江蘇省靖江中等專業(yè)學(xué)校 季潔宇

幾何畫板應(yīng)用于“指數(shù)函數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)

江蘇省靖江中等專業(yè)學(xué)校 季潔宇

在傳統(tǒng)的教學(xué)中，考查隨著底數(shù)的變化對(duì)指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)產(chǎn)生的影響時(shí)，通常是用描點(diǎn)法進(jìn)行圖象教學(xué)，費(fèi)時(shí)又費(fèi)力。而利用幾何畫板來探究指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)則能很好地解決上述問題，將底數(shù)的變化和指數(shù)函數(shù)圖象的變化對(duì)應(yīng)起來，通過底數(shù)的連續(xù)動(dòng)態(tài)變化展示指數(shù)函數(shù)圖象的分布情況，給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)動(dòng)態(tài)、可視的教學(xué)情景，從而突出本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。

幾何畫板［1］；指數(shù)函數(shù)［2］；圖像動(dòng)態(tài)變化

指數(shù)函數(shù)傳統(tǒng)的教學(xué)用方法主要是通過手工作出圖象來認(rèn)識(shí)，考查底數(shù)的變化對(duì)指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的影響，往往是通過觀察函數(shù)值的運(yùn)算得出。這一操作費(fèi)時(shí)又費(fèi)力，學(xué)生只能在老師的解釋和粗略的作圖條件下進(jìn)行理解，而利用幾何畫板能很好地解決這一問題。在幾何畫板的背景下，只需通過改變作圖過程中參數(shù)值（即底數(shù)）所對(duì)應(yīng)動(dòng)線段端點(diǎn)的位置，就可以觀察到參數(shù)值（即底數(shù)）的變化對(duì)指數(shù)函數(shù)圖象的影響，從而讓學(xué)生在圖象觀察中總結(jié)出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并能讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的魅力及數(shù)學(xué)的動(dòng)態(tài)美。

幾何畫板是一個(gè)用于幾何動(dòng)態(tài)研究的計(jì)算機(jī)作圖工具，它不僅具有強(qiáng)大的作圖、計(jì)算及動(dòng)畫功能，而且具有即時(shí)性和交互性。利用幾何畫板作圖圖形更精確、科學(xué)、合理、數(shù)學(xué)味更濃，作圖過程中也更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想；同時(shí)利用幾何畫板輔助教學(xué)可以創(chuàng)造一個(gè)動(dòng)態(tài)的、可視的教學(xué)情景，能使抽象的問題直觀化、形象化，學(xué)生也易于理解和接受，課堂教學(xué)效果好。

一、教學(xué)分析

1.教學(xué)背景

本節(jié)課內(nèi)容是蘇教版《數(shù)學(xué)》（基礎(chǔ)模塊上冊(cè)），根據(jù)教學(xué)實(shí)際情況，本節(jié)內(nèi)容劃分為兩個(gè)課時(shí)。第一課時(shí)：探究指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；第二課時(shí)：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用。指數(shù)函數(shù)是學(xué)生在學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)以及了解了冪函數(shù)之后，學(xué)習(xí)的又一個(gè)新的初等函數(shù)。它是一種新的函數(shù)模型，也是應(yīng)用研究函數(shù)的一般方法，研究函數(shù)的一次深刻實(shí)踐。指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，一方面可以進(jìn)一步深化對(duì)函數(shù)概念的理解，另一方面也為研究對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等初等函數(shù)打下基礎(chǔ)，同時(shí)在生活及生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用。

2.教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與能力目標(biāo)：能從具體實(shí)例中概括指數(shù)函數(shù)典型特征，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，建構(gòu)指數(shù)函數(shù)的概念；掌握指數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。

（2）過程和方法目標(biāo)：能借助《幾何畫板》軟件畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)；滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想。

（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：在對(duì)研究的目標(biāo)、方法和途徑已有初步認(rèn)識(shí)的情況下，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生較好的歸納、猜想和推理能力；在探究活動(dòng)中，學(xué)生通過獨(dú)立思考和合作交流，發(fā)展思維，養(yǎng)成良好思維習(xí)慣，提升自主學(xué)習(xí)能力。

3.教學(xué)對(duì)象

中職一年級(jí)會(huì)計(jì)班

4.教學(xué)方法

任務(wù)驅(qū)動(dòng)法、小組合作法

5.教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)。

難點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的探究過程及其圖象與底數(shù)的關(guān)系。

6.教學(xué)準(zhǔn)備

多媒體教室、班級(jí)分為ABCDEF六小組。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.教學(xué)軟件設(shè)計(jì)

（1）用PowerPoint制作演示文稿，在投影中體現(xiàn)課題、教學(xué)目標(biāo)、學(xué)習(xí)方法、問題、結(jié)論等。

（2）用《幾何畫板》軟件制作“描點(diǎn)法作指數(shù)函數(shù)圖象”、“底數(shù)在連續(xù)變化的指數(shù)函數(shù)圖象”等動(dòng)態(tài)課件。

2.教學(xué)流程設(shè)計(jì)

（1）創(chuàng)設(shè)情境，建構(gòu)概念

【情境1】某細(xì)胞分裂時(shí)，由一個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，4個(gè)分裂成8個(gè)，……如果不考慮細(xì)胞的死亡，細(xì)胞分裂x次時(shí)相應(yīng)的細(xì)胞個(gè)數(shù)為y，如何描述這兩個(gè)變量的關(guān)系？

【情境2】“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。設(shè)木棰的剩余量為y，次數(shù)為x，如何描述這兩個(gè)變量的關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】通過列舉生活中指數(shù)函數(shù)的具體例子，感受指數(shù)函數(shù)與實(shí)際生活的聯(lián)系。引導(dǎo)學(xué)生從具體實(shí)例中概括典型特征。

【設(shè)計(jì)意圖】概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生感受形成過程，了解知識(shí)的來龍去脈。指數(shù)概念的形成，經(jīng)歷一個(gè)由粗到細(xì)、由特殊到一般、由具體到抽象的漸進(jìn)過程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

例1：（搶答）判斷下列函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù)？

小結(jié)：指數(shù)函數(shù)是y=ax或化歸成y=ax形式的函數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)主要設(shè)計(jì)意圖是加深學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)定義及呈現(xiàn)方式的理解，通過例1來檢測(cè)學(xué)習(xí)效果；教師請(qǐng)學(xué)生給出答案，并進(jìn)行評(píng)析。

（2）實(shí)驗(yàn)探索，匯報(bào)交流

問題1：你打算如何研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)？

啟發(fā)：我們一般研究函數(shù)的時(shí)候都研究哪些性質(zhì)？當(dāng)初我們是怎樣研究這些性質(zhì)的？請(qǐng)同學(xué)們思考后組內(nèi)交流。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、表示方法及其性質(zhì)，所以教師可以先讓學(xué)生明確研究函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)容與方法，然后通過問題串的形式對(duì)學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)。

討論得出：一般研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性。獲得性質(zhì)的途徑有：一種是從圖象入手，即我們可以通過畫具體函數(shù)圖象，分析它們的性質(zhì)。然后由這幾個(gè)具體的指數(shù)函數(shù)歸納總結(jié)一般指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。另外一種就是從函數(shù)的解析式入手，用代數(shù)式證明的方法獲得性質(zhì)。事實(shí)上，我們可以將兩者結(jié)合起來，先從具體圖象入手獲得性質(zhì)然后利用代數(shù)式證明的方法對(duì)獲得的性質(zhì)加以證明。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在對(duì)已有的函數(shù)的認(rèn)知基礎(chǔ)上，各小組討論提出所要研究的問題及研究問題的方法。

問題2：選取數(shù)據(jù)，畫出圖象，觀察特點(diǎn)，歸納性質(zhì)。

【設(shè)計(jì)意圖】考慮到中職學(xué)生已有的認(rèn)知水平，老師直接規(guī)定每小組畫一對(duì)具體指數(shù)函數(shù)圖象，這有可能造成學(xué)生片面的認(rèn)知，但是通過組間交流，學(xué)生相互補(bǔ)充，共同驗(yàn)證結(jié)論，最后達(dá)到完整的認(rèn)知。

【設(shè)計(jì)意圖】教師啟發(fā)、點(diǎn)撥。以小組為單位，選出代表匯報(bào)學(xué)習(xí)成果，投影并供全體學(xué)生交流。教師演示“描點(diǎn)法作圖”、“底數(shù)在連續(xù)變化時(shí)指數(shù)函數(shù)圖象”使之與匯報(bào)交流活動(dòng)達(dá)成共識(shí)，最后實(shí)現(xiàn)殊途同歸。

師生共同得出幾何特征并板書，指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）具有以下性質(zhì)：

①定義域?yàn)镽。

②值域?yàn)椋?，+∞）。

③圖像過定點(diǎn)（0，1）。

④非奇非偶函數(shù)。

⑤當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y=ax在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；0＜a＜1時(shí)，函數(shù)在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減。

【設(shè)計(jì)意圖】由幾何畫板的動(dòng)態(tài)圖象歸納得到的性質(zhì)最好得到有理有據(jù)的驗(yàn)證，對(duì)于指數(shù)函數(shù)引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)解析式入手進(jìn)行證明，例如指數(shù)函數(shù)定義域、值域、過定點(diǎn)等。

（3）新知運(yùn)用，鞏固深化

例2比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大小：

解：①考察指數(shù)函數(shù)y=1.6x。

因?yàn)?.6＞1，

所以y=1.6x在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增。

又因?yàn)?.2＜3.3，

所以1.63.2＜1.63.3。

②、③略。

［設(shè)計(jì)意圖］大部分學(xué)生能運(yùn)用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解決問題，可能有部分同學(xué)利用作商或作差進(jìn)行比較，轉(zhuǎn)化為比較冪與1的大小，進(jìn)而運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。學(xué)生在初步運(yùn)用新知解決問題時(shí)，提醒學(xué)生應(yīng)注重題意理解，擴(kuò)大知識(shí)遷移，感悟解題方法，鞏固新知，加深理解。

思考：①、②能否用函數(shù)的圖象來驗(yàn)證一下答案？③能否用計(jì)算器來驗(yàn)證一下答案？

幾何畫板驗(yàn)證①、②如下圖：

知識(shí)拓展：“復(fù)利”實(shí)際上就是我們通常所說的“利滾利”。即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再計(jì)算下一期的利息。如果存入銀行1000元，年利率是2.25%，按照復(fù)利，試計(jì)算5年末的本利和。你能在Excel工作表中完成相應(yīng)的財(cái)務(wù)函數(shù)計(jì)算嗎？

提示：FV函數(shù)，在固定利率的等額分期付款方式中，計(jì)算某項(xiàng)投資的終值。只需在Excel單元格中輸入“=FV（rate，nper，pmt，［pv］，［type］）”即“FV（利率，期數(shù)，每期投入，初期值，期初/期末模式）”便可得到，如下圖。

［設(shè)計(jì)意圖］讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)是學(xué)好其他專業(yè)課的基礎(chǔ)。

（4）概括知識(shí)，總結(jié)評(píng)價(jià)

問題3：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？你還學(xué)會(huì)了哪些方法？

①指數(shù)函數(shù)的定義、性質(zhì)以及簡(jiǎn)單應(yīng)用。

②研究函數(shù)的一般方法和步驟。先確定研究的內(nèi)容：定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性和其他性質(zhì)；然后從幾個(gè)具體的指數(shù)函數(shù)開始，畫出圖象，列出性質(zhì)；最后得到一般情況。這是一種從特殊到一般的研究方法，這種方法在今后我們學(xué)習(xí)新的函數(shù)的時(shí)候還會(huì)繼續(xù)沿用、還要繼續(xù)深化。

【設(shè)計(jì)意圖】課堂總結(jié)不應(yīng)僅僅是對(duì)知識(shí)的簡(jiǎn)單回顧，而是讓學(xué)生在知識(shí)、方法、策略等多方位進(jìn)行反思，使學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí)能力也有所提高。

（5）分層作業(yè)，因材施教

①必做題：課本P79練習(xí)1、2、3

學(xué)習(xí)指導(dǎo)用書B組1、2、3、4。

三、教學(xué)反思

1.探究指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是本節(jié)課的一條主線，而知識(shí)的建構(gòu)始終圍繞數(shù)形結(jié)合來進(jìn)行，在函數(shù)性質(zhì)探究的過程中要制作大量的圖形，因此教學(xué)中使用《幾何畫板》軟件來完成這一任務(wù)，將不同的函數(shù)圖象展示出來，同時(shí)又能動(dòng)態(tài)地展示函數(shù)圖象的形成過程以及變化過程。《幾何畫板》的使用，使得軌跡問題形象直觀，便于正確建構(gòu)知識(shí)。學(xué)生可以從多個(gè)維度感受和體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生、形成過程，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力，同時(shí)也激發(fā)了學(xué)生的興趣和熱情，活躍了學(xué)生的思維，調(diào)動(dòng)了學(xué)生積極參與、主動(dòng)學(xué)習(xí)、獨(dú)立探索新知識(shí)的精神。

2.本節(jié)課充分體現(xiàn)以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的教學(xué)理念。每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，每一個(gè)學(xué)生都能夠積極參與，在相互學(xué)習(xí)中，不同層次的學(xué)生都得到了不同的收獲；在相互切磋中，學(xué)會(huì)了用多種方法來學(xué)習(xí)，打開了學(xué)生的學(xué)習(xí)視野。既有全體學(xué)生的共同提高，又不乏個(gè)性智慧之光，使教師向“因材施教”的理想邁進(jìn)了一步。

3.在教學(xué)過程中，語言不夠簡(jiǎn)練，與學(xué)生的互動(dòng)面不夠廣，還不夠讓學(xué)生充分展現(xiàn)自己。

［1］葉建紅.幾何畫板在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.科技信息，2012（18）：345-346.

［2］崔永紅，邱亞明.改進(jìn)指數(shù)函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)的三個(gè)案例［J］.職業(yè)教育研究，2010（11）：104-105.