王曉松

(天津市南開區(qū)職工大學，天津　300102)

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廣義相對論中的時空結(jié)構(gòu)

王曉松

(天津市南開區(qū)職工大學，天津300102)

廣義相對論中的時空結(jié)構(gòu)不同于狹義相對論中的時空結(jié)構(gòu)，更不同于經(jīng)典物理學中的時空結(jié)構(gòu)，它說明宇宙中的時空結(jié)構(gòu)可能是相當復(fù)雜的。這篇文章闡述廣義相對論中的時空結(jié)構(gòu)與以往所有的時空結(jié)構(gòu)的基本不同之處。

時空結(jié)構(gòu)；廣義相對論；引力場方程；Schwarzschild解；間隔

廣義相對論中沒有可以統(tǒng)一使用的時空框架。每一個局域的時空狀態(tài)都不相同。這里是用黎曼度規(guī)描繪引力時空的特性。于是，無限鄰近的兩個事件的間隔是：

ds2=-c2dτ=gμνdxμdxν

(1)

一、局域引力場的設(shè)計

我們沒有必要處處都進行復(fù)雜的演算。設(shè)計一個局域的引力場。不要一提起引力場就想到地球的引力場。任何局域的引力場都有它自己的重力加速度，都符合自由落體運動的規(guī)律。場內(nèi)的任何物體如果不受其他因素的干擾，都會沿著重力加速度的方向運動。

(2)

同時，固定于引力場中的坐標系為，這個坐標系也應(yīng)當是正交的，于是就有：

ds2=-c2dτ2=-(dx0)2+(dx1)2+(dx2)2+(dx3)2(3)

下面我們做進一步的設(shè)計：因為是局域場，所以兩個坐標系的時間變量可以認為是基本一致的，也就是：

(4)

再根據(jù)自由落體運動的規(guī)律，兩個坐標系的關(guān)系應(yīng)當如下：

(5)

這是由于這兩個坐標系只有屬于方向相同，但是做自由落體運動。其他的坐標分量則沒有什么不同。

對上述坐標關(guān)系式求導(dǎo)，得到下列關(guān)系式：

(6)

將(6)帶入(2)，就有：

(7)

根據(jù)(5)式，自由落體運動所產(chǎn)生的位移：

(8)

另一方面，自由落體運動的系統(tǒng)其重力勢能的變化為：

(9)

為純粹地反映出引力場的性質(zhì)，這里去掉了具有檢驗性質(zhì)的自由落體運動的物體的質(zhì)量，定義出引力勢的概念，即是：

(10)

如果定義自由落體運動開始時的引力勢為0，物體運動到引力場中某一位置時的引力勢是，自由落體運動引力勢是降低的，引力勢能是減少的，所以有：

(11)

g2t2=-2φ

(12)

將(12)帶入(7)，可以得到：

(13)

對比一般意義上的間隔定義式：

ds2=-c2dτ=gμνdxμdxν

(1)

在這里，不為0的度規(guī)張量分量有(其余分量均為0)：

(14)

這里需要說明的是，指標μ=0,1,2,3，指標ν也一樣。但如果指標中不考慮時間分量的話，就定義指標A=1,2,3，指標B也是如此。這些問題以后不再贅述。

把任何引力場局域化，就可以得到沿著引力方向的坐標軸的度量張量分量與唯一的客觀參數(shù)——引力勢φ之間的關(guān)系。

二、引力場中引力勢與時間的關(guān)系

根據(jù)：

(13)

我們可以想象引力場中的物體在某種條件下不發(fā)生任何位移，即：

dx1=dx2=dx3=0

(15)

但無論如何，一定有：

(16)

因為時間的流動是擋不住的。如果我們專門考慮這種情況，根據(jù)(13)、(14)和(1)，就會有：

(17)

于是就有：

最后得到：

(18)

也就是說，廣義相對論中時間的流動速度與引力有關(guān)，引力越強，則時間流動越慢。一旦引力為0，就回到了狹義相對論的狀態(tài)。時間流動的快慢只與物體運動的速度有關(guān)。

三、引力場中引力勢與空間的關(guān)系

(19)

在沒有空間位移的條件下，考慮到間隔本身的原始定義，本引力場的固有時為：

(20)

于是，本次運動的固有時是：

(21)

根據(jù)(21)，引力場中A點與B點之間的空間距離是：

(22)

再次考慮到間隔本身的原始定義，在此定義中，時間維度與空間維度是減法關(guān)系，但間隔中的時間正是以光速穿過其空間距離所用的時間。因此對于光訊號而言，這種想減的結(jié)果就是〇，所以對于光訊號而言：

ds2=gμνdxμdxν=g00(dx0)2+g0Adx0dxA+g0Bdx0dxB+gABdxAdxB=0

(23)

因為A和B同為非時間維度的指標，將相關(guān)項縮并，就得到：

g00(dx0)2+2g0Adx0dxA+gABdxAdxB=0

(24)

把(24)看做一個以(dx0)為變量的一元二次方程，解之既得：

(25)

這樣就有：

(26)

(27)

其中，根號內(nèi)第一項的第二小項將指標A更換成了指標B，這是合乎數(shù)學原則的。

(28)

這是在上式中將-dxA代換dxA所得到的光訊號從B?A時的結(jié)果，當然也進行了必要的，合乎邏輯的指標代表。

(27) +(28)得到：

(29)

根據(jù)(22)：

(30)

其中：

(31)

(32)

現(xiàn)在再次考慮到普適的局域引力場中的自由降落體系的問題，根據(jù)：

(14)

CAB不為0的分量只有：

(33)

這樣，根據(jù)(31)，就有：

(34)

這是引力沿著x2方向運動時的情況。

由(34)，由于一般意義上以遠離引力源的位置的引力勢為零，而物體在引力的作用下運動，引力勢處于減量，這樣引力勢一般取負值。于是：

(35)

這樣就有：

(36)

就是說引力越強之處，任意兩點間的距離因為空間彎曲而變長了。引力越強，空間就越彎曲，任意兩點之間的距離就越長。

四、歸納與總結(jié)

一般意義下的靜態(tài)引力場(引力源不轉(zhuǎn)動或者轉(zhuǎn)動很慢)，物體在引力的作用下做自由落體運動。只是其重力加速度在不同的引力源周圍不同而已。同時，只要坐標設(shè)置合理，比如設(shè)置合理的球坐標(因為引力源一般可以近似地被看做是球狀)，那么參與運動過程的坐標維度一般只有兩個，即時間維度和某一個空間維度。聯(lián)想到Einstein方程的Schwarzschild解，

(37)

再聯(lián)系(36)和(18)，可以看出Schwarzschild解正是反映了本文所論述的廣義相對論條件下的時空結(jié)構(gòu)。本文不是要去分析Schwarzschild解，關(guān)于Schwarzschild解的問題，本人已經(jīng)在《成功(教育版)》 -2008年9期發(fā)表的論文《論席瓦西爾(Schwarzschild)外部解》中做過詳盡分析。

本文的目的就是通過其他的角度，經(jīng)過分析說明：在引力場中，由于引力的作用，時間的流動會變慢，空間會扭曲，因而空間中任意兩點間的距離會變長。引力越大，時間流動就越慢，空間就越扭曲，因而任何兩點間的距離就會變得越長。這就是廣義相對論框架下的時空結(jié)構(gòu)。

[1]唐肇華，劉素蕓，翁甲強編著. 廣義相對論導(dǎo)論[M].桂林：廣西師范大學出版社，1997.

[2]劉遼，趙崢，田桂花，張靜儀著.黑洞與時間的性質(zhì)[M].北京，北京大學出版社，2008.

[3]郭世堃編著.廣義相對論導(dǎo)論[M].成都，電子科技大學出版社，2005.

Space-time Structure in General Theory of Relativity

WANG Xiao-song

(Tianjin Staff University of Nankai District, Tianjin, 300102)

the space-time structure in general relativity is different from the space-time structure in special relativity, and it especially differs from the space-time structure in classical physics, and it shows that the space-time structure in the universe may be quite complicated. This paper elaborates the fundamental differences between the space-time structure in general relativity and all previous spatiotemporal structures.

space-time structure; general relativity; gravitational field equation; Schwarzschild interpretation; interval

2016-09-02

王曉松(1961-)，男，南開社區(qū)學院，副教授。

O412

A

1673-582X(2016)11-0095-06