合培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)的新課標(biāo)要求，所以逐漸成為各類考核命題的熱點(diǎn)。

五、分類討論思想

我們?cè)谘芯拷鉀Q有關(guān)問題的時(shí)候，常常根據(jù)問題的特點(diǎn)和具體要求，按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，把這個(gè)問題分為若干種互不重復(fù)的情形，然后加以處理的一種數(shù)學(xué)思想就稱為分類討論的思想。

例5試比較a2-3a+4與a2-4a+3的大小。

分析：比較大小的常規(guī)方法有很多種，本題最常用的是作差法。兩個(gè)式子的大小可以通過它們的差來判斷，即若a-b＞0，則a＞b；若a-b=0，則a=b；若a-b＜0，則a＜b。

解：（a2-3a+4）-（a2-4a+3）=a+1

分三種情況討論：

當(dāng)a＞-1時(shí)，a+1＞0，即（a2-3a+4）-（a2-4a+3）＞0，∴a2-3a+4＞a2-4a+3；

當(dāng)a=-1時(shí)，a+1=0，即（a2-3a+4）-（a2-4a+3）=0，∴a2-3a+4=a2-4a+3；

當(dāng)a＜-1時(shí)，a+1＜0，即（a2-3a+4）-（a2-4a+3）＜0，∴a2-3a+4＜a2-4a+3。

點(diǎn)評(píng)：分類討論思想的實(shí)質(zhì)是把問題“分而治之，各個(gè)擊破”。當(dāng)題目中的條件不確定時(shí)，一般應(yīng)采用分類討論思想方法進(jìn)行解答。用分類討論思想解題時(shí)，關(guān)鍵是不重復(fù)不遺漏，尤其要注意分類標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一性。

六、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是通過構(gòu)建數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使數(shù)與形相互啟發(fā)、相互補(bǔ)充、相互轉(zhuǎn)化。仔細(xì)觀察圖形，找出反映圖形的數(shù)量關(guān)系，就能正確地解決問題。

例6已知在數(shù)軸上a、b、c的位置，如圖所示，試化簡(jiǎn)

分析：對(duì)帶有絕對(duì)值符號(hào)的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，首先要考慮的是去掉絕對(duì)值符號(hào)，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)確定去掉絕對(duì)值符號(hào)后取什么符號(hào)，最后再用整式的加減運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)。

點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法，它利用“數(shù)”與“形”各自的特點(diǎn)，互相補(bǔ)充，使數(shù)形相互依偎，為我們解決問題創(chuàng)造便利。

在解題時(shí)，有意識(shí)且熟練地運(yùn)行各種數(shù)學(xué)思想，整式加減不僅會(huì)變得更容易，而且能大大提高答題的正確率。因此，在日常教學(xué)中，我們要不斷將這種思想滲透進(jìn)去，讓學(xué)生熟練運(yùn)用。