陳苗苗

（浙江省永嘉縣羅浮中學(xué)）

化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的運(yùn)用探討

陳苗苗

（浙江省永嘉縣羅浮中學(xué)）

數(shù)學(xué)是我國(guó)高中教學(xué)體系中十分重要的一環(huán)，是一項(xiàng)基礎(chǔ)性的學(xué)科，圍繞化歸思想的概念展開(kāi)討論，論述化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義，探究化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的運(yùn)用。

高中數(shù)學(xué)；函數(shù)；化歸思想；運(yùn)用

一、化歸思想

所謂化歸思想，不僅是一種解題的思路，也是一種在生活中常用的基本思維策略，在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用十分廣泛。其策略的運(yùn)用指的是通過(guò)某種手段或者方法，將所要解答、研究的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而便于解答。一般來(lái)說(shuō)，化歸思想是將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將未知的數(shù)值用已知的數(shù)值表示，又或者是將未解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的題目，通過(guò)這種簡(jiǎn)單化、直觀化的轉(zhuǎn)變幫助學(xué)生更好地解決部分具有一定難度的問(wèn)題?；瘹w思想的具體方法主要有待定系數(shù)法、配方法、元素代入法、抽象問(wèn)題具體化等，其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用包括數(shù)值之間的轉(zhuǎn)化、圖形之間的轉(zhuǎn)化、數(shù)值和圖形之間的轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)模型和具體問(wèn)題的轉(zhuǎn)化等。數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的高低在一定程度上影響學(xué)生的全面發(fā)展，而函數(shù)是數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的一部分。化歸思想作為一種解答技巧，在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用十分廣泛，如果能夠掌握并且靈活運(yùn)用解題策略，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有極大的幫助。

二、化歸思想的運(yùn)用在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義

1.加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理解

數(shù)學(xué)是一門很抽象的學(xué)科，它既不像語(yǔ)文、英語(yǔ)那樣通過(guò)大量的知識(shí)記憶就可以掌握基本的知識(shí)，也不像生物、地理那樣是實(shí)物化的知識(shí)。而是需要學(xué)生通過(guò)大腦思維的構(gòu)建來(lái)理解、吸收，因此大部分學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上有一定的困難?；瘹w思想是將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，這樣一來(lái)就從根本上促使學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，并且通過(guò)思想經(jīng)驗(yàn)的不斷積累，幫助學(xué)生將知識(shí)點(diǎn)連接起來(lái)，從而幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的精髓所在。

2.幫助學(xué)生拓展數(shù)學(xué)思維

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)在于學(xué)習(xí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維策略，而策略的關(guān)鍵在于是否將所學(xué)知識(shí)靈活運(yùn)用，因此需要學(xué)生積累一定的解題方法。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)到的解題方法大都由教師教授，很少自己探索。通過(guò)化歸思想的培養(yǎng)，學(xué)生在解題中學(xué)會(huì)自己將問(wèn)題簡(jiǎn)單化，通過(guò)知識(shí)的運(yùn)用和轉(zhuǎn)化，不僅加深了對(duì)知識(shí)的理解，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，還鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，拓寬了解題的思路。

3.提高學(xué)生分析題目的能力

化歸思想的另一種運(yùn)用，就是將新學(xué)的知識(shí)和過(guò)去熟悉的舊知識(shí)相互轉(zhuǎn)化。培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用化歸思想，使學(xué)生在面對(duì)陌生的知識(shí)時(shí)，能夠通過(guò)轉(zhuǎn)化得到自己熟悉的知識(shí)，幫助學(xué)生提高分析題目的能力。

三、化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的運(yùn)用

1.換元法

所謂換元法，就是運(yùn)用化歸思想，將原本復(fù)雜陌生且不規(guī)范的方程或者式子轉(zhuǎn)換成為熟悉、簡(jiǎn)單的式子，這種簡(jiǎn)單的換元在數(shù)學(xué)中十分常見(jiàn)，是一種相對(duì)比較容易掌握的解題思路，換元法要求學(xué)生能夠?qū)⒎磸?fù)出現(xiàn)的未知參數(shù)或者已知條件看作一個(gè)整體，從而應(yīng)用熟悉的知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化，分析出題目的真實(shí)用意。

這道題目的解答可以借助化歸思想利用換元法來(lái)解答，首先可以假設(shè)cos x=a，2sin x=b，通過(guò)對(duì)已知條件進(jìn)行分析可得a+2b=，接下來(lái)聯(lián)系課本所學(xué)的三角函數(shù)的基本知識(shí)可知cos x的平方加上sin x的平方之和等于1，也就是說(shuō)a的平方加上b的平方等于1，通過(guò)將復(fù)雜的式子簡(jiǎn)單化，便可以清晰得出兩個(gè)簡(jiǎn)單易懂的方程，接下來(lái)通過(guò)聯(lián)立方程，可以直接得出a和b之間的關(guān)系，即2a=b，因此可以得出答案tan x=2。

2.數(shù)字與圖形之間的轉(zhuǎn)化

數(shù)字與圖形之間的轉(zhuǎn)化相對(duì)于換元法來(lái)說(shuō)會(huì)更加復(fù)雜一些，在數(shù)學(xué)題目中，有些函數(shù)方程本身就與圖形有對(duì)等的聯(lián)系，譬如圓柱的面積為2πr*h+πr2，圓的面積為πr2等等，另外還有一些曲線，例如，拋物線、雙曲線等都與數(shù)值直接相關(guān)，而將圖形與數(shù)字進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，就是將抽象的數(shù)字用圖形的形式表示出來(lái)，通過(guò)圖形的展示，讓學(xué)生能夠直觀感受、理解題目的原意。特別是高中數(shù)學(xué)的函數(shù)部分，學(xué)生可以靈活運(yùn)用課本所學(xué)圖形與數(shù)值之間的聯(lián)系，借助化歸思想，將抽象的題目簡(jiǎn)單化，從而方便學(xué)生解答題目。接下來(lái)借助一個(gè)例子來(lái)解釋一下：

例如：已知函數(shù)f（x）=2-|x|，x≤2，且f（x）=（x-2）2，x＞2，另一個(gè)函數(shù)g（x）=b-f（2-x），其中b屬于全體實(shí)數(shù)，如果函數(shù)y=f（x）-g（x），恰有四個(gè)零點(diǎn)，則b的取值范圍是（）

由題目可知，y=f（x）-g（x）=f（x）+f（2-x）-b，所以y=f（x）-g（x）恰有4個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程f（x）+f（2-x）-b=0有4個(gè)不同的解，即函數(shù)y=b與函數(shù)y=f（x）+f（2-x）的圖象有4個(gè)公共點(diǎn)，接下來(lái)通過(guò)函數(shù)的式子畫出與之對(duì)應(yīng)的圖形，如下圖所示：

通常情況下，如果在題目中求解方程解的個(gè)數(shù)或者提到函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題時(shí)，其題目的真正用意不是讓做題者將方程解答出來(lái)，必定是通過(guò)特殊的途徑繞過(guò)解方程的繁雜步驟而直接得到答案，通過(guò)借助化歸思想，將抽象的問(wèn)題具體化，幫助做題者能夠一目了然地得出正確答案。

3.將未知的參數(shù)已知化

在函數(shù)解題的過(guò)程中，常常會(huì)遇到一些陌生的式子，需要做題者對(duì)公式進(jìn)行證明或者求最值，面對(duì)這樣一道陌生的題目，如果不運(yùn)用化歸思想，將未知的題目轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)的話，學(xué)生在解答題目時(shí)會(huì)感到困難，而在函數(shù)題目的解答中，有許多未知的式子都是通過(guò)基本的定理轉(zhuǎn)變過(guò)來(lái)的，所以化歸思想的掌握對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)是十分有必要的。所謂將未知的參數(shù)已知化，指的是將題目給出的式子與基本的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)，構(gòu)建一座聯(lián)系的橋梁，從而將復(fù)雜陌生的知識(shí)逐漸還原成熟悉的式子，從而推導(dǎo)出解決問(wèn)題的基本途徑，使解答過(guò)程簡(jiǎn)單化。接下來(lái)舉一個(gè)例子進(jìn)行說(shuō)明：

例如：求函數(shù)y=cos x+sin x+sin x cos x的最值。

這道題乍一看是找不到思路的，很多學(xué)生不知道該如何下手，但是通過(guò)對(duì)式子的觀察，我們可以很快發(fā)現(xiàn)題目的式子與三角函數(shù)之間的關(guān)系，那么就可以運(yùn)用化歸的思想，將原式與三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)建立聯(lián)系。首先可以運(yùn)用換元法假設(shè)n=cos x+ sin x，sin x cos x=（n2-1）/2，因此可得y=（n2-1）/2+n，進(jìn)一步換算可得y=n2/2+n-1/2。由三角函數(shù)的性質(zhì)可得，n∈［-，］，因此通過(guò)計(jì)算可得y的取值范圍是［-1，+1/2］，所以，求y的最大值時(shí)，n取，得最大值為+1/2，求y最小值時(shí)，n取-，得最小值為-1。

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需要學(xué)生擁有縝密的邏輯思維，并學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)。但由于數(shù)學(xué)中許多定理概念過(guò)于抽象化，導(dǎo)致學(xué)生難以理解，無(wú)法深入學(xué)習(xí)知識(shí)。因此對(duì)于教育工作者來(lái)說(shuō)，最重要的是引導(dǎo)學(xué)生逐漸掌握函數(shù)知識(shí)，化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用十分廣泛，通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生的思維邏輯，幫助學(xué)生加深對(duì)概念的理解，并通過(guò)練習(xí)達(dá)到鍛煉學(xué)生思維能力的目的。

［1］董朝芳.高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的滲透［J］.教育教學(xué)論壇，2014（21）：32.

［2］任瀟.高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用分析［J］.現(xiàn)代婦女（下旬），2014（4）：65.

［3］蔣塘涵.化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用［J］.求知導(dǎo)刊，2015，12（6）：116.

·編輯張慧