楊春鳥
整式加減中的“整體思維”
楊春鳥
同學們都知道,要把雜七雜八、大小不一的小東西一次搬走是件很麻煩的事,但如果將它們集中放在一個箱子里再搬走就省事多了.這種思想就叫整體思維.日常生活是這樣,學習數(shù)學也不例外,整體思維常常會避繁就簡,使問題得到巧妙解決.現(xiàn)結合整式加減中的具體實例,我們來看一下整體思維方法在解題中的靈活運用.
例1已知m2-mn=21,mn-n2=-12.求m2-n2與m2-2mn+n2的值.
【解析】由于本題直接去求m、n值不易,通過觀察可以發(fā)現(xiàn)m2-mn+mn-n2=m2-n2,所以m2-n2=21-12=9.同理,m2-mn-(mn-n2)=m2-2mn+n2,所以m2-2mn+n2=21+12=33.
本題通過整式的“整體”加減,達到求整式的值的目的,避免了分別求m、n值.
例2若m、n互為倒數(shù),則mn2-(n-1)的值為_____.
【解析】根據(jù)m、n互為倒數(shù),可得mn=1,
因為mn2-(n-1)=(mn)n-n+1,把mn=1代入,得n-n+1=1.所以mn2-(n-1)=1.
例3已知3y2-2y+6=8,求整式y(tǒng)2-y+1的值.
【解析】已知3y2-2y+6=8,即3y2-2y=2,而y2-y+1可以變形為(3y2-2y)+1,把3y2-2y= 2代入,可得(3y2-2y)+1=2.
以上兩例,通過對代數(shù)式的變形,使其出現(xiàn)已知中的“整體”部分然后再“整體”代入.這類問題關鍵是思考將哪部分看成一個整體,比如例3中如果將y2看成一個整體,同學們想一想該如何解決呢?
例4如圖,在長a米,寬b米的長方形地面上修建兩條寬為c米的道路,余下部分作為草坪,則草坪面積是多少?
【解析】求草坪面積的常規(guī)思路為長方形面積減去道路面積,再加上兩條道路重疊部分的面積即(ab-ac-bc+c2)平方米.
現(xiàn)結合圖形,把兩條道路靠邊平移,這樣,分散的草坪就轉(zhuǎn)化為一個長為(a-c)米,寬為(b-c)米的長方形,其面積為(a-c)·(b-c)平方米.
對比這兩種方法,易見用“整體平移”后的方法更簡捷,啟示我們在解題過程中,不要只著眼于“局部”,還要著眼于“整體”.
例5如下圖,在正方形網(wǎng)格中按規(guī)律填陰影,根據(jù)此規(guī)律,則第n個圖中陰影部分小正方形的個數(shù)是_____.
【解析】如果單純看每個圖形陰影部分小正方形的個數(shù),很難看出其中隱含的規(guī)律.若把陰影部分進行整體分割,分割成兩個長方形,其中一個長方形包含的陰影小正方形的個數(shù)是2,另外一個長方形與整體圖形個數(shù)呈規(guī)律變化,可以看出第n個圖中陰影部分小正方形的個數(shù)是n(n+1)+2.
此題利用對圖形的“整體”分割,使“數(shù)形”規(guī)律更明確,從而優(yōu)化了問題的特征與解題方向.另外,本題還有不同的“整體”分割的方法,有興趣的同學可以互相探討一下.
例6已知正方形的邊長為a,以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓,則所圍成的陰影部分(如下圖)的面積為_____.
【解析】觀察圖形,四個半圓覆蓋邊長為a的正方形,四個半圓重疊部分即是陰影部分的面積.所以,陰影部分的面積為四個半圓面積之和減去正方形面積:
本題關鍵是通過觀察圖形的形成,尋找“整體”覆蓋的基本圖形即半圓,從而找出問題突破口.
(作者單位:江蘇省海門市海南中學)
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