張紅寧

（北京工業(yè)大學耿丹學院，北京　101301）

Matlab在高等數(shù)學教學中的應用

張紅寧

（北京工業(yè)大學耿丹學院，北京101301）

高等數(shù)學是一門非常重要的基礎課，課程中涉及大量的計算，學生常常花大量時間在不必要的機械性的計算上，在高等數(shù)學教學中引入Matlab可以方便實現(xiàn)高等數(shù)學中的極限、求導、積分、以及微分方程等計算問題.Matlab強大的繪圖功能還可以幫助學生從直觀上理解高等數(shù)學中抽象的概念，將邏輯思維與形象思維有機的結合起來，從而有效提升課堂教學效果.

Matlab；高等數(shù)學；符號計算；圖形處理

數(shù)學是自然科學研究和工程技術應用的重要工具，在理工科院校中，高等數(shù)學是一門非常重要的基礎課，是學生學好其他基礎課和專業(yè)課程學習的基礎.然而，高等數(shù)學中涉及大量的計算，學生在掌握理論知識的基礎上，要演算某個例題或者推算定義定理的時間較長.如果學生大部分時間都花在不必要的機械性的計算上，就會忽略對定義和定理的理解.Matlab中包括大量的函數(shù)，直接調(diào)用這些函數(shù)可以方便實現(xiàn)高等數(shù)學中的極限、求導、積分、以及微分方程等計算問題.Matlab指令表達式與數(shù)學、工程中常用的形式十分相似，學生稍加理解就能上手.在教學中引入Matlab提高了學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力.本文以同濟大學數(shù)學系編著的《高等數(shù)學》為例，主要介紹符號計算和圖形處理功能在高等數(shù)學教學中的應用.

1　符號計算在高等數(shù)學教學中的應用

1.1求極限

高等數(shù)學教學通常會介紹等價無窮小求極限、洛必達法則求極限、兩個重要極限等方法求極限.對理工科學生以及部分經(jīng)濟管理類學生在極限的應用中更關心的是所求極限的結果.這時學習一個Matlab命令要比學習這些數(shù)學方法要快得多.

1.2求積分

高等數(shù)學求積分的內(nèi)容涉及不定積分，定積分，重積分，以及積分的應用，但是在講不定積分、定積分內(nèi)容授課學時中2/3之二的時間都在介紹計算方法，包括湊微分、換元、分部積分、有理函數(shù)積分、反常積分.而Matlab的求積分命令只有一個卻可以解決各類積分方法的積分求解問題.

1.3求解微分方程

高等數(shù)學微分方程這一章主要介紹微分方程求解方法，如齊次方程，一階線性微分方程，可降階的高階微分方程，高階線性微分方程，常系數(shù)齊次和非齊次線性微分方程.對于具體的微分方程問題，學生往往不知道采用哪種方法去求解.Matlab微分方程求解也只有一個命令.

如求微分方程y"=+y=xcos2x.此方程為常系數(shù)非齊次線性微分方程，求解方法為先求得其所對應的齊次方程的通解，再求其一個特解.計算量較大，而一個.Matlab命令就可以解這個微分方程，并且所有的微分方程求解都用這個命令.此題Matlab命令為：

2　繪圖功能在高等數(shù)學教學中的應用

Matlab強大的繪圖功能可以幫助學生從直觀上理解高等數(shù)學中抽象的概念，將邏輯思維與形象思維有機的結合起來.

2.1圖示法觀察泰勒級數(shù)和原函數(shù)的逼近

在教學過程中，很多學生對泰勒公式的含義理解不清楚，如果引入Matlab中的：taylortool通過圖形從直觀上幫助學生加深對泰勒公式的理解，加深對泰勒級數(shù)逼近函數(shù)這一思想方法的理解.

如求y=cosx的麥克勞林展式.在命令窗口輸入taylortool回車，打開taylor tool窗口，函數(shù)f（x）輸入cos（x），a輸入0，x的變化范圍輸入-2*pi，2*pi.分別給出N=3，N=7，N=20函數(shù)的逼近圖形.讓學生理解，離x=0處越近函數(shù)的逼近效果越好，N越大，函數(shù)逼近效果越好.

2.2圖示法理解振蕩間斷點和無窮小量與有界量乘積仍是無窮小量

輸入：ezplot（'sin（1/x）'，［-pi，pi］）輸出為圖1

輸入：syms x

limit（sin（1/x），x，0）

輸出：ans=-1..1

圖1

輸入：ezplot（x*sin（1/x），［-pi，pi］）

圖2

再求函數(shù)在x趨于0時的極限：

輸入：syms x

limit（x*sin（1/x），x，0）

輸出：ans=0

2.3圖示法理解函數(shù)用冪級數(shù)逼近和用傅立葉級數(shù)逼近的區(qū)別

學生常常不明白函數(shù)用冪級數(shù)逼近和用傅立葉級數(shù)逼近有什么區(qū)別，若單純從理論上來分析解釋，學生是難以接受和理解，利用matlab軟件作圖，可以幫助學生區(qū)分二者不同，化解難點.

我們可以利用前文中的y=codx的麥克勞林展式為例，幫助學生理解，函數(shù)的冪級數(shù)逼近只在某一點附近的逼近效果較好.對于函數(shù)的傅立葉級數(shù)逼近，我們可以采用下面的例子：

g（x）是以2π為周期的周期函數(shù)，它在［-π，π］表達式為

將g（x）展開成傅立葉級數(shù)，并用matlab作圖，分別比較g（x）的傅立葉級數(shù)的前3、5、7、9項與g（x）的接近情況.程序和圖如下：

圖3的四幅圖中紅色線為g（x）的圖形，是一方波，藍色線為展開的g（x）的傅立葉級數(shù)的不同項數(shù)的函數(shù)曲線，從圖中可以看出，n越大，整體逼近效果越好.通過matlab作圖幫助學生理解了和函數(shù)的冪級數(shù)逼近只在某一點附近的逼近效果不同，函數(shù)的傅立葉級數(shù)逼近是整體的逼近.

圖3

3　結束語

MATLAB為多層次教學、演示教學、實踐教學等現(xiàn)代化教學提供了一個良好的平臺，通過MATLAB強大的符號計算功能和圖像處理功能，調(diào)動了學生學習的積極性，起到了事半功倍的效果，真正體現(xiàn)了虛擬課堂的作用，為進一步提高教學水平和教學質(zhì)量，推動高等數(shù)學教學改革提供了新的思路.

〔1〕吳磊.Matlab在《高等數(shù)學》中的應用［J］.陰山學刊，2014，12.

〔2〕黃煒.MATLAB在高等數(shù)學中的典型問題應用探索［J］.江西科學，2010，2.

〔3〕張國輝.Matlab在高等數(shù)學中的應用探析［J］.當代教育理論與實踐，2009，6.

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2016-06-19