安徽省銅陵市第一中學

陳良驥　　(郵編：244000)

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雙曲線一個優(yōu)美性質的簡證與推廣

安徽省銅陵市第一中學

陳良驥(郵編：244000)

通過對雙曲線一個優(yōu)美性質的簡證， 試圖深刻解釋其本質，并參照簡證的過程對原性質推廣，最后給出雙曲線中一系列優(yōu)美的性質.

雙曲線;漸近線;二次曲線方程;交點曲線系方程

趙忠華老師在貴刊2016年第2期提出如下一個定理：在雙曲線所在的平面內任取一點(該點不在漸近線和雙曲線上)，過此點作兩條漸近線的平行線，這兩條直線與雙曲線交于兩點，與漸近線交于兩點，則雙曲線上兩點連線平行于漸近線上兩點連線.文[1]利用坐標法加以證明，運算量略大.這里筆者另辟蹊徑，給出利用二次曲線方程的證法，一方面使得證明過程得到簡化，另一方面在此基礎上對原性質作出一些推廣，并試圖從二次曲線的層面深刻揭示其本質.

圖1

為了方便，文[1]中的雙曲線性質用性質1的方式表述.

1　簡證過程

注意到AB和MN的斜率相等，且縱截距不相等，所以AB//MN.

說明以上的解答基于二次曲線里的一個基本的原理，即若二次曲線T1和T2的方程分別為a1x2+b1y2+c1xy+d1x+e1y+f1=0 和a2x2+b2y2+c2xy+d2x+e2y+f2=0且它們有交點，則經(jīng)過T1和T2交點的二次曲線系方程是a1x2+b1y2+c1xy+d1x+e1y+f1+λ(a2x2+b2y2+c2xy+d2x+e2y+f2)=0(不包括曲線T2).性質1證明過程中首先將直線l1,l2所形成的點集C1視作一個特殊的二次曲線，然后將二次曲線C1和雙曲線C2的方程相減即得其交點AB所形成的方程，本質是在曲線系方程中取了λ=-1，由于二次曲線C1和雙曲線C2的方程的特殊性，使得此時其二次曲線恰好退化成一條過兩交點的直線.

2　相關推廣

根據(jù)上述的證明過程，我們不難得出性質2和性質3(證明略)

圖2

說明從另一個角度看，性質4中雙曲線C在點P(x0,y0)處的切線l可以視作性質1中的A,B兩點重合的極端情況.當然，性質1—4還可以向點P(x0,y0)關于雙曲線的極線方向推廣，此處從略.下面我們從過點P(x0,y0)作其它兩條特殊直線方面開始推廣研究.

圖3

從幾何的層面看，性質5是顯而易見的，下面我們給出利用二次曲線系方程的證法.

接下來，我們研究兩條垂線與雙曲線的四個交點的狀況.

圖4

其證明過程也非常類似，如下

令一方面，設直線A1B1,A2B2的方程分別為a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0，則A1B1、A2B2所成點集的二次曲線系方程是(a1x+b1y+c1)·(a2x+b2y+c2)=0.

同理A1B2、B1A2的傾斜角也互補或都為0.

若將過點P(x0,y0)作l1、l2的垂線改成過點P(x0,y0)作兩條傾斜角互補的直線即得到性質7.

圖5

如果點P(x0,y0)在雙曲線C上，考慮性質7的極端形式，不難得出性質8(證明略).

圖6

說明性質7—8還可以推廣至方程無xy項的一般的二次曲線，相關結論留給讀者.

1趙忠華.雙曲線一個優(yōu)美性質的發(fā)現(xiàn) [J].中學數(shù)學教學 ，2016(2)

2016-07-29)