摘要：工程力學(xué)課程的概念、公式、定理很多，但是它們之間的內(nèi)在邏輯自洽性使得對比教學(xué)法得到很好的運用，通過找尋概念、公式、定理之間的共性和差異，幫助學(xué)生對比學(xué)習(xí)記憶，既加深對舊知識的記憶與理解，同時使新知識的理解和學(xué)習(xí)變得更加容易，對比教學(xué)法起到了非常好的效果。

關(guān)鍵詞：邏輯自洽性;工程力學(xué);對比教學(xué)法

中圖分類號：G642.42 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2016）36-0174-02

一、引言

著名教育家烏申斯基認(rèn)為：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過比較來了解世界上的一切的”。普遍的認(rèn)識是，現(xiàn)代教學(xué)理念包括三點：教學(xué)的互動性、學(xué)生的主體性和知識的建構(gòu)性。在教學(xué)中如何進(jìn)行知識體系建構(gòu)呢？筆者認(rèn)為，基于概念的自洽性的對比教學(xué)方法，有助于突出教學(xué)重點、突破教學(xué)難點，使學(xué)生容易接受新知識，避免前后知識的混淆，提高辨別能力，同時有助于學(xué)生在理解掌握所學(xué)的理論知識的基礎(chǔ)上，能夠運用所學(xué)知識解決實際問題。

所謂“自洽性”，全稱“邏輯自洽性”，即相關(guān)研究領(lǐng)域內(nèi)概念、觀點等的前后一致性，是一種包含有“可靠性”、“相容性”、“完備性”的穩(wěn)定思維方式。建構(gòu)在有限論域的科學(xué)理論的基本假設(shè)和由這些基本假設(shè)推導(dǎo)的一系列結(jié)論，以及各個結(jié)論之間必須是相容的，并且相互間不矛盾。邏輯自洽性是一個有限論域理論能夠成立的必備條件。

二、對比教學(xué)法在教學(xué)活動中的檢證

工程力學(xué)課程是機(jī)械、土木等工程專業(yè)的一門重要學(xué)科基礎(chǔ)課，在工科專業(yè)的教學(xué)計劃中占有重要地位。它作為學(xué)科專業(yè)的基礎(chǔ)，為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)相關(guān)課程（機(jī)械原理、機(jī)械零件、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)和流體力學(xué)等）和將來從事科學(xué)技術(shù)工作奠定了必要的基礎(chǔ)。工程力學(xué)也是學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)、大學(xué)物理基礎(chǔ)課后接觸到的第一門學(xué)科基礎(chǔ)課，在專業(yè)課程系統(tǒng)中起著承上啟下的作用。同時，也是本科生知識結(jié)構(gòu)、科學(xué)精神和工程意識的構(gòu)建與提升中的重要一環(huán)。事實上，力學(xué)素養(yǎng)是機(jī)械、土木等工科學(xué)生專業(yè)修養(yǎng)的要素之一。

（一）四種基本變形的基本概念

工程力學(xué)中桿件的四種基本變形形式，即：軸向拉伸與壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)和彎曲。章節(jié)跨度大、公式多，學(xué)生容易記錯搞混，甚至在考試中出現(xiàn)亂用公式的現(xiàn)象。教學(xué)中通過強(qiáng)調(diào)四種基本變形的內(nèi)力、應(yīng)力和變形計算，可以深化概念、公式的認(rèn)識。

常用的變形剛度有：EA拉壓剛度、GA剪切剛度、GI扭轉(zhuǎn)剛度、EI抗彎剛度。從表1的變形表達(dá)式可以看出，各種剛度與對應(yīng)變形、內(nèi)力具有形式和內(nèi)在邏輯的自洽性。

涉及正應(yīng)力分析的材料剛度中的材料常數(shù)為拉壓彈性模量（楊氏彈性模量），而涉及剪應(yīng)力分析的材料剛度為切變模量。

組合變形：FN產(chǎn)生軸向位移dΔ，F(xiàn)S產(chǎn)生剪切位移dλ，T產(chǎn)生角位移dφ，M產(chǎn)生轉(zhuǎn)角dθ。對于dx微段，F(xiàn)N、FS、T、M均為外力。小變形時不計剪力產(chǎn)生的應(yīng)變能，根據(jù)功能原理，略去高階微量后，dx微段的應(yīng)變能在四種基本變形下統(tǒng)一表述到一個組合變形的公式中。（見圖1）。

dV=dW=FN（x）dΔ+T（x）dφ+M（x）dθ

=++

桿的應(yīng)變能為：

V=++

（二）由簡單到復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)下廣義胡克定律

簡單應(yīng)力狀態(tài)和復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)基于對應(yīng)力狀態(tài)的概念分類的闡述：三向應(yīng)力狀態(tài)是三向主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài);二向應(yīng)力狀態(tài)是只有一個主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài);單向應(yīng)力狀態(tài)是只有一個主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。見圖2。（其中的角標(biāo)x、y、z對應(yīng)無切應(yīng)力平面的主應(yīng)力角標(biāo)編號1、2、3。）各種應(yīng)力狀態(tài)下彈性定律如下：

ε=

ε=σ-νσ？搖ε=σ-νσ？搖

ε=σ-νσ+σ？搖？搖ε=σ-νσ+σ？搖？搖ε=σ-νσ+σ？搖？搖

三種應(yīng)力狀態(tài)對應(yīng)的線彈性變形條件下的彈性定律，當(dāng)然可以直接根據(jù)疊加原理逐個導(dǎo)出。

對于應(yīng)力單元體（視為一個線性系統(tǒng)模型），由于其應(yīng)力應(yīng)變的線性關(guān)系，因此具有可加性（疊加原理），從單向應(yīng)力狀態(tài)到復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，彈性定律的推導(dǎo)過程中可做如下推導(dǎo)（見圖2）。求x方向應(yīng)變ε。當(dāng)σ單獨作用時，應(yīng)用單向應(yīng)力時的胡克定律，可得x方向的線應(yīng)變?yōu)棣?=σ/E;當(dāng)σ和σ分別單獨作用時，在x方向引起橫向變形，分別為ε"=-νσ/E和

ε？蓯=-νσ/E。所以，在σ、σ、σ共同作用下，x方向的線應(yīng)變?yōu)椋害?ε'+ε"+ε？蓯=σ-ν（σ+σ）。同理可得：ε=σ-v（σ+σ），ε=σ-v（σ+σ）。

（三）矩陣?yán)碚摰奶卣髦蹬c特征向量

同樣的矩陣?yán)碚撝械奶卣髦岛吞卣飨蛄?，在工程力學(xué)也有三個類似應(yīng)用，其概念和公式都有這種邏輯上的統(tǒng)一。

如果應(yīng)力矩陣是一個實對稱矩陣，通過初等變換將應(yīng)力矩陣對角化為非對角線元素為0的對角矩陣，此時的切應(yīng)力為0，主應(yīng)力的定義是：某面上只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力時，這個正應(yīng)力就是主應(yīng)力。所以，對角線元素分別為第一、第二和第三主應(yīng)力的值。求主應(yīng)力就是求特征方程的特征值。

σ=σ==

=0

不同的特征值對應(yīng)的特征向量正交，所以三個主應(yīng)力的方向相互正交。

三、結(jié)語

通過上述比對分析，我們發(fā)現(xiàn)無論是四個基本變形與組合變形;簡單和復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的彈性定理;旋轉(zhuǎn)變換下的平面應(yīng)力狀態(tài)分析與圖形的轉(zhuǎn)軸定理;特征值和特征向量在主應(yīng)力分析、結(jié)構(gòu)振動的固有頻率和振型計算、結(jié)構(gòu)屈曲臨界荷載;等等方面都有其自身和相互間比對關(guān)系的自洽性特征。了解和掌握了這一規(guī)律，能夠更好地揭示力學(xué)理論中的本質(zhì)內(nèi)涵。同時，可以為科研教學(xué)的深入探究打下扎實的基礎(chǔ)。更進(jìn)一步的，能夠為提高我們的科研和教學(xué)水平做出一定的貢獻(xiàn)。

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