祁學軍

寧夏中衛(wèi)市中寧縣大戰(zhàn)場鎮(zhèn)北灘小學　(755100)

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一類二元二次函數(shù)取值范圍問題的幾何解法

祁學軍

寧夏中衛(wèi)市中寧縣大戰(zhàn)場鎮(zhèn)北灘小學(755100)

1.引言

類似“實數(shù)x,y滿足Ax2+Bxy+Cy2=D(D≠0)，求S=ux2+vxy+wy2的取值范圍”的問題在各級各類數(shù)學競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，而且在各類數(shù)學報刊雜志中給出了不同的解法(如文[1]、[2])．最近文[3]用三角換元法給出了此類問題的又一新解法，并指出三角換元是處理這類問題的比較有效的一般方法．本文筆者再通過構造直線與圓錐曲線，利用直線與圓錐曲線的位置關系簡單而巧妙的解決這一問題，供大家參考．

2.應用舉例

例1(2011年浙江理科第16題)設x,y∈R，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是 ．

例3(2006年安徽省高中數(shù)學競賽初賽題)設x,y是實數(shù)且滿足x2+xy+y2=3，則x2-xy+y2的最大值與最小值是.

例4(1997年莫斯科大學化學系入學考試數(shù)學試題)設x2-xy+2y2=1，求表達式x2+2y2的最大值與最小值．

為進一步掌握此類問題的幾何解法，下面再給出幾個例子．

例7(1993年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)

例8(2001年全國初中數(shù)學競賽題)已知實數(shù)a,b滿足a2+ab+b2=1，且t=ab-a2-b2，則t的取值范圍是．

例9(1998年湖北黃岡市初中數(shù)學競賽題)已知實數(shù)a,b滿足a2+ab+b2=1，求a2-ab+b2的取值范圍．

3.結語

由上可知，只要我們根據(jù)已知條件和所求式子的特征，聯(lián)立方程組，把問題轉化為含有Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和ux2+vy2=w(uv≠0)，然后構造直線與圓錐曲線方程，問題就會迎刃而解．當然，這樣的例子還有很多，請大家繼續(xù)研究和探討．

[1]張勇赴，姜官揚．一類二元二次函數(shù)的取值范圍問題之通解[J]．中學數(shù)學教學參考(上旬)，2009(9)．

[2]蔡祖才．一類二元二次函數(shù)的取值范圍的統(tǒng)一解法[J]．高中數(shù)學教與學，2011(8)．

[3]查正開．一類二元條件函數(shù)取值范圍問題的解法研究[J]．中學數(shù)學月刊，2012(4).