四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院　(641100)　劉成龍　余小芬

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2016年四川高考數(shù)學(xué)理科21題的解析

四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(641100)劉成龍余小芬

試題設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.

(Ⅰ) 略；

上述題目是2016年全國高考數(shù)學(xué)四川卷理科第21題(14分)，屬于解答題中的壓軸題．筆者認(rèn)為該題很好的呈現(xiàn)了命題者的三大意圖：能力立意、命題回歸、有效區(qū)分.是一道優(yōu)秀的高考試題．本文將從不同的視角給出試題第(Ⅱ)問的解析，希望對讀者有所幫助．

方法一：分離參數(shù)法

目前我國的肉牛養(yǎng)殖行業(yè)得到迅速的發(fā)展，但是在進(jìn)行肉牛飼養(yǎng)時，其飼料利用率還會受到遺傳、年齡、日糧以及飼養(yǎng)管理水平等多種因素的影響，這就要求相關(guān)養(yǎng)殖人員能加強(qiáng)對該方面的研究力度，以不斷優(yōu)化現(xiàn)有的肉牛養(yǎng)殖模式，獲得良好的養(yǎng)殖效益。

方法二：單調(diào)性+分類討論

(Ⅱ)由方法1可知：當(dāng)x>1時，g(x)>0.

(1)當(dāng)a≤0，x>1時，f(x)=a(x2-1)-lnx<0，故當(dāng)f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立時，必有a>0.

方法三：函數(shù)極限的保號性

方法四：拉格朗日中值定理

方法五：主元法

點(diǎn)評：解答過程中通過變更主元、構(gòu)造了關(guān)于a的一次函數(shù)，再利用g(a)單增，通過放縮消去a，把問題轉(zhuǎn)化為：已知x>1，證明m(x)>0．

方法六：輔助切線法

點(diǎn)評：輔助切線法的基本程序?yàn)椋赫覂蓚€函數(shù)的公切線，并且說明兩函數(shù)圖像分別在公切線的上下方．輔助切線法的本質(zhì)在于構(gòu)建適當(dāng)?shù)姆趴s函數(shù)：即欲證f(x)>g(x)，可證f(x)>h(x)且h(x)>g(x)，于是f(x)>g(x)．證明中先找出m(x)、n(x)的公共切線y=-x+2，同時可以驗(yàn)證m(x)>-x+2，-x+2>n(x)，故得到m(x)>n(x)．

文中從不同的視角給出了6種解答，希望引起讀者們的共鳴！