伊厚會，姚延立

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從陀螺儀進動與章動分析討論看大學(xué)物理剛體教學(xué)

伊厚會，姚延立

（濱州學(xué)院 航空工程學(xué)院 應(yīng)用物理研究中心，山東 濱州 256603）

從剛體轉(zhuǎn)動力學(xué)知識出發(fā)，以陀螺儀為例研究了剛體的定點轉(zhuǎn)動．利用角動量定理和簡諧振動的處理方法，通過研究向心力、自轉(zhuǎn)角速度、進動角速度和章動角速度等，分析了陀螺儀的進動與章動現(xiàn)象，并討論了影響其進動和章動的因素．總結(jié)了定點轉(zhuǎn)動和定軸轉(zhuǎn)動的區(qū)別和聯(lián)系，對大學(xué)物理剛體部分教學(xué)以及對理解和應(yīng)用陀螺儀的性能提供一定的參考．

陀螺儀；進動；章動；定軸轉(zhuǎn)動；定點轉(zhuǎn)動

剛體的定軸轉(zhuǎn)動是指在轉(zhuǎn)動中，剛體的轉(zhuǎn)軸固定不動．定軸轉(zhuǎn)動是分析剛體轉(zhuǎn)動的基礎(chǔ)，是大學(xué)物理教學(xué)的重要內(nèi)容．通過剛體定軸轉(zhuǎn)動的教學(xué)，學(xué)生可以解決飛輪、圓盤和桿等定軸旋轉(zhuǎn)問題．除定軸轉(zhuǎn)動外，定點轉(zhuǎn)動（即剛體繞一固定點轉(zhuǎn)動）也是現(xiàn)實生活中常見的運動現(xiàn)象．陀螺儀、回轉(zhuǎn)羅盤和航行器等都可看作定點轉(zhuǎn)動的實例．定點轉(zhuǎn)動中的進動和章動是工程技術(shù)和天文學(xué)中常見的現(xiàn)象，進動（亦稱旋進）是指一個自轉(zhuǎn)物體的自轉(zhuǎn)軸繞另一軸旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象；章動是指在進動的基礎(chǔ)上，自轉(zhuǎn)軸伴有上、下周期性運動．

陀螺儀在科學(xué)、技術(shù)和軍事等各個領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-2]．陀螺儀既能繞自轉(zhuǎn)軸高速旋轉(zhuǎn)，又能繞其它軸旋轉(zhuǎn)，其進動與章動運動分析是各類陀螺儀表設(shè)計的理論基礎(chǔ)．由于對陀螺儀的動力學(xué)分析是一種較為高深的問題，嚴格的數(shù)學(xué)處理相當(dāng)復(fù)雜，多數(shù)研究均從簡化陀螺儀動力學(xué)模型出發(fā)[3-8]．

本文從剛體的定點轉(zhuǎn)動模型出發(fā)，利用角動量定理和簡諧振動處理方法，通過研究向心力、自轉(zhuǎn)角速度、進動角速度和章動角速度等，分析了陀螺儀的旋轉(zhuǎn)問題，討論了影響陀螺儀進動與章動的因素．在大學(xué)物理教學(xué)中，針對機械設(shè)計制造等專業(yè)的學(xué)生結(jié)合陀螺儀實例拓展了該部分教學(xué)內(nèi)容，并對感興趣的學(xué)生進行了理論分析和實際應(yīng)用指導(dǎo)，增強了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和分析解決問題的能力．

1 陀螺的進動分析

圖1 陀螺旋轉(zhuǎn)運動示意圖

圖2 陀螺自轉(zhuǎn)軸垂直軸時，陀螺角動量增量和重力矩沖量關(guān)系示意圖

陀螺進動時質(zhì)心作圓周運動，需要外界提供向心力，分析各參數(shù)對向心力和陀螺運動的影響：（1）陀螺進動向心力與成正比，陀螺的質(zhì)心到轉(zhuǎn)動點的距離越小，陀螺越容易平穩(wěn)旋轉(zhuǎn)，即陀螺的重心越低越容易旋轉(zhuǎn)；（2）陀螺進動向心力與成正比，陀螺的進動與其質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量均有關(guān)，越小，陀螺越容易平穩(wěn)旋轉(zhuǎn)；（3）陀螺進動向心力與成反比，陀螺自轉(zhuǎn)角速度越大，進動時需要的向心力越小，陀螺旋轉(zhuǎn)越平穩(wěn)；（4）陀螺進動向心力與成正比．陀螺自轉(zhuǎn)軸與軸夾角越小，陀螺旋轉(zhuǎn)越平穩(wěn)，但陀螺自轉(zhuǎn)軸與軸夾角對陀螺進動的角速度沒有影響．

2 陀螺的章動分析

公式（3）為考慮章動時，陀螺的動力學(xué)方程表達形式．公式（3）中的第1項為重力矩，其主要作用是引起陀螺的進動．陀螺章動分析時，可以把公式（3）中的第1項舍去，得

通過分析，根據(jù)大學(xué)物理課程中剛體定軸轉(zhuǎn)動的知識，剛體的定軸轉(zhuǎn)動和定點轉(zhuǎn)動的區(qū)別和聯(lián)系主要有：（1）無論定軸轉(zhuǎn)動還是定點轉(zhuǎn)動，剛體轉(zhuǎn)動的角動量總是沿自轉(zhuǎn)軸方向，剛體的自轉(zhuǎn)角速度的變化由平行于自轉(zhuǎn)軸的合外力矩引起．（2）對于定軸轉(zhuǎn)動，垂直于自轉(zhuǎn)軸的合外力矩始終為零，剛體的自轉(zhuǎn)軸始終固定；對于定點轉(zhuǎn)動，剛體的進動和垂直于自轉(zhuǎn)軸的合外力矩有關(guān)．當(dāng)定點轉(zhuǎn)動的剛體在垂直于進動方向有微小偏離時，剛體在進動的同時會伴有類似簡諧振動的章動．

3 結(jié)語

本文從剛體力學(xué)知識出發(fā)，以陀螺儀為例分析了剛體的定點轉(zhuǎn)動．研究了陀螺儀的進動與章動現(xiàn)象，并討論了影響其進動和章動的力學(xué)因素．在此基礎(chǔ)上，分析總結(jié)了剛體定軸轉(zhuǎn)動和定點轉(zhuǎn)動的區(qū)別和聯(lián)系．在大學(xué)物理課程教學(xué)中，對機械設(shè)計制造等專業(yè)的學(xué)生拓展了該內(nèi)容，并對部分感興趣的學(xué)生進行了理論分析指導(dǎo)和實際應(yīng)用．結(jié)合陀螺儀實例講授剛體的定點轉(zhuǎn)動，不僅有助于學(xué)生對大學(xué)物理剛體部分的理解，還有助于增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和分析解決問題的能力，并能為應(yīng)用陀螺儀的性能提供一定的參考．

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College physics teaching of the rigid body via the analysis and discussion of gyrostat precession and nutation

YI Hou-hui，YAO Yan-li

（Research Center of Applied Physics，School of Aeronautical Engineering，Binzhou University，Binzhou 256603，China）

Studies the rotation around a fixed point based on the knowledge of dynamics of rigid body by taking gyrostat as an example．Using the theorem of angular momentum and the method on processing simple harmonic vibration，the phenomenon of gyrostat precession and nutation and the affecting factors are analyzed and discussed by studying of the centripetal force，self-rotation angular velocity，procession angular velocity and nutation angular velocity．The relations and differences between the rotation around a fixed-axis and the rotation around a fixed point are summarized，which provide some references in teaching the rigid body part in college physics and in understanding the gyrostat property when using it．

gyrostat；precession；nutation；fixed-axis rotation；rotation around a fixed point

1007-9831（2016）10-0043-04

O313

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.10.012

2016-07-20

濱州學(xué)院教學(xué)研究項目（BYJYZD201306）

伊厚會（1976-），男，山東費縣人，副教授，博士，從事量子力學(xué)和計算物理學(xué)等方面的研究．E-mail: houhuily@163.com