張　奕，傅少川

（北京交通大學(xué)　經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京　100044）

一種多周期易腐品庫存路徑問題模型及其求解算法

張奕，傅少川

（北京交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京100044）

通過分析一個(gè)供應(yīng)商用多個(gè)相同車輛向多個(gè)客戶配送一種易腐品，在隨機(jī)需求下，滿足多個(gè)周期中客戶的服務(wù)水平、決策計(jì)劃期內(nèi)的配送路線和配送量，以庫存持有成本、貨損成本、運(yùn)輸成本最小化為目標(biāo)，建立隨機(jī)需求的多周期易腐品庫存路徑問題模型，將庫存控制和運(yùn)輸問題整合優(yōu)化。還針對該模型設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的遺傳算法，能夠保證初始種群以及變異、交叉后的種群的多樣性和優(yōu)越性，有足夠搜索全局最優(yōu)解的能力。

庫存路徑問題；多周期；易腐品；遺傳算法

1　引言

庫存和運(yùn)輸是物流系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)“空間效用”和“時(shí)間效用”的兩大重要功能要素，是現(xiàn)代物流最重要的兩個(gè)環(huán)節(jié)，二者的消耗約占物流總成本的三分之二。

庫存問題主要是研究庫存控制，或稱為庫存分配，即多長時(shí)間補(bǔ)充一次庫存以及每次的補(bǔ)充量是多少。運(yùn)輸問題主要是研究運(yùn)輸路徑，特別是配送運(yùn)輸。庫存問題和運(yùn)輸問題都是物流領(lǐng)域的經(jīng)典問題，由于實(shí)際生產(chǎn)經(jīng)營中，庫存和運(yùn)輸一般由不同部門負(fù)責(zé)，因而對二者的研究和優(yōu)化也往往局限在各自的領(lǐng)域內(nèi)。但是，從供應(yīng)鏈整體考察，因?yàn)閹齑婧瓦\(yùn)輸存在“效益背反”關(guān)系，單獨(dú)的庫存控制或運(yùn)輸優(yōu)化不利于從供應(yīng)鏈整體上降低物流成本，特別是在VMI模式下，決策者需要從整體上考慮庫存策略和運(yùn)輸方案，努力充分利用現(xiàn)有資源并控制系統(tǒng)總成本。因此，庫存控制和運(yùn)輸問題的整合優(yōu)化成為VMI模式進(jìn)一步優(yōu)化必須解決的問題之一。這類庫存和運(yùn)輸整合優(yōu)化的問題統(tǒng)稱為庫存路徑問題（Inventory Routing Problem，IRP）。

早在1985年，M.DROR［1］就提出了IRP的思想，他認(rèn)為IRP問題是計(jì)劃期為一天的庫存路徑問題，他意識到庫存和運(yùn)輸應(yīng)共同考慮，從IRP問題的兩階段性考慮，分別為庫存問題和運(yùn)輸問題建立了優(yōu)化模型，但并不能保證最后結(jié)果是最優(yōu)的。由于信息技術(shù)的限制，IRP問題直到21世紀(jì)才引起廣泛的重視。2003年，Scott J.Mason［2］研究了信息系統(tǒng)對于減少裝卸貨等待時(shí)間、減少處理成本、提高客戶滿意度的IRP問題的作用。Samira Mirzaei和Abbas Seifi［3］重點(diǎn)關(guān)注了IRP問題中的庫存損失，假定庫存損失隨時(shí)間呈線性增長，通過建模平衡了運(yùn)輸成本、庫存持有成本和庫存損失，并利用遺傳算法和禁忌搜索算法求解。

國內(nèi)學(xué)者對車輛路徑問題的研究，雖然起步較晚，但發(fā)展較快，近幾年出現(xiàn)了大量研究成果。劉立輝、葉春明［4-5］、段鳳華［6］給出了庫存路徑問題的定義和問題的基本描述，闡述了其研究意義，并將庫存路徑問題按照不同的特點(diǎn)進(jìn)行了分類，介紹了近年文獻(xiàn)中出現(xiàn)的幾個(gè)庫存路徑問題模型及其求解算法，分析了該領(lǐng)域現(xiàn)有研究的不足和未來發(fā)展方向。李富昌等［7］建立了基于價(jià)格、配送頻率和需求分配比例的三階段非合作動態(tài)決策模型和庫存路徑問題優(yōu)化模型，分析了4PL主導(dǎo)的業(yè)務(wù)外包和3PL之間的競爭。

從供應(yīng)鏈管理的角度來看，對庫存路徑問題的研究，不僅有助于解決運(yùn)輸與庫存的“效益背反”問題，降低供應(yīng)鏈內(nèi)耗，增強(qiáng)其競爭力，還有助于供應(yīng)鏈管理特別是VMI的流程優(yōu)化，尤其是在確定最優(yōu)庫存水平、最佳補(bǔ)貨頻率及補(bǔ)貨時(shí)刻、配送所需車輛數(shù)量及配送區(qū)域以及運(yùn)輸路徑方面至關(guān)重要。對庫存與運(yùn)輸兩部門利益的平衡，能夠促進(jìn)供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)發(fā)展，增強(qiáng)供應(yīng)鏈的軟實(shí)力。

易腐品指容易腐敗、退化、變質(zhì)、揮發(fā)的產(chǎn)品，廣泛地存在于日常生活中，且數(shù)量或質(zhì)量易受到運(yùn)輸與庫存決策的極大影響，典型的易腐品包括奶制品、水果、蔬菜、鮮花、海鮮等產(chǎn)品。對易腐品的庫存路徑問題進(jìn)行研究，是最近研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題。一般易腐品具有易變質(zhì)或已過時(shí)的特性。以生鮮產(chǎn)品為例，生鮮產(chǎn)品在生產(chǎn)、儲存、運(yùn)輸?shù)任锪鳝h(huán)節(jié)的損耗高達(dá)20%，尤其是在城市末端配送環(huán)節(jié)的損失更為驚人。隨著便利商店、連鎖超市、大型商場等新型商業(yè)零售模式的持續(xù)發(fā)展以及傳統(tǒng)擺攤設(shè)點(diǎn)零售模式由于不夠衛(wèi)生、影響市容等原因逐步淘汰，眾多商家把生鮮產(chǎn)品視為重要的經(jīng)營項(xiàng)目，不斷擴(kuò)大生鮮產(chǎn)品的經(jīng)營種類，加大采購和銷售力度。因此，對易腐品的儲存、運(yùn)輸?shù)拳h(huán)節(jié)加以控制，有效減少損耗，具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

2　模型建立

2.1模型描述與參數(shù)說明

該物流系統(tǒng)可以看作一個(gè)閉合的圖G=｛V，A｝，其中V=｛0，…，||V｝為所有的點(diǎn)，A=｛（i，j）:i，j∈V，i≠j｝為所有的邊。點(diǎn)0表示配送中心，點(diǎn)集V′=V｛0｝表示所有的客戶。兩點(diǎn)Vi，Vj之間的距離記為aij，配送中心擁有||K輛完全相同、最高載重量為c的貨車，構(gòu)成集合K=｛1，2，…，||K｝。車輛運(yùn)輸過程中，每公里的成本為r。為保證工作效率，在一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)，一輛車最多經(jīng)過同一路線一次?？蛻鬷∈V′在計(jì)劃期t∈T=｛1，2，…，的需求為 di，t，且服從均值為 μi，t、標(biāo)準(zhǔn)差為σi，t，?i∈V′，t∈T的正態(tài)分布。貨物的保質(zhì)期為m，保質(zhì)期內(nèi)貨物不會變質(zhì)或損壞，當(dāng)儲存時(shí)間超過保質(zhì)期時(shí)，每個(gè)計(jì)劃期末都有固定百分比p的貨物變質(zhì)。客戶的單位庫存持有成本為hi。滿足需求的客戶百分比不得低于α，且當(dāng)期未被滿足的需求必須在下一個(gè)計(jì)劃期得到配送。

模型涉及的其他符號定義如下：

E［?］：期望算子；

P（?）：概率算子；

Qi，k，t：在計(jì)劃期t∈T初，由車輛k∈K配送至客戶i∈V′的庫存量，單位kg；

Ii，t：客戶i∈V′在計(jì)劃期t∈T?｛0｝末的庫存水平，單位kg，Ii，0=0，?i∈V′；

Wi，t：計(jì)劃期t∈T末時(shí)，客戶i∈V′的庫存水平，單位kg；

Fi，j，k，t：車輛 k∈K在計(jì)劃期 t∈T從點(diǎn)i∈V向點(diǎn)j∈V行駛時(shí)的負(fù)載量，單位kg。

2.2成本分析

本文研究內(nèi)容為多周期易腐品庫存路徑問題，主要考慮三項(xiàng)成本：庫存持有成本、貨損成本、運(yùn)輸成本，得到目標(biāo)函數(shù)如下：

式（1）中第一項(xiàng)為庫存持有成本，第二項(xiàng)為貨損成本，第三項(xiàng)為運(yùn)輸成本。

2.3約束分析

約束（2）-（5）保證了各個(gè)計(jì)劃期的客戶服務(wù)水平。式（2）由期初在途庫存減去當(dāng)期需求和貨物損失，得出各個(gè)客戶在各個(gè)計(jì)劃期末的庫存的期望。式（3）為式（2）的補(bǔ)充說明。式（4）定義了用來計(jì)算庫存持有成本的變量約束（5）、（6）計(jì)算了各計(jì)劃期末客戶的貨物損失量。式（7）限制在每個(gè)計(jì)劃期，缺貨的概率均不高于1-α，保證了服務(wù)水平。

約束（8）保證了在任一計(jì)劃期，各個(gè)客戶處到達(dá)和出發(fā)的車輛數(shù)守恒。約束（9）保證在任一計(jì)劃期內(nèi)，一輛車不會兩次或多次經(jīng)過同一路徑。約束（10）確保每輛車的載貨能力都得到充分利用。約束（11）保證每輛車的負(fù)載量都是單調(diào)遞減的，因此系統(tǒng)中沒有不含配送中心的子回路。

約束（12）-（15）為決策變量的限制條件。

3　遺傳算法設(shè)計(jì)

3.1編碼及解碼

遺傳算法的編碼方式由實(shí)際問題決定，本文研究的多周期易腐品庫存路徑問題，有行駛路徑、配送量兩個(gè)決策變量，簡單的遺傳算法無法準(zhǔn)確描述該問題的數(shù)據(jù)。本文采用整數(shù)編碼方式，其中奇數(shù)項(xiàng)編碼對應(yīng)配送路徑上的客戶，偶數(shù)項(xiàng)編碼對應(yīng)對該客戶的配送量。每一個(gè)客戶的編號和配送量由2位基因構(gòu)成，若有N個(gè)客戶，T個(gè)計(jì)劃期，則每條染色體由2TN個(gè)基因構(gòu)成。在解碼時(shí)，將配送量編碼從左到右逐個(gè)求和，當(dāng)配送總量等于單車最大裝載量，或所?？臻g不足以負(fù)載下一個(gè)客戶的配送量時(shí)，車輛返回配送中心；當(dāng)所?？臻g能夠負(fù)載下一個(gè)客戶的配送量時(shí)，車輛負(fù)責(zé)下一個(gè)客戶的配送。當(dāng)車輛負(fù)責(zé)完本計(jì)劃期最后一個(gè)客戶的配送任務(wù)時(shí)，不論其剩余裝載能力為多少，都返回配送中心。

令φi表示第i代種群，則初始種群可以表示為：

其中奇數(shù)項(xiàng)為配送路徑編碼，偶數(shù)項(xiàng)為配送量編碼。

3.2初始群體的產(chǎn)生

遺傳算法對初始種群的產(chǎn)生方式具有一定的依賴性，一般情況下，對求解過程、求解結(jié)果有利的初始種群應(yīng)當(dāng)滿足以下兩個(gè)條件：一是種群多樣性，多樣的種群使算法獲得更廣闊的搜索空間；二是初始種群的優(yōu)越性，當(dāng)初始種群存在較多與最優(yōu)解接近的基因時(shí)，求得最優(yōu)解的可能性就越大。

傳統(tǒng)遺傳算法使用完全隨機(jī)的方式產(chǎn)生一定規(guī)模的個(gè)體作為初始種群。完全隨機(jī)的產(chǎn)生方式可以很好地保證種群的多樣性，但卻不能保證其優(yōu)越性。本文分別針對路徑問題和配送量控制，引入了兩種機(jī)制，把握最優(yōu)解可能存在的分布區(qū)域，然后在此區(qū)域內(nèi)設(shè)定初始群體。

3.2.1產(chǎn)生路徑編碼。對于初始種群的路徑編碼部分，根據(jù)“空間聚類”思想產(chǎn)生一部分個(gè)體。由于運(yùn)輸成本的限制，在實(shí)際生活中，最優(yōu)配送路徑往往是一輛車負(fù)責(zé)一個(gè)區(qū)域的客戶配送任務(wù)，各輛車的路徑?jīng)]有交叉或交叉較少，因此在產(chǎn)生初始種群時(shí)，根據(jù)“空間聚類”思想，將空間上相鄰的客戶做簡單聚類。

具體步驟如下：

Step1：隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)客戶編號i；

Step2：將客戶編號i加入路徑中；

Step3：重復(fù)Step1，判斷路徑中是否已經(jīng)存在該客戶編號i，如果不存在，執(zhí)行下一步，如果存在則放棄該編號，繼續(xù)重復(fù)Step1；

Step4：在路徑中存在的客戶中找到與當(dāng)前客戶距離最近的客戶；

Step5：產(chǎn)生一個(gè)可能值為0或1的隨機(jī)數(shù)，如果該數(shù)為1，將當(dāng)前客戶插入路徑中與之距離最短的客戶右側(cè)，否則插入左側(cè)；

Step6：重復(fù)Step3到Step5，直到所有客戶都被加入到路徑中；

Step7：重復(fù)Step1到Step6，直到每個(gè)計(jì)劃期都有一條路徑。如果有N個(gè)客戶，T個(gè)計(jì)劃期，則每條染色體現(xiàn)在有TN個(gè)基因。

通過該方法產(chǎn)生的路徑編碼，由于經(jīng)過簡單的聚類操作，可以保證基因的優(yōu)越性。另一方面由于在路徑中插入客戶時(shí)使用了兩次隨機(jī)數(shù)，即哪個(gè)客戶先被插入路徑是隨機(jī)的、插入到與之最近的客戶的左側(cè)還是右側(cè)是隨機(jī)的，因此保證了基因的多樣性。

3.2.2產(chǎn)生配送量編碼。根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)可知，一方面為了保證客戶需求，配送量不能過少；一方面為了減少庫存積壓、降低貨損成本，配送量不能過多。因此最優(yōu)解的配送量應(yīng)該是接近客戶需求量的?？梢援a(chǎn)生一系列隨機(jī)數(shù)φi，t，φi，t服從正態(tài)分布N（μi，t，10σ），該隨機(jī)數(shù)與客戶的需求服從均值相同的正態(tài)分布，但變化較大，有較大可能覆蓋最優(yōu)解的區(qū)間。然后將這些隨機(jī)數(shù)依次插入對應(yīng)計(jì)劃期的配送客戶編碼右側(cè)，最終形成長度為2TN的染色體編碼。

3.3適應(yīng)度計(jì)算

遺傳算法尋找最優(yōu)解的過程，就是染色體的進(jìn)化過程，也就是“優(yōu)勝劣汰，適者生存”的過程。為了判斷染色體的優(yōu)劣程度，作為遺傳算法進(jìn)行遺傳操作的依據(jù)，需要構(gòu)建適應(yīng)度函數(shù)。適應(yīng)度高的個(gè)體，在選擇交叉時(shí)被選中的幾率更大，即個(gè)體的生存能力更強(qiáng)。適應(yīng)度是遺傳算法的內(nèi)在驅(qū)動力，種群的每一次改變都是通過控制適應(yīng)度來完成的。

通常適應(yīng)度與遺傳算法的目標(biāo)函數(shù)直接映射，本文中庫存成本和運(yùn)輸成本的總成本為目標(biāo)函數(shù)，因此認(rèn)為總成本越低則適應(yīng)度越高，反之適應(yīng)度越低。因此第i條染色體的適應(yīng)度函數(shù)：

適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算步驟如下：

Step6：計(jì)算系統(tǒng)總成本和染色體的適應(yīng)度。

3.4選擇算子

輪盤賭選擇法是遺傳算法最常用的一種染色體選擇方法，由于其簡單、直觀、有效的特點(diǎn)而深受歡迎。輪盤賭選擇法的基本思路是，設(shè)種群染色體數(shù)量為m，其中第i條染色體的適應(yīng)度為 fi，則種群適應(yīng)度的總和為每個(gè)個(gè)體被選擇的概率為

輪盤賭選擇法實(shí)現(xiàn)步驟如下：

Step1：設(shè)第i條染色體的適應(yīng)度為 fi，計(jì)算該染色體被選中的概率

Step2：從第1條染色體開始，依次計(jì)算第1條到第i條染色體的累積選中概率

Step3：產(chǎn)生一個(gè)服從均勻分布U［0，1］的隨機(jī)數(shù)χ，若χ滿足則第i+1條染色體被選中。

盡管輪盤賭選擇法簡單直觀，普遍適用，但該方法也存在諸多不足：在遺傳進(jìn)化初始階段，可能存在適應(yīng)度較高的個(gè)體，在反復(fù)使用輪盤賭選擇法進(jìn)行選擇時(shí)，會復(fù)制出大量該染色體的子代，雖然能保證優(yōu)越性，卻會使種群多樣性迅速喪失。

本文采用一種改進(jìn)的輪盤賭選擇法：

Step1：設(shè)第i條染色體的適應(yīng)度為 fi，計(jì)算該染色體被選中的概率若 pi＞30% ，則令pi=30%；

通過對輪盤賭選擇法的改進(jìn)，降低了適應(yīng)度高的染色體被選中的概率，有效防止局部過快收斂。

3.5交叉算子

圖1　染色體交叉算子示意圖

遺傳算法通過交叉算子產(chǎn)生新的解空間，交叉算子將改進(jìn)的輪盤賭選擇出來的兩個(gè)染色體的各個(gè)個(gè)體通過一定的交叉方法隨機(jī)的交換染色體的某些基因，進(jìn)而產(chǎn)生新染色體的個(gè)體。交叉算子不僅能不斷產(chǎn)生種群的新個(gè)體，還能有效保證種群的多樣性。

由于本文的染色體編碼以兩個(gè)基因?yàn)橐唤M，且同一個(gè)計(jì)劃期的路徑編碼不應(yīng)有重復(fù)的出現(xiàn)，因此將代表1個(gè)客戶和其配送量的2個(gè)基因作為一個(gè)整體進(jìn)行交叉。本文采用整段交換、刪除重復(fù)法來對染色體編碼做交叉操作，具體步驟如下：

Step1：假設(shè)染色體編碼有2tn位，產(chǎn)生一個(gè)［1，tn）之間的隨機(jī)整數(shù)χ；

Step2：把第1條被選擇染色體A1的第1至2χ個(gè)基因位接到第2條的染色體B1前面，同時(shí)把第2條被選擇染色體B1的第1至2χ個(gè)基因位接到第1條染色體A1前面。

Step3：刪除染色體A1上同一計(jì)劃期重復(fù)的路徑編碼基因及其對應(yīng)的配送量編碼基因，得到染色體A2；刪除染色體B1上同一計(jì)劃期重復(fù)的路徑編碼基因及其對應(yīng)的配送量編碼基因，得到染色體B2。至此染色體基因交叉完成。

整段交換、刪除重復(fù)法示意圖如圖1所示。

3.6變異算子

變異算子可以使遺傳算法跳出原來的搜索區(qū)域，避免局部最優(yōu)解，獲得更廣闊的搜索空間來尋找全局最優(yōu)解。本文先對代表1個(gè)客戶和其配送量的2個(gè)基因進(jìn)行整體換位變異，然后對配送量編碼進(jìn)行變異。

3.6.1路徑編碼變異算子。對于代表1個(gè)客戶和其配送量的2個(gè)基因，本文采用整體換位變異算子方法。具體操作步驟如下：

Step1：設(shè)染色體的變異概率為p∈（0，1）；

Step2：隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)服從均勻分布U［0，1］的隨機(jī)數(shù)χ，當(dāng)χ＜p時(shí)，隨機(jī)產(chǎn)生兩個(gè)［1，tn］間的整數(shù)χ1，χ2；

Step3：將染色體的第2χ1-1，2χ1個(gè)基因與2χ2-1，2χ2個(gè)基因互換位置。至此路徑編碼變異完成。

3.6.2配送量編碼變異算子。為了保證配送量編碼的優(yōu)越性，采取如下變異步驟：

Step1：設(shè)定染色體的變異概率為p∈（0，1）；

Step2：隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)服從均勻分布U［0，1］的隨機(jī)數(shù)χ，當(dāng)χ＜p時(shí)，隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)［1，tn］間的整數(shù)χ′；

Step3：隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)服從正態(tài)分布N（0，20σ）的隨機(jī)數(shù)φ，令染色體的第2χ個(gè)基因的值加上隨機(jī)數(shù)φ。至此配送量編碼變異完成。

3.7終止變化規(guī)則

遺傳算法是一種隨機(jī)搜索算法，求解過程是循環(huán)演變的過程，必須通過設(shè)定終止進(jìn)化規(guī)則來讓遺傳算法的迭代過程停止。本文通過控制遺傳算法的最大迭代次數(shù)來判斷是否終止進(jìn)化，即設(shè)定一個(gè)算法的最大迭代次數(shù)N，當(dāng)算法迭代次數(shù)達(dá)到N次，結(jié)束運(yùn)算，輸出結(jié)果。

4　結(jié)論

本文在基本庫存路徑問題的基礎(chǔ)上，深化研究內(nèi)容，考慮隨機(jī)需求的多周期易腐品庫存路徑問題，在一定服務(wù)水平、路徑較優(yōu)的約束下，綜合分析庫存持有成本、貨損成本、運(yùn)輸成本，決策供應(yīng)鏈的配送路線、配送量。本文還針對隨機(jī)需求的多周期易腐品庫存路徑問題模型，設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的遺傳算法。該模型可用于水果、蔬菜、生鮮等易隨時(shí)間推移而變質(zhì)或損壞的易腐品的供應(yīng)鏈決策。

［1］M Dror M B.Inventory/routing:Reduction from an annual to a shortperiod problem［J］.Naval Research Logistics Quarterly，1987，34:891-905.

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Model and Algorithm to Solve a Class of Multi-cycle Perishable Inventory Routing Problem

Zhang Yi，F(xiàn)u Shaochuan
（School of Economics&Management，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China）

In this paper，through analyzing the system where a supplier delivered one perishable goods to multiple customers using multiple vehicles of the same kind，we satisfied the service level requirement of the customers in different cycles under stochastic demand，obtained the distribution route and volume，and then established the multi-cyclic perishable goods inventory routing model under stochastic demand aiming at minimizing the inventory holding cost，cargo loss cost，and transportation cost.Then we designed a modified genetic algorithm to solve the model so as to ensure the diversity and superiority of the initial and the post-mutation population and the ability to reach global optimization.

inventory routing problem；multi-cyclic；perishable goods；genetic algorithm

U16；F253.4

A

1005-152X（2016）04-0091-06

10.3969/j.issn.1005-152X.2016.04.023

2016-03-07

張奕（1991-），男，河北石家莊人，北京交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院物流工程碩士研究生，研究方向：企業(yè)物流運(yùn)作與規(guī)劃；傅少川（1964-），男，山東濰坊人，北京交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：供應(yīng)鏈管理、物流系統(tǒng)規(guī)劃等。