湖北省陽新縣高級中學(xué)

鄒生書　　(郵編：435200)

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圓錐曲線雙切線一個等角性質(zhì)的探究歷程

湖北省陽新縣高級中學(xué)

鄒生書(郵編：435200)

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的主干知識，是高考和數(shù)學(xué)競賽的重點(diǎn)考查內(nèi)容，主要考查運(yùn)算求解、推理論證以及探究問題的能力.其中不少題目的結(jié)論可以推廣到一般情形，甚至可以類比到其它類型的圓錐曲線，從而得出圓錐曲線統(tǒng)一的幾何性質(zhì).這樣結(jié)論具有拓展性的試題是研究性學(xué)習(xí)的好素材，倍受高中數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)愛好者的青睞，推廣類比不亦樂乎.2016年內(nèi)蒙古自治區(qū)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽第10題就是這樣一道具有研究價值的試題，本文將對該題推廣、類比的探究歷程呈現(xiàn)給讀者，供參考.

圖1

題目如圖1，已知雙曲線x2-y2=2的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過定點(diǎn)P(2,3)作曲線的切線，切點(diǎn)分別為A、B，且A點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于B點(diǎn)的橫坐標(biāo).(1)求直線AB的方程；(2)證明∠F1PA=∠F2PB．

1　一般化探究

一般性寓于特殊性之中，特殊情形往往會掩蓋問題的本質(zhì).這里定點(diǎn)P的橫坐標(biāo)恰好與右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，情況很特殊，那么，當(dāng)點(diǎn)P為任意一點(diǎn)時，所證的兩個角是否仍然相等呢?為了避免盲目計(jì)算，筆者利用現(xiàn)代信息技術(shù)，運(yùn)用幾何畫板動態(tài)實(shí)驗(yàn)驚喜發(fā)現(xiàn)兩角總是相等.推廣后的一般性結(jié)論與證明如下.

圖2

證明(注：在下面的證明中限于篇幅，我們只考慮點(diǎn)P在x軸上方的情形，點(diǎn)P在x軸下方時同理可證，這里省略)如圖2，設(shè)P(x0,y0)，不妨設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于B點(diǎn)的橫坐標(biāo).當(dāng)過點(diǎn)P的切線斜率存在時，設(shè)斜率為k，則切線方程為y-y0=k(x-x0)，即y=kx+y0-kx0，將其代入雙曲線方程整理得

(a2k2-b2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2+a2b2=0，

△=4a4k2(y0-kx0)2-4a2(a2k2-b2)[(y0-kx0)2+b2]=0，整理得

①

在過點(diǎn)P的4條直線PA、PB、PF1、PF2中至多有一條直線與x軸垂直，下面分三種情形進(jìn)行討論.

所以tan∠F1PA=tan∠F2PB，又∠F1PA,∠BPF2∈(0,π)，即∠F1PA=∠F2PB．

同理可證，當(dāng)PA垂直于x軸時，∠F1PA=∠F2PB．

所以tan∠F1PA=tan∠F2PB，又∠F1PA、∠BPF2∈(0,π)，即∠F1PA=∠F2PB．

同理可證，當(dāng)PF1垂直于x軸時，∠F1PA=∠F2PB．

所以tan∠F1PA=tan∠F2PB，又∠F1PA,∠BPF2∈(0,π)，即∠F1PA=∠F2PB．

2　類比探究

類比是一種從特殊到特殊的合情推理，其正確性需要嚴(yán)格的邏輯證明.筆者通過幾何畫板研究發(fā)現(xiàn)上述雙曲線切線的等角性質(zhì)在橢圓中也成立.一般來說，若雙曲線具有某種性質(zhì)，則橢圓也具有類似的性質(zhì)，其證明表述也大同小異，只須在將b2替換成-b2的同時，結(jié)合圖形作些微調(diào)則可.橢圓切線的等角性質(zhì)及證明如下：

圖3

證明(注：在下面的證明中限于篇幅，我們只考慮點(diǎn)P在x軸上方的情形，點(diǎn)P在x軸下方時同理可證，這里省略)如圖3，設(shè)P(x0,y0)，不妨設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于B點(diǎn)的橫坐標(biāo).當(dāng)過點(diǎn)P的切線斜率存在時設(shè)斜率為k，則切線方程為

y-y0=k(x-x0)，即y=kx+y0-kx0，代入橢圓方程整理得

(a2k2+b2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0，

△=4a4k2(y0-kx0)2-4a2(b2+a2k2)[(y0-kx0)2-b2]=0，整理得

①.

在過點(diǎn)P的4條直線PA、PB、PF1、PF2中至多有一條直線與x軸垂直，下面分三種情形進(jìn)行討論.

所以tan∠F1PA=tan∠F2PB，又∠F1PA,∠BPF2∈(0,π)，所以∠F1PA=∠F2PB．

同理可證，當(dāng)PA垂直于x軸時，∠F1PA=∠F2PB．

所以tan∠F1PA=tan∠F2PB，又∠F1PA,∠BPF2∈(0,π)，所以∠F1PA=∠F2PB．

同理可證，當(dāng)PF1垂直于x軸時，∠F1PA=∠F2PB．

所以tan∠F1PA=tan∠F2PB，又∠F1PA,∠BPF2∈(0,π)，所以∠F1PA=∠F2PB．

3　“補(bǔ)美”探究

橢圓、雙曲線都封閉曲線且有兩個焦點(diǎn)，而拋物線是開放的曲線且只有一個焦點(diǎn)，而上述切線的性質(zhì)都與兩個焦點(diǎn)有關(guān)，是否斷言拋物線就沒有類似性質(zhì)呢？如果是這樣結(jié)論就不完美，能否將結(jié)論補(bǔ)充完美呢？“生活中的美無處不在，只是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛”.“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”.我們不妨來個大膽假設(shè)，把拋物線當(dāng)作是在無窮遠(yuǎn)處相交的封閉曲線且有兩個焦點(diǎn)，一個焦點(diǎn)是我們熟知F，另一個焦點(diǎn)設(shè)為H它在對稱軸的無窮遠(yuǎn)處，則PH平行于對稱軸，于是問題轉(zhuǎn)化為∠FPA=∠HPB是否成立.筆者借助幾何畫板動態(tài)演示發(fā)現(xiàn)∠FPA=∠HPB成立.結(jié)論如下：

性質(zhì)3已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A、B是拋物線上任意兩點(diǎn)，若拋物線在點(diǎn)A、B處的切線相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PH平行于x軸，且點(diǎn)H在拋物線內(nèi)部，則∠FPA=∠BPH．

證明從略.

4　完美結(jié)局

通過上述大膽假設(shè)小心論證的“補(bǔ)美”探究，我們得出了拋物線雙切線的一個奇異的等角性質(zhì).至此，圓錐曲線的雙切線的等角性質(zhì)似乎就完美無缺了.其實(shí)不然，圓也是圓錐曲線大家庭中的重要一員，圓的切線我們有如下性質(zhì)：過圓外一點(diǎn)向圓引兩條切線，這一點(diǎn)與圓心的連線平分兩切線的夾角.圓與橢圓關(guān)系密切，通過伸縮變換可以相互轉(zhuǎn)化，我們可以把圓當(dāng)作是兩焦點(diǎn)重合于中心的特殊橢圓，當(dāng)橢圓兩個焦點(diǎn)重合時橢圓變成了圓，性質(zhì)2中橢圓的切線性質(zhì)就變成了圓的切線性質(zhì).可見，本文中橢圓、雙曲線和拋物線雙切線的等角性質(zhì)可以看作是圓的雙切線的等角性質(zhì)在圓錐曲線中的類比拓展.至此，圓錐曲線雙切線的等角性質(zhì)可以畫上一個圓滿的句號.

在探究中發(fā)現(xiàn)美、創(chuàng)造美、欣賞美、體驗(yàn)美，提升審美能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，探究性學(xué)習(xí)我們一直在路上.

1鄒生書.例談圓錐曲線雙切線問題的處理方法[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2012(11)

2馮克永.“基于補(bǔ)美”的數(shù)學(xué)教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2015(6)

2016-08-12)