江蘇省宿遷市馬陵中學(xué)高二　于見昊

對(duì)高考具有對(duì)稱美的函數(shù)問題的研究

江蘇省宿遷市馬陵中學(xué)高二于見昊

在高考中，經(jīng)常出現(xiàn)對(duì)于含x1和x2的對(duì)稱式的證明。這些證明不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，更是對(duì)函數(shù)本質(zhì)進(jìn)行了深刻考查。作為一名學(xué)生我分享一下自己對(duì)于這類題目的解題方法。

方法一：根據(jù)題意先縮小未知數(shù)范圍再進(jìn)行證明

例題：已知f（x）=ex-alnx-a，其中常數(shù)a＞0。若f（x）有兩零點(diǎn)x1和x2且0＜x1＜x2，求證：＜x1＜x2＜a。

首先根據(jù)題意f（x）要有兩個(gè)相異零點(diǎn)。我們先求反面補(bǔ)集反設(shè)f（x）至多有一零點(diǎn)，求此時(shí)a的范圍。

，1）　1?。?，+∞）ψ′（x）-　0　+ ψ（x）遞減　極小值　遞增x（

所以ψ（x）min=ψ（1）=e從而0＜a＜e，綜上0＜a＜e。

⒉f（x）有唯一零點(diǎn)時(shí)即f（x）=0只有一解時(shí)，由1.中③可知此時(shí)a=ψ（x）min=ψ（1）=e。所以綜合1.2.0＜a≤e。

由題意f（x）要有兩個(gè)相異零點(diǎn)且a＞0，所以可知a＞e，f（1）=e-a＜0。此時(shí)a的范圍已經(jīng)被縮小，此范圍正是解題關(guān)鍵。

本題首先根據(jù)存在兩相異零點(diǎn)縮小a范圍并最終根據(jù)a的范圍用零點(diǎn)存在定理完成證明。反設(shè)法的應(yīng)用也是本題亮點(diǎn)。

方法二：利用反證法與基本不等式解決

方法三：利用著名不等式證明后使用輔助解題，構(gòu)造新函數(shù)由函數(shù)單調(diào)性解題

面對(duì)具有對(duì)稱美的函數(shù)問題要通過兩式相加減或零點(diǎn)存在定理進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，再根據(jù)題目條件進(jìn)行適當(dāng)處理。這要求我們學(xué)生能夠提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，吃透問題本質(zhì)。一味進(jìn)行題海戰(zhàn)術(shù)不求甚解的學(xué)生只能看出此類問題的形，無法掌握其魂，最終只能在多變的題目中迷茫?？梢娢覀兾ㄓ猩羁塘私夂瘮?shù)的性質(zhì)內(nèi)涵才能在面對(duì)此類題目時(shí)游刃有余。