浙江省柯橋中學(xué)

張小娟　　余繼光　　(郵編：312032)

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“蘭州拉面”模型引起的研究性學(xué)習(xí)

浙江省柯橋中學(xué)

張小娟余繼光(郵編：312032)

由浙江高考數(shù)學(xué)一道題的深入思考，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)作業(yè)單，引導(dǎo)學(xué)生通過分段函數(shù)來表達(dá)迭代或復(fù)合過程，特別是由形(圖象)到數(shù)(函數(shù)表達(dá)式)的思維和由特殊到一般的歸納思維，來鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新意識與實(shí)踐能力.

分段函數(shù)；迭代過程；歸納推理

“蘭州拉面”的面點(diǎn)師一個(gè)工作環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型：在數(shù)軸上截取與閉區(qū)間[0,4]對應(yīng)的線段，對折后(坐標(biāo)4所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)重合)再均勻地拉成4個(gè)單位長度的線段，這一過程稱為一次操作(例如在第一次操作完成后，原來的坐標(biāo)1、3變成2，原來的坐標(biāo)2變成4，等等).那么原閉區(qū)間[0,4]上(除兩個(gè)端點(diǎn)外)的點(diǎn)，在第n次操作完成后(n≥1)，恰好被拉到與4重合的點(diǎn)所對應(yīng)的坐標(biāo)為f(n)，則f(3)=______，f(n)=______.

每一次對折拉伸都將x對應(yīng)到g(x)，所以第二次對折拉伸都將x對應(yīng)到g(g(x))，

第三次對折拉伸都將x對應(yīng)到g(g(g(x)))，…，其中，g(g(x))，g(g(g(x)))的圖象如下：

重復(fù)操作的過程對于函數(shù)或數(shù)列來說，就是遞推或迭代的過程，想明白這樣的過程就會將復(fù)雜步驟化成一步步簡單過程的迭加．

在數(shù)學(xué)問題求解過程中，除了解題的常規(guī)數(shù)學(xué)思維外，針對問題所呈現(xiàn)出的一般規(guī)律作一些探索性思考，增加合情推理中的歸納推理，這不僅可以推動學(xué)生數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的提高，而且也會提升學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識與實(shí)踐能力．

圖1

問題(2013年浙江高考試卷理10)如圖1，函數(shù)y=f(x)的圖象為折線ABC，設(shè)f1(x)=f(x)，fn+1(x)=f[fn(x)]，n∈N*，則函數(shù)y=f4(x)的圖象為()

解析這是一個(gè)分段函數(shù)的復(fù)合問題，先從函數(shù)解析式上尋找規(guī)律：

f2(x)=f(f1(x))=

事實(shí)上，走到第二步時(shí)就能想到：f1(x)有兩個(gè)線段；f2(x)有4個(gè)線段；f3(x)有8個(gè)線段；f4(x)有16個(gè)線段，故選D.

解后思考問題中給予選擇支是給定函數(shù)經(jīng)過多次復(fù)合后的函數(shù)圖象.

如選擇支A就是f2(x)的圖象；

選擇支B中圖象的函數(shù)為f3(x)；

選擇支D中圖象的函數(shù)為f4(x).

在寫出G(x)的過程中，可以發(fā)現(xiàn)，分段表達(dá)式之間有規(guī)律，因此可以探索fn(x)的表達(dá)式，于是設(shè)計(jì)下列研究性學(xué)習(xí)作業(yè)單．

研究性學(xué)習(xí)作業(yè)單1：

研究方向給定的基本圖形不變，歸納一般復(fù)合函數(shù)的分段表達(dá)形式.

如圖1，函數(shù)y=f(x)的圖象為折線ABC，設(shè)f1(x)=f(x)，fn+1(x)=f[fn(x)]，n∈N*，則函數(shù)y=f3(x)的表達(dá)式是__________，然后歸納出y=fn+1(x)的表達(dá)式.

探究因

f2(x)=f(f1(x))

歸納得

fn+1(x)=f[fn(x)]=

點(diǎn)評迭代是計(jì)算機(jī)中最常見的一種形式，它的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)涉及到復(fù)合函數(shù)，一個(gè)簡單圖形(折線段)經(jīng)多次復(fù)合(迭代)后，會是怎樣的圖形呢？值得挖掘訓(xùn)練，研究性學(xué)習(xí)作業(yè)單1在于揭示分段函數(shù)的表達(dá)式的歸納與表示能力的訓(xùn)練，這是合情推理中的一個(gè)十分重要的能力訓(xùn)練方向，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的薄弱環(huán)節(jié)．

研究性學(xué)習(xí)作業(yè)單2：

研究方向改變基本圖形的部分特征，歸納復(fù)合函數(shù)的一般形式

圖2

如圖2，函數(shù)y=f(x)的圖象為折線ABC，設(shè)f1(x)=f(x)，fn+1(x)=f[fn(x)]，n∈N*，則函數(shù)y=f3(x)的表達(dá)式是_____，然后歸納出y=fn+1(x)的表達(dá)式

探究因?yàn)?/p>

所以

以盾構(gòu)隧道底部無溶洞的情況為例，通過計(jì)算可得到管片的極限受拉疲勞次數(shù)為1.358×107次，極限受壓疲勞次數(shù)為3.147×1014次，兩者之間相差7個(gè)數(shù)量級，說明管片的疲勞壽命是由極限受拉疲勞次數(shù)決定的。

f3(x)=f[f2(x)]

歸納得

fn+1(x)=f[fn(x)]=

注上述fn+1(x)的分段表達(dá)中，由于公式編輯器只能表達(dá)幾層，所以一個(gè)函數(shù)被分成了兩段來表達(dá).

點(diǎn)評把基本圖形作了一次翻轉(zhuǎn)后，雖然只是一點(diǎn)點(diǎn)變化，但是經(jīng)過迭代后的函數(shù)還是有許多變化，其規(guī)律的描述對于中學(xué)生而言還是需要不斷歸納思考的．如分段點(diǎn)的描述，各分段區(qū)間內(nèi)函數(shù)表達(dá)式的確定等等．

研究性學(xué)習(xí)作業(yè)單3：

研究方向總結(jié)上述復(fù)合函數(shù)能夠迭代的特征，思考能否從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度構(gòu)造其他函數(shù)，使其能夠不斷迭代形成具有一般規(guī)律．

從代數(shù)角度來看，上述兩個(gè)研究性學(xué)習(xí)作業(yè)單中的基本函數(shù)具有一個(gè)共同特征是：

于是構(gòu)造一個(gè)函數(shù)f(x)=cosπx，x∈[-1，1]也滿足

設(shè)f1(x)=f(x)，fn+1(x)=f[fn(x)]，

n∈N*，函數(shù)y=fn+1(x)的表達(dá)式是什么呢？

f1(x)=cosπx，x∈[-1，1],

f2(x)=cosπ(cosπx) ，x∈[-1，1],

……

fn+1(x)=cosπ(cosπ(…cosπ(cosπx)))，

x∈[-1，1].

圖3

圖4

圖5

從幾何角度來看，函數(shù)y=fn+1(x)的圖象會怎樣呢？

f1(x)圖象如圖3；

f2(x)圖象如圖4；

……

fn+1(x)圖象如圖5.

f(x)=1-2|x|，

x∈[-1，1]，

其三，數(shù)形結(jié)合探究這一研究性學(xué)習(xí)作業(yè)單，再現(xiàn)一個(gè)人的數(shù)學(xué)思想的理解力與掌握程度.

研究性學(xué)習(xí)作業(yè)單4：

研究方向?qū)(x)，fn+1(x)用簡略形式表達(dá)代替上述較復(fù)雜的分段函數(shù)形式.

G(x)可以是某一段函數(shù)圖象經(jīng)過周期變換而形成,如

研究性學(xué)習(xí)作業(yè)單2中的fn+1(x)可以是某一段函數(shù)圖象經(jīng)過周期變換而形成,如

點(diǎn)評此研究說明，一個(gè)經(jīng)過復(fù)合而成的分段函數(shù)也可以用周期變換形式展示其遞推關(guān)系，上述兩種表達(dá)方式各有利弊，前者繁雜但直觀，后者簡潔而抽象，這兩種表達(dá)方式也是數(shù)學(xué)語言表達(dá)的基本形式．

以上四個(gè)研究性學(xué)習(xí)作業(yè)單，主要訓(xùn)練用數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)問題的歸納推理能力，這也是一個(gè)人從事科學(xué)研究的基本能力．

2016-04-26)