虞關(guān)壽

浙江省杭州市富陽(yáng)區(qū)新登中學(xué)　(311404)　楊志芳浙江省紹興市魯迅中學(xué)　(312000)

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對(duì)一個(gè)向量填空題的探究與思考

虞關(guān)壽

浙江省杭州市富陽(yáng)區(qū)新登中學(xué)(311404)楊志芳浙江省紹興市魯迅中學(xué)(312000)

向量題是高考考查的重點(diǎn)，它具有代數(shù)和幾何的功能，是命題者青睞的內(nèi)容之一，考查靈活，與幾何結(jié)合具有一定的難度，具有較強(qiáng)的選拔功能.

1.試題再現(xiàn)

所教班級(jí)該題的解答幾乎全軍覆沒(méi)，事后訪談了學(xué)生，約有三分之一的學(xué)生不知道怎么下手，還有約三分之一的同學(xué)運(yùn)算混亂，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤，一部分學(xué)生做出來(lái)的結(jié)果是16(自認(rèn)為很對(duì)，當(dāng)然也是最靠近答案的一種)，也有不少學(xué)生是猜的，猜中的概率幾乎為0.因此筆者對(duì)這個(gè)題目進(jìn)行了研究，雖有一定難度，但考查的還是向量最基本的東西.即向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積運(yùn)算以及不等式有關(guān)知識(shí)，不失為一個(gè)好題.

2.背景分析

本題考查的是向量與數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，以及最值問(wèn)題.向量具有幾何和代數(shù)的功能，因此這也是此題兩個(gè)突破的方面，所以一般可借助向量的線性運(yùn)算，從向量數(shù)量積的幾何性質(zhì)和特征來(lái)分析求解，也可以建系轉(zhuǎn)化為代數(shù)方法來(lái)解決.另外從求解結(jié)論看又是一道最值問(wèn)題，如何利用化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)(或式子)是問(wèn)題的關(guān)鍵.因此，本題考查的知識(shí)包括：向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積、向量的模等向量知識(shí)和平面幾何、三角、不等式等核心知識(shí).由于題中三個(gè)向量都是未知的，只給出一些制約條件，給問(wèn)題的轉(zhuǎn)化帶來(lái)了很大的難度.要解決這類問(wèn)題，需要學(xué)生具備較高轉(zhuǎn)化問(wèn)題的邏輯推理能力、運(yùn)算能力和良好的心理素質(zhì).

3.解法探究

圖1

點(diǎn)評(píng)：將條件分析清楚，結(jié)合圖形，利用向量與三角知識(shí)，從而使問(wèn)題得到解決.

圖2

點(diǎn)評(píng)：充分利用兩向量垂直數(shù)量積為0的優(yōu)勢(shì)，和向量的幾何意義，方法直觀，值得借鑒.

圖3

cos∠BAC，而∠BAC=

點(diǎn)評(píng)：利用數(shù)量積的定義直接處理，將平面幾何知識(shí)、余弦定理、基本不等式等知識(shí)巧妙的結(jié)合在一起將問(wèn)題解決.

圖4

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，同時(shí)利用三角相關(guān)的知識(shí)，不失為一種好的方法.

4.解題反思

以上四種解法分別從四個(gè)不同的角度，分析解決與幾何相關(guān)向量最值(范圍)問(wèn)題.體現(xiàn)了不同的解題思路. 每一種解法都是一種從已知到未知轉(zhuǎn)化，都是一種解題方法的詮釋，都值得我們總結(jié)和反思，正如美國(guó)數(shù)學(xué)家G·波利亞在《怎樣解題》中提出的怎樣解題四個(gè)關(guān)鍵的步驟(如下表)，我們都可以仿照實(shí)施.

表1　G·波利亞解題表

四種不同的解法，無(wú)論哪一種解法都對(duì)學(xué)生的思維、知識(shí)、運(yùn)算能力和考試的應(yīng)變能力有較高的要求，解題有法，但無(wú)定法，因此要注重通性通法，關(guān)注特例特法，以不變應(yīng)萬(wàn)變，又能隨機(jī)應(yīng)變.

5.引申拓展

合理的改變條件和求解目標(biāo)，有利于提高學(xué)生解題能力，使學(xué)生能在做一個(gè)題的過(guò)程中學(xué)到處理問(wèn)題的思想方法，有利于多維度看待求解的問(wèn)題，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，因此，我們?cè)谥v解題目的同時(shí)，合理的變式，適時(shí)的引申.

圖5

圖6

-2cos2(α+β)-2cos(α-β)cos(α+β)≤

-2cos2(α+β)+2cos(α+β)=

圖7

圖8

點(diǎn)評(píng)：利用向量投影和共線的性質(zhì)，巧妙地將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|OP|的最小值.

因此我們平時(shí)在教學(xué)和解題過(guò)程中，要加強(qiáng)解題的理論學(xué)習(xí)，要善于解題、變題、講題，要領(lǐng)會(huì)題目中蘊(yùn)含的思想方法，領(lǐng)會(huì)命題的立意，要善于反思總結(jié)，充分利用它的功能作用，輻射引領(lǐng)作用，促進(jìn)課堂教學(xué)，提升課堂效率.

[1]G·波利亞著.涂泓,馮承天,譯.怎樣解題[M].上海科技教育出版社,2007.

[2]馮濤.一個(gè)基于波利亞解題理論的說(shuō)題案例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2015(8):37-39.