周和平

（武漢市新洲區(qū)第二中學(xué)）

一類導(dǎo)數(shù)題的常見解法

周和平

（武漢市新洲區(qū)第二中學(xué)）

函數(shù)求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)的符號決定原函數(shù)的單調(diào)性，對導(dǎo)函數(shù)要重點(diǎn)分析它的符號怎么確定的。

求導(dǎo)；子集；零點(diǎn)；圖像；分離變量；數(shù)形結(jié)合；構(gòu)造函數(shù)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在高考中有著重要地位。用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)單調(diào)性或極值問題時(shí)，我們經(jīng)常會遇到求導(dǎo)后怎么進(jìn)一步處理的問題，下面看幾個(gè)例子：

例1.（2010·全國卷Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=x3-3ax2+3x+1.

（1）設(shè)a=2，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)f（x）在區(qū)間（2，3）中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.

（2）解法一：利用子集關(guān)系

f′（x）=3［（x-a）2+1-a2］.

當(dāng)1-a2≥0時(shí)，f′（x）≥0，f（x）為增函數(shù)，故f（x）無極值點(diǎn)；

當(dāng)1-a2＜0時(shí)，f′（x）=0有兩個(gè)根，

解法五：間接法

考慮問題的反面，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，即f（x）在區(qū)間（2，3）無極值點(diǎn)，f（x）在區(qū)間（2，3）為單調(diào)函數(shù)，∴f′（x）=3x2-6ax+3≥0或f′（x）=3x2-6ax+3≤0在（2，3）上恒成立，具體解法類似如下例2。

例2.已知a為實(shí)數(shù)，f（x）=（x2-4）（x-a），若f（x）在（-∞，-2］和［2，+∞）上都是遞增的，求a的取值范圍.

【思路】由題意可知（-∞，-2］，［2，+∞）應(yīng)為函數(shù)f（x）的增區(qū)間的子集，即為不等式f′（x）≥0解集的子集，也可轉(zhuǎn)化為f′（x）=3x2-2ax-4≥0在（-∞，-2］∪［2，+∞）上恒成立.

解析f（x）=x3-ax2-4x+4a，f′（x）=3x2-2ax-4.

解法一：利用二次函數(shù)圖像特征

f′（x）=3x2-2ax-4的圖像開口向上，且過點(diǎn)（0，-4）的拋物線，

f′（x）=3x2-6ax+3=3（x2-2ax+1），

令g（x）=x2-2ax+1，x∈（2，3）問題轉(zhuǎn)化為g（x）=x2-2ax+1在（2，3）上有變號零點(diǎn)（零點(diǎn)兩邊的函數(shù)值符號相反）。

解法二：利用二次函數(shù)圖象特征

g（x）=x2-2ax+1的圖像為開口向上，且過點(diǎn)（0，1）的拋物線，

若g（x）=x2-2ax+1在（2，3）上有一個(gè)變號零點(diǎn)，則只須g（2）· g（3）＜0，得＜a＜①所以a的取值范圍為［-2，2］.

解法二：利用子集關(guān)系

令f′（x）=0，即3x2-2ax-4=0，由求根公式得

所以a的取值范圍是［-2，2］.

解法三：分離變量

f′（x）=3x2-2ax-4≥0恒成立，由3x2-4≥2ax分離變量，

同理，當(dāng)x≤-2時(shí)，得a≥-2，

所以a的取值范圍是［-2，2］.

解法三：分離變量

由x2-2ax+1=0得2a=x+在（2，3）上有變號零點(diǎn)，∴y=2a和y=x+在（2，3）上有交點(diǎn)

解法四：數(shù)形結(jié)合

x2+1=2ax在（2，3）上有變號零點(diǎn)，如下圖，分別畫出函數(shù)y= x2+1，x∈（2，3）和y=2ax的圖像。

解法四：數(shù)形結(jié)合

由解法三知3x2-4≥2ax在（-∞，-2］∪［2，+∞）上恒成立，即y=3x2-4，x∈（-∞，-2］∪［2，+∞）在直線y=2ax上方，∴直線的斜率范圍為-4≤2a≤4，得-2≤a≤2.

例3.（2010·新課標(biāo)全國）設(shè)函數(shù)f（x）=x（ex-1）-ax2.

（2）若當(dāng)x≥0時(shí)（fx）≥0，求a的取值范圍.

f′（x）=ex-1+xex-x=（ex-1）（x+1）.

當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0.

故f（x）在（-∞，-1］，［0，+∞）上單調(diào)遞增，在［-1，0］上單調(diào)遞減.

（2）f（x）=x（ex-1-ax）.由題意只需g（x）=ex-1-ax≥0在x≥0時(shí)恒成立即可.

解法一：則g′（x）=ex-a.

若a≤1，則當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，而g（0）=0，從而當(dāng)x≥0時(shí)g（x）≥0，即f（x）≥0.

若a＞1，則當(dāng)x∈（0，ln a）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，而g（0）=0，從而當(dāng)x∈（0，ln a）時(shí)g（x）＜0，即f（x）＜0.綜合得a的取值范圍為（-∞，1］.

解法二：數(shù)形結(jié)合

由題意，只須ex-1≥ax在x≥0時(shí)恒成立，函數(shù)h（x）=ex-1在原點(diǎn)O（0，0）處切線方程為y=x，直線y=ax在h（x）=ex-1（x≥0）下方，則a≤1.

思路：構(gòu)造函數(shù)

要ex-1-ax≥0成立，當(dāng)x=0時(shí)，顯然成立，此時(shí)a∈R，

函數(shù)求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)的符號決定原函數(shù)的單調(diào)性，對導(dǎo)函數(shù)要重點(diǎn)分析它的符號怎么確定的，根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)采取數(shù)形結(jié)合局部二次求導(dǎo)等方法來進(jìn)行突破。

練習(xí)：

2.已知函數(shù)（fx）=a ln x-ax-3（a∈R）.

（1）求函數(shù)（fx）的單調(diào)區(qū)間；

當(dāng)a＞0時(shí)，（fx）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1］，單調(diào)遞減區(qū)間為［1，+∞）；

當(dāng)a＜0時(shí)，（fx）的單調(diào)遞增區(qū)間為［1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1］；

當(dāng)a=0時(shí)，（fx）不是單調(diào)函數(shù).

∴g′（x）=x2+（m+4）x-2.

·編輯劉青梅