張 晉 斌

(山西晉城無煙煤礦業(yè)集團有限責(zé)任公司寺河礦,山西 晉城 048000)

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基于非線性失穩(wěn)準則的邊坡穩(wěn)定性分析

張 晉 斌

(山西晉城無煙煤礦業(yè)集團有限責(zé)任公司寺河礦,山西 晉城 048000)

運用基于塑性上界定理的非線性屈服準則，推導(dǎo)得出了平面應(yīng)變條件下邊坡穩(wěn)定性系數(shù)的上界，并根據(jù)線性M-C失穩(wěn)準則，提出了“廣義切線”技術(shù)的改進方法，使用該方法對兩個典型的邊坡穩(wěn)定性問題進行了分析，獲得的上限解與垂直開挖邊坡的下限解相等。

邊坡，土體，極限分析，非線性分析

0 引言

對于巖土工程師來說，邊坡穩(wěn)定性的測定是一個非常重要的課題。許多研究人員試圖開發(fā)和精心設(shè)計邊坡穩(wěn)定性評價方法。在過去，提出的穩(wěn)定性分析方法可分為以下四類：1)包括條分法在內(nèi)的傳統(tǒng)極限平衡方法；2)特征線法；3)包括上、下界方法的極限分析法；4)有限元或有限差分數(shù)值技術(shù)。邊坡穩(wěn)定性的極限分析方法已經(jīng)被許多研究者所應(yīng)用，通過虛功原理，如果所有外荷載所做的虛功等于符合約束條件的系統(tǒng)虛位移導(dǎo)致的內(nèi)能耗散，那么系統(tǒng)剛性條塊(或楔形體)處于平衡狀態(tài)。上界定理是建立在虛功原理基礎(chǔ)上的，假設(shè)一個遵循關(guān)聯(lián)流動法則的完全塑性土體模型，它規(guī)定任何機動位移速度場的內(nèi)能消散可等效為外載荷所做的功，因此，可以推導(dǎo)出實際安全系數(shù)或穩(wěn)定系數(shù)嚴格的上限，這個上界滿足力的平衡且不需要對條間力進行假設(shè)。

目前，線性MC失穩(wěn)判據(jù)常用于穩(wěn)定性問題的極限分析。原因可能在于線性MC失穩(wěn)判據(jù)可表示成圓形。這一特點使得滑動面近似為圓形成為可能，這是在應(yīng)力空間中平面應(yīng)變問題的一個線性應(yīng)力函數(shù)。因此，基于上、下限定理，穩(wěn)定性和承載力問題的解析是線性規(guī)劃問題。運用線性MC失穩(wěn)判據(jù)，Lymser(1970)，斯隆(1989)，斯隆和Kleeman(1995)，金姆等(1999，2002)采用有限元法和線性規(guī)劃法解決了穩(wěn)定性和承載力問題。此外，對于平面應(yīng)變問題，馮·米塞斯和線性MC失穩(wěn)準則主應(yīng)力空間中的屈服面具有線性特征。這個屬性使得精確預(yù)測巖土結(jié)構(gòu)如淺基礎(chǔ)和邊坡穩(wěn)定問題的失穩(wěn)機理成為可能。一般來說，經(jīng)典假設(shè)失穩(wěn)機制中，馮·米塞斯失穩(wěn)準則假設(shè)為平面或圓形，而線性MC失穩(wěn)判據(jù)(陳，1975)則假設(shè)為平面或?qū)?shù)曲線。

本文使用“廣義切線”技術(shù)提出一種改進的方法。該方法并非采用實際的非線性失穩(wěn)準則，而是采用切線(線性MC失穩(wěn)準則)形式表達功和能量耗散。本文將陳(1975)的線性失穩(wěn)準則進行邊坡穩(wěn)定性分析工作，延伸到了使用非線性失穩(wěn)判據(jù)。

1 非線性失穩(wěn)判據(jù)的上界解

本文中的方法采用陳(1975)的基本思想，也即旋轉(zhuǎn)對數(shù)螺旋面。

1.1 “廣義切線”技術(shù)

通過線性破裂面計算得到的極限載荷將是實際極限載荷的一個上界值(陳，1975)，它總是限定實際的非線性破壞面。這是由于這樣的事實：受限定的實際非線性破裂面的強度不小于實際的破壞面。在現(xiàn)有的分析中，非線性失穩(wěn)判據(jù)在點M處的切線。在相同的正常應(yīng)力水平下，切線強度等于或超過非線性失穩(wěn)判據(jù)中的強度。因此，切線所代表的線性失穩(wěn)判據(jù)將給出材料實際荷載的一個上限，材料的破壞是由一個非線性失穩(wěn)判據(jù)來決定的。事實上，許多研究人員(Lymser，1970；斯隆，1989；斯隆和Kleeman，1995；Yu等，1998；金姆等，1999，2002)在他們的極限分析中采用了這種方法。線性MC失穩(wěn)判據(jù)可以表示為一個圓，在應(yīng)力空間中平面應(yīng)變條件下，它的方程是(σx-σv)2+(2τxv)2=[2ccosφ-(σx+σv)sinφ]2。在公式中，對于線性MC失穩(wěn)判據(jù)，c和φ代表內(nèi)聚力和內(nèi)摩擦角。應(yīng)當(dāng)指出的是，在飽和土體中，c和φ是有效內(nèi)聚力和有效摩擦角。為了使用塑性上限定理求解作為一個線性規(guī)劃問題的穩(wěn)定性問題，有必要由外多邊形近似為圓形，它總是限定線性MC失穩(wěn)判據(jù)。外多邊形對應(yīng)的上界解超過或等于運動學(xué)方法的線性MC失穩(wěn)判據(jù)對應(yīng)的上界解。

在目前的研究中，線性MC切線圖表示的線性失穩(wěn)準則用于極限分析，它始終與非線性失穩(wěn)判據(jù)曲線相切。

1.2 額外功率和能量耗散

根據(jù)上限定理，將沿速度不連續(xù)的能量耗散率等價于外力在任何可變速度下的功率會導(dǎo)致穩(wěn)定系數(shù)(或極限荷載)不小于或最多等于實際的穩(wěn)定系數(shù)(或極限荷載)。最優(yōu)上限解可通過一種優(yōu)化方法獲得。在目前的研究中，外力的工作效率是通過土體自重得到，由于塑性剪切，內(nèi)能將因速度的不連續(xù)性而消散。由于切線(線性MC失效準則)的應(yīng)用，可以采用對數(shù)螺旋線失穩(wěn)機理進行上界分析。

外力(自重)的功率表示如下：

Wext=γ∫AVdA

(1)

其中，A為土體破裂面上方的橫截面面積；γ為土體重度；V為對數(shù)螺旋線失穩(wěn)曲線的切向量。沿不連續(xù)速度方向的內(nèi)能耗散率表示如下：

Dint=∫L(τVcosφt-σnVsinφt)dL

(2)

其中，L為速度重度的時間。對于線性MC失穩(wěn)條件，式(2)可以簡化為如下形式：

Dint=∫LccosφVdL

(3)

它與實際的應(yīng)力矢量的大小是獨立的。式(3)中，c為線性MC故障判據(jù)中的土體內(nèi)聚力和內(nèi)摩擦角。在失穩(wěn)判據(jù)為非線性情況下，式(3)無法得到，因為只有一個應(yīng)力分量可以從式(2)中消除。如果非線性失穩(wěn)判據(jù)中曲線的切線作為線性MC故障判據(jù)，式(3)是有效的，盡管這將產(chǎn)生一個實際極限載荷(或穩(wěn)定性系數(shù))的上界。為簡單起見，在目前的分析中采用切線形式。

2 影響邊坡穩(wěn)定的因素

根據(jù)邊坡破壞模式，對比式(1)中外力的功率與式(2)中內(nèi)能耗散率，我們可以得到式(4)：

H=ctf(θh,θ0,φt)/γ

(4)

其中，f(θh,θ0,φt)可表示為：

{sin(θh+α)exp[(θh-θ0)tanφt]-sin(θ0+α)}

(5)

式(5)中，變量f1～f3取決于幾何參數(shù)和切線角。變量f1～f3由陳(1975)給出。

通過極限分析的上界理論，式(4)給出一個關(guān)于邊坡高度H的臨界值。這個變量H有最小值，當(dāng)滿足下面這個條件時：

(6)

解出上述方程，然后將參數(shù)θh，θ0和φt代入式(2)，我們可以得到傾斜邊坡的臨界高度的上限值。此處，我們可以采用相繼的二次設(shè)計來優(yōu)化目標函數(shù)以避免解決式(6)的困難。穩(wěn)定因數(shù)Ns被定義為Ns=γHc/c0被張和陳引用(1987)，也被德雷舍和克里斯托杜盧引用(1988)，用來解釋具有非線性破壞準則的邊坡問題。Ns是一個無量綱數(shù)，而且Ns的量級不僅僅取決于邊坡角度α和β，還取決于非線性破壞準則的參數(shù)，包括m，σt和c0。

3 帶有張拉裂縫的垂直土質(zhì)邊坡的極限分析

除了真正的水泥土外，土體通常不能承受拉力。在現(xiàn)場，地表水的作用和張拉裂隙都有可能破壞土的抗拉強度，土的抗拉強度不可靠，在實際應(yīng)用中可以忽略不計。在下面的分析中，張拉裂紋被引入，沒有能量耗散沿拉伸裂紋，能量僅沿剪切線消失，如圖1所示。

4 上限穩(wěn)定分析

一種平移破壞類型組成的垂直張裂縫和不連續(xù)面AB如圖1所示。土體的單位重量是γ。拉伸裂紋長度是nH(0≤n≤1)。n=1意味著拉伸裂隙貫穿了整個立坡，另外，n=0意味著沒有拉伸裂隙存在。臨界高度是指邊坡開挖后由于自身重量而坍塌的高度。我們假設(shè)破壞面是沿著在垂直方向上角度為ω的非連續(xù)面。當(dāng)重力做功達到非連續(xù)面AB的功的耗散值時即達到了極限狀態(tài)。重力做功等于速度的垂直分量與土楔重量的乘積，即為：

wext=0.5γH2tanω(1-n2)vcos(φt+ω)

(7)

能耗率等于速度的切向分量與AB面的長度及ct的乘積，即為：

(8)

將重力做的功與內(nèi)耗散的功等同起來就得到:

(9)

式(9)是t和W的一個函數(shù)；我們可以通過將φt和ω最小化得到一個臨界高度的上限。此處，采用二次解析法來優(yōu)化式(9)目標函數(shù)。

對于圖1的垂直切坡，要得到下限解，需要解得靜力許可場的解，而該場必須滿足以下的應(yīng)力平衡方程:

(10)

該應(yīng)力場不能違反非線性破壞準則。這意味著該應(yīng)力必須處于非線性矩陣的包絡(luò)線內(nèi)。該三向應(yīng)力系統(tǒng)必須滿足應(yīng)力平衡條件。三向應(yīng)力狀態(tài)被假定為一個單軸壓縮狀態(tài)Ⅰ，雙軸壓縮狀態(tài)Ⅱ和三軸壓縮狀態(tài)Ⅲ。

為了確保該應(yīng)力狀態(tài)在單軸壓縮狀態(tài)下不能違反非線性破壞準則(1)，我們得出：

(11)

在式(11)中，有H和φt2個變量。解得這2個方程，將得出高度H。由于非連續(xù)應(yīng)力場滿足任何土的質(zhì)量和邊界條件下的應(yīng)力平衡方程，而且不超過應(yīng)力平衡準則，因此由式(11)解得的H為臨界高度Hc的下限。

5 比較

通過采用上限方法在非破壞準則條件下得到邊坡的穩(wěn)定性因素Ns的計算結(jié)果。將得到的Ns的計算結(jié)果列于表1中，并與張和陳(1987年)得到的數(shù)據(jù)及Drescher和Chistopoulos(1988年)得到的數(shù)據(jù)對比。

表1中顯示的穩(wěn)定性因數(shù)Ns是當(dāng)c0=90 kPa，σt=247.3 kPa，α=0°條件下，非線性系數(shù)m從1.2到2.5取值下的結(jié)果。

表1 不同取值條件下穩(wěn)定因數(shù)比較

從表1看出，作者得到的上限解與另外兩組數(shù)據(jù)幾乎相同。另外，通過表1可以看出，穩(wěn)定性系數(shù)Ns當(dāng)c0，σt和m相同，α=0°時隨著邊坡角度β的增大而變小。

圖1中的垂直切坡采用上限和下限方法進行分析。表2中顯示的通過兩個方法在c0=90 kPa，σt=247.3 kPa，α=0°和n=1的條件下得到的穩(wěn)定因數(shù)Ns的值。由表2中可以看出，下限解和上限解對于垂直切坡是一樣的。但是，圖1中上限計算所用的速度場和下限所用的應(yīng)力場的一致并不意味著速度場和應(yīng)力場都是實際存在的。

表2 上限與下限計算結(jié)果比較

表3 α≠0°條件下穩(wěn)定因數(shù)計算結(jié)果

5.1 邊坡傾角α的影響

張和陳(1987)與德雷舍和赫里斯托普洛斯(1988)給出了一種在0值情況下的數(shù)值結(jié)果。在實踐中，邊坡傾角α可能大于0°。表3給出了穩(wěn)定系數(shù)n值為σt=247.3 kPa和c0=90 kPa，用α=5°,10°和15°。從表3中可以看出，當(dāng)參數(shù)m，σt，c0和β為常數(shù)時，上限解隨坡度α的增大而增大。

5.2 系數(shù)m的影響

圖2說明系數(shù)m在α=5°，β=90°，c0=90 kPa和σt=247.3 kPa條件下的穩(wěn)定因數(shù)Ns的影響。

5.3 應(yīng)力σt的影響

作者得到的穩(wěn)定因數(shù)Ns的結(jié)果被展示在圖3中，其中α=5°，β=90°，m=1.6，c0=90 kPa，σt從50 kPa到200 kPa。從圖3可以明顯看出，穩(wěn)定因數(shù)隨應(yīng)力σt的增長而減小。

5.4 初始內(nèi)聚力c0的影響

如圖3所示，當(dāng)α=5°，m=1.6，β=90°，σt=247.3 kPa時，可以得到邊坡的c0值從40 kPa到120 kPa范圍變化時的穩(wěn)定因數(shù)值。如果應(yīng)用線性破壞準則，那么穩(wěn)定因數(shù)僅和邊坡幾何形態(tài)參數(shù)(α和β)和摩擦角有關(guān)，和內(nèi)摩擦力無關(guān)。然而，從圖4中可以看出，應(yīng)用非線性破壞準則，可以得到當(dāng)參數(shù)m，σt，α和β為常數(shù)時，穩(wěn)定因數(shù)隨著初始內(nèi)聚力c0的增長而增長。

6 結(jié)語

本文采用接近非線性破壞準則的“廣義切向”技術(shù)的改進方法是基于塑性力學(xué)的上限理論提出的，并用來分析邊坡的穩(wěn)定性。對于沒有荷載的邊坡，采用提出的上限方法計算的穩(wěn)定因數(shù)值與張和陳(1987)及德雷舍和赫里斯托普洛斯計算的值幾乎一致。對于如圖1所示的垂直切坡的平移失效機理，相同的解決方式為利用目前的上限理論和下限理論得到。目前，利用非線性破壞準則的方法，邊坡角度α，系數(shù)m，應(yīng)力σt和初始內(nèi)聚力c0的影響已經(jīng)被研究和探討，得到參數(shù)α，m，σt和c0對邊坡穩(wěn)定性系數(shù)有重要影響。

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The slope stability analysis based on nonlinear instability criterion

Zhang Jinbin

(SiheCoal,ShanxiJinchengAnthraciteCoalMiningGroupLimitedLiabilityCompany,Jincheng048000,China)

Using the nonlinear yield criterion based on plastic upper bound theorem, this paper derived the upper bound of slope stability coefficient under plane strain condition, and according to linear M-C instability criterion, proposed the improvement method of “generalized tangent” technology, analyzed two typical slope stability problems using this method, gained the lower limit solution equal of upper bound solution and vertical excavation slope.

slope, soil, limit analysis, nonlinear analysis

1009-6825(2016)27-0078-04

2016-07-13

張晉斌(1972- )，男，工程師

TU413.62

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