江蘇省淮安市淮陰區(qū)開明中學(xué)　史燕萍

借助信息技術(shù)平臺(tái)，化解直角坐標(biāo)系中等腰直角三角形問題

江蘇省淮安市淮陰區(qū)開明中學(xué)史燕萍

以平面直角坐標(biāo)系為載體，加上等腰直角三角形的條件，易形成綜合性較強(qiáng)的問題，此類題型往往將點(diǎn)坐標(biāo)知識(shí)、等腰三角形性質(zhì)、三角形全等、勾股定理等知識(shí)貫穿其中，并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問題。而運(yùn)用信息技術(shù)，進(jìn)行資源整合，優(yōu)化此類問題的解法，可提高學(xué)生的綜合能力。

一、運(yùn)用課件展示圖形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”求點(diǎn)坐標(biāo)

（1）求k的值和邊AC的長(zhǎng)；

（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)。

二、運(yùn)用信息技術(shù)將三角形旋轉(zhuǎn)變化，根據(jù)三角形全等得等量關(guān)系

例2將等腰直角△ABC斜放在平面直角坐標(biāo)系中，使直角頂點(diǎn)C與點(diǎn)（1，0）重合，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，1）。

（1）求△ABC的面積S；（2）求直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。

【分析】（1）證△ACD≌△CBE，

【點(diǎn)評(píng)】作輔助線構(gòu)造三角形全等得到對(duì)應(yīng)邊相等是解決問題的關(guān)鍵。

三、運(yùn)用信息技術(shù)作出輔助線，根據(jù)分類討

論思想畫出兩種圖形

例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，0）、B（0，4），以AB為斜邊作等腰直角△ABC，則點(diǎn)C坐標(biāo)為_____________。

【分析】由于題中點(diǎn)C的位置不確定，所以有圖①圖②兩種情況，需要分類討論，并作輔助線根據(jù)全等得結(jié)論。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)；難點(diǎn)在于分類思想的運(yùn)用。

四、運(yùn)用信息技術(shù)展示旋轉(zhuǎn)過程，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想得到數(shù)量關(guān)系

圖1

圖2

圖3

（1）求k的值；

（2）如圖2，過點(diǎn)O作OD⊥AC于D，求CD2-AD2的值；

（3）如圖3，將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線AO交x軸正半軸于點(diǎn)P，射線AB交（1）中雙曲線上于點(diǎn)Q，△PAQ能否成為以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若能，求點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)；若不能，說明理由。

【分析】（1）首先過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，AN⊥y軸于N，則AM=AN，進(jìn)而得出A點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等，進(jìn)而代入一次函數(shù)解析式求出即可；

（2）由（1）得AD2=OA2-OD2①，CD2=OC2-OD2②，利用②-①：CD2-AD2=OC2-OA2求出即可；

（3）如圖易證△AOP≌△ABQ（ASA），再根據(jù)OP=BQ可求出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)。

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)綜合應(yīng)用、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，需利用數(shù)形結(jié)合找出全等三角形從而得出數(shù)量關(guān)系。

五、中考真題再現(xiàn)

1.（2016鎮(zhèn)江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)O是正方形OABC的一個(gè)頂點(diǎn)，已知點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，7），過點(diǎn)P（a，0）（a＞0）作PE⊥x軸，與邊OA交于點(diǎn)E（異于點(diǎn)O、A），將四邊形ABCE沿CE翻折，點(diǎn)A、B分別是點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，若點(diǎn)A恰好落在直線PE上，則a的值等于（）。

【分析】本題考查了正方形的折疊和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)造三對(duì)三角形全等，用字母表示點(diǎn)A的坐標(biāo)并列出方程求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再進(jìn)一步得出OP長(zhǎng)。理解AE在PE上時(shí)，AB與x軸平行并正確作圖是難點(diǎn)。

思考與感悟：

1.巧借信息技術(shù)進(jìn)行資源整合

信息技術(shù)的豐富資源，為教師提供了海量的教學(xué)資源，開闊了視野，激活了思維，為教師打造高效的專題性教學(xué)提供了寶貴的素材，也改變學(xué)生學(xué)習(xí)的方式，為學(xué)生提供探索復(fù)雜問題、多角度理解數(shù)學(xué)思想的機(jī)會(huì)，開闊了學(xué)生數(shù)學(xué)探索的視野。

2.變式訓(xùn)練提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力

通過信息技術(shù)手段進(jìn)行圖形的變化，讓學(xué)生體會(huì)相互間的聯(lián)系與區(qū)別，掌握舉一反三解決相關(guān)問題的方法與技巧。讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)變式，概括總結(jié)一類問題的解決策略，學(xué)生獲得的不僅僅是學(xué)習(xí)成績(jī)的提升，還有自主高效的學(xué)習(xí)能力提升。

【備注：本文系省級(jí)課題。信息技術(shù)條件下初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資源開發(fā)研究的研究成果，課題編號(hào)：30102】