萬廣磊
代數(shù)式中的“溫柔陷阱”
萬廣磊
代數(shù)式是初中數(shù)學的重要基礎章節(jié),在學習完本章后,同學們將會比較系統(tǒng)地認識用字母表示數(shù),能夠把數(shù)量或數(shù)量關系明確地表達出來,感受到由特殊到一般的數(shù)學抽象過程,這也意味著思維方法有了進一步飛躍.本文將剖析同學們學習中出現(xiàn)的典型錯例,給大家一點啟發(fā).
例1下列各式中,哪些是代數(shù)式,哪些不是代數(shù)式?
①0;②m-n=4;③p;④x+y>z;⑤3x3y⑥2x-3y
【錯解】①不是代數(shù)式,②③④⑤⑥都是代數(shù)式.
【剖析】錯解認為有字母的式子都是代數(shù)式,沒有字母的式子就不是代數(shù)式,顯然這沒有真正理解代數(shù)式的實質,忽視了代數(shù)式與等式、不等式之間的區(qū)別.用運算符號把數(shù)或字母連接而成的式子叫做代數(shù)式,單獨一個數(shù)或字母也是代數(shù)式.由于②含有等號,④含有不等號,所以它們都不是代數(shù)式.
【正解】①③⑤⑥是代數(shù)式,②④不是代數(shù)式.
例2用代數(shù)式表示:(1)x與y的平方和;(2)x與y的差的平方.
【錯解】(1)(x+y)2;(2)x2-y2.
【剖析】錯解沒有按照運算順序寫代數(shù)式.平方和是兩個數(shù)先平方再求和,而和的平方是兩個數(shù)先求和再平方.平方差是兩個數(shù)先平方再作差,而差的平方是兩個數(shù)先作差再平方.
【正解】(1)x2+y2;(2)(x-y)2.
【剖析】錯解的代數(shù)式書寫不規(guī)范.在列代數(shù)式時,若數(shù)與字母相乘,乘號可以省略不寫,但數(shù)字必須在字母的前面,若是帶分數(shù)應寫成假分數(shù).若代數(shù)式含有除法運算,一般要寫成分數(shù)(或分式)的形式.
例4一個書包進價為40元,標價為m元,用代數(shù)式表示一個書包的利潤為_____元.
【錯解】m-40.
【剖析】錯解丟失了括號.對于有單位的代數(shù)式,如果僅僅是乘除關系的代數(shù)式,直接寫出規(guī)范的代數(shù)式;而對于是加減關系的代數(shù)式,應把式子放進括號內.
【正解】(m-40).
【剖析】錯解錯在兩處:一是以為“π”屬于字母,二是認為次數(shù)就是最高次數(shù)的字母的次數(shù).單項式的系數(shù)是指字母前面的數(shù)字因數(shù),“π”是圓周率,也是數(shù)字而不是字母.單項式的次數(shù)是指單項式中所有字母的指數(shù)和,單項式中a、b的指數(shù)分別是2、1,所以單項式的次數(shù)是2+1=3.
【錯解】4.
【剖析】錯解認為在多項式中,某個字母的次數(shù)最高就表示這個多項式的次數(shù).多項式的次數(shù)是指多項式中最高的項的次數(shù).本題含字母的單項式中,項3x4,xy2,-2x3y3的次數(shù)分別是4,3,6,最高次數(shù)是6,因而該多項式的次數(shù)是6.
【正解】6.
例7下列各組中,屬于同類項的有_____.
①6x2y與-6xy2;②2xy與-5yx;③4x與4y;④m與n;⑤0與-4.
【錯解】同類項有:①⑤.
【剖析】錯解在于理解同類項的概念出錯.所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項.所有的常數(shù)項都是同類項,所以⑤是同類項.同類項與單項式的系數(shù)無關,與字母的順序無關,所以②是同類項.①中雖然單項式的次數(shù)相同,但是相同字母的指數(shù)分別不相同,不是同類項;③和④中所含字母不同,不是同類項.
【正解】同類項有:②⑤.
例8合并同類項:3x2-5x3-4x2+x3-7.
【錯解】解:原式=-5x3-x3-4x2-3x2-7=-6x3-7x2-7.
【剖析】錯解在調整同類項的位置時改變了單項式的符號.調整多項式中單項式的位置是利用了加法的交換律,要連同單項式前面的符號一起交換.
【正解】解:原式=-5x3+x3-4x2+3x2-7
【正解】解:原式=(-5+1)x3+(-4+3)x2-7
【正解】解:原式=-4x3-x2-7.
【剖析】錯解錯在兩處:一是去括號時,僅用前面的系數(shù)乘括號內的第一項,其余各項均未乘括號前面的系數(shù);二是括號前是“-”號時,去掉括號和括號前面的“-”號,括號里面的部分項未變號.為了避免類似錯誤的發(fā)生,在解題時可分為兩步:第一步按分配律將括號前面的數(shù)分別乘括號內的每一項,第二步按去括號法則去掉括號,熟練后再省略有關的步驟.
(作者單位:江蘇省揚州大學附屬中學東部分校)