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        n維超平形體的體積比

        2016-11-11 01:22:22英起志
        高教學(xué)刊 2016年22期
        關(guān)鍵詞:橢球形體正方體

        英起志

        (江蘇商貿(mào)職業(yè)學(xué)院,江蘇南通226011)

        n維超平形體的體積比

        英起志

        (江蘇商貿(mào)職業(yè)學(xué)院,江蘇南通226011)

        文章給出了n維超平形體體積比的計(jì)算公式,得出了它的漸進(jìn)性質(zhì),并計(jì)算了部分超平形體的體積比。

        n維超平形體;正方體;John橢球;體積比;漸進(jìn)性質(zhì)

        在Rn中,我們通常把含有非空內(nèi)點(diǎn)的緊致凸集稱為凸體,多胞形(polytope)是一類基本的凸體,它是由有限個(gè)超平面圍成的凸體。而n-超平形體(n-dimensionalparallelotope)是一種特殊的多胞形,它是2維平行四邊形、3維平行六面體到高維空間的推廣,后者可以分別叫做2-parallelotope和3-parallelotope,超矩形(orthotope)和超正方體(hypercube)都是特殊的超平形體。

        凸體的體積比是凸體的重要特征之一,Rn中凸體K的體積比vr(K)定義為

        其中ε是包含于K的橢球,vn(K)和vn(ε)分別表示K和ε的體積。1948年,F(xiàn)ritz John在著名的John橢球定理中證明了對(duì)于Rn中的任意凸體都包含體積最大的橢球,被稱為凸體的John橢球。R Howard在文獻(xiàn)[1]中證明了凸體的John橢球是唯一的。如果一個(gè)凸體的John橢球是歐氏單位球,則稱該凸體處于“John位置”,任何凸體都可以在仿射變換的作用下使之處于John位置。R Howard在文獻(xiàn)[1]中還證明了對(duì)于中心對(duì)稱的凸體Cn,存在橢球E(Cn的John橢球),使得

        有了John橢球的概念,Rn中凸體K的體積比可以重新定義為

        其中εK為凸體K的John橢球。仿射不變性是凸體體積比的重要性質(zhì)。

        引理1設(shè)Pn為n維超平形體,則其體積比

        證明不失一般性,設(shè)n維超正方體Qn=[-1,1]n,Qn是一個(gè)中心在原點(diǎn),邊長(zhǎng)為2的n維超正方體,其體積vn(Qn)=2n。Qn的 John橢球?yàn)镽n中的歐氏單位球,記為體積比的仿射不變性,vr(Pn)=vr(Qn),又

        Keith Ball在文獻(xiàn)[2]中證明了對(duì)于Rn中的所有中心對(duì)稱凸體,n維超正方體的體積比最大。因此,對(duì)于Rn中的任意中心對(duì)稱凸體cn,有。

        由體積比的仿射不變性,利用引理1可以求出任意維超平形體(包括超矩形、超正方體)的體積比。此外,結(jié)合體積比的定義,在已知超平形體的體積的條件下,可以求出其John橢球的體積。

        定理1設(shè)Pn為n維超平形體,則當(dāng)n→+∞時(shí),vr(Pn)→+∞,且隨著n的增加,vr(Pn)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的。

        證明由引理1和Stirling公式(當(dāng)t→+∞時(shí),Γ(1+t)~

        所以1997年,G.D.Anderson和S.-L.Qiu證明了函數(shù)f(x)=)上單調(diào)遞增,2006年,張素玲等在文獻(xiàn)[3]中將該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間擴(kuò)展到(0,+∞)。下面利用這一重要性質(zhì),證明當(dāng)n增加時(shí),vr(Tn)是嚴(yán)格遞增的。

        把vr(Pn)看作是關(guān)于n的函數(shù),不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)n>4時(shí),它是單調(diào)遞增的。又通過(guò)計(jì)算易知vr(P1)<vr(P2)<vr(P3)<vr(P4)。因此,對(duì)任意的正整數(shù)n,(Pn+1)>vr(Pn),證畢。

        部分n維超平行體的體積比的值見(jiàn)表1。

        [1]R Howard.The John ellipsoid theorem[J].University of South Carolina,1997.

        [2]Keith Ball.Volume ratios and a reverse isoperimetric inequality[J].Journal of the London Mathematical Society,1991,44:351-359.

        表1 超平行體的體積比(保留3位小數(shù))

        [3]張素玲,陳超平,等.關(guān)于伽瑪函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)(英文)[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2006(04):50-55.

        [4]Keith Ball.Ellipsoids of maximal volume in convex bodies[J].Geometriae Dedicata,1992,41:241-250.

        [5]Keith Ball.Volumes of sections of cubes and related problems[J].Geometric Aspects of Functional Analysis,1989,13 76:251-260.

        [6]John F.Extremum problems with inequalities assubsidiary conditions[M].Courant Anniversary Volume.New York:Interscie nce,1948:187-204.

        [7]英起志.凸體體積比的相關(guān)性質(zhì)[J].上海大學(xué)學(xué)報(bào)自然科學(xué)版,2008,14(4):373-376.

        A formula was given to calculate the volume ratios of n-parallelotope,the asymptotic property of the volume ratios was observed,and some values of volume ratios of n-parallelotope were calculated.

        n-parallelotope;hypercube;John ellipsoid;volume ratio;asymptotic property

        O186.5

        A

        2096-000X(2016)22-0253-02

        英起志(1983-),男,江蘇連云港人,江蘇商貿(mào)職業(yè)學(xué)院,數(shù)學(xué)教研室主任,講師,碩士,研究方向?yàn)楦呗殧?shù)學(xué)教學(xué)、凸體幾何。

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