劉　可， 錢華明， 馬俊達

(哈爾濱工程大學 自動化學院， 哈爾濱 150001)

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一種基于導向矢量約束的恒模盲波束形成算法

劉可， 錢華明， 馬俊達

(哈爾濱工程大學 自動化學院， 哈爾濱 150001)

針對陣列信號波達角(direction of arrival，DOA)先驗信息已知的情況，利用信號的恒模特性，在卡爾曼濾波(Kalman filter，KF)結(jié)構(gòu)下，提出一種附加陣列導向矢量約束的自適應波束形成算法.對約束情況下的卡爾曼濾波目標函數(shù)運用拉格朗日乘子法，求得約束條件下的最優(yōu)估計表達式，并將其推廣到無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter，UKF)算法中，通過約束迭代算法對陣列估計信號的導向角施加約束，實現(xiàn)約束UKF自適應波束形成算法的最優(yōu)權(quán)值分配.仿真過程中，用所提算法與約束恒模迭代最小二乘算法和約束最小方差迭代最小二乘算法作對比，表明表明，該算法在收斂速度、信噪比、穩(wěn)健性、跟蹤性能方面具有較好的性能.

信號處理；自適應濾波；無跡卡爾曼濾波；波束形成；約束優(yōu)化技術(shù)

在現(xiàn)代無線通訊系統(tǒng)中，通訊信號在干擾環(huán)境下的檢測和提取是當今研究的熱點問題.自適應波束形成技術(shù)，為解決這類問題提供一種有效的技術(shù)手段，它能在有用信號到達方向形成高增益，在干擾方向形成零陷，從而對干擾信號形成有效抑制，而被廣泛應用于導航、雷達、聲納、醫(yī)學圖像等領域.盲自適應波束形成技術(shù)能在缺少很多先驗信息的情況下形成有用信號的陣列響應.它在抑制干擾、提高追蹤性能、降低計算復雜度方面具有重要的研究價值.附加約束條件的自適應波束形成算法按設計準則，主要分為兩類：約束最小方差(constrained minimum variance, CMV)準則和約束恒模(constrained constant modulus, CCM)準則.CMV準則是對有用信號的波達角施加約束的情況下使得陣列輸出方差最小.CCM準則是使得波束形成的模值輸出偏差最小，且對有用信號的陣列輸出施加條件約束.隨機梯度法 (stochastic gradient, SG)是自適應波束形成的一種經(jīng)典方法，它通過選取合適的步長，實現(xiàn)對最小均方目標函數(shù)的漸近逼近，不需要估計輸入信號的協(xié)方差矩陣，能有效減少計算量.文獻[1]對Bussgan類型的恒模算法給出了步長邊界的計算公式；文獻[2]利用CMV-SG算法，對CDMA通信系統(tǒng)進行多用戶檢測，并取得了較好的效果；文獻[3]針對不同結(jié)構(gòu)，提出了3種CCM-SG遞推算法，并應用于CDMA系統(tǒng)中.該方法的不足是收斂速度慢，而且步長的選取相對困難，步長過小會導致較慢的收斂速度，步長過大又會造成偏差較大，甚至系統(tǒng)不穩(wěn)定.

在眾多自適應波束形成算法中，迭代最小二乘算法[4](recursive least squares, RLS)具有收斂快速性和算法實用性的特點.但該算法存在遺忘因子難以預先確定的問題.文獻[5-6]針對這個問題提出可變遺忘因子的RLS算法；文獻[7]將CCM-RLS算法應用于智能天線的波束形成中；文獻[8]利用CMV-RLS和CCM-RLS算法消除CDMA系統(tǒng)的多徑干擾.文獻[9]利用UKF算法提出一種自適應盲波束形成算法，但未考慮附加約束條件.本文針對波達角先驗信息已知的情況，利用信號的恒模特性，提出一種導向矢量約束的UKF自適應盲波束形成算法.

1　系統(tǒng)模型

1.1陣列模型

定義符號：(·)T為轉(zhuǎn)置運算，(·)H為共軛轉(zhuǎn)置運算，(·)*為共軛運算，In×n為n×n的單位陣，0m×n為m×n的零矩陣，R為實數(shù)域，C為復數(shù)域.

假設信號為點源、遠場、傳播介質(zhì)均勻，且傳播無衰減.L元傳感器陣列如圖1所示，信號的波達角為θi,i=0,1,…,N-1，N為信號數(shù)，陣列第k次快拍的接收向量xk∈CL×1為

信號的導向矢量矩陣為

波束形成的輸出為

yk=wHxk.

式中w=[w(1),…,w(L)]T∈CL×1是復權(quán)值向量.

1.2狀態(tài)空間模型

假設存在一個未知系統(tǒng)wk，輸入信號xk的陣列響應具有恒模特性，模值為r，則狀態(tài)空間模型為

(1)

(2)

式中p為一個常數(shù)，通常設置為2.

將式(1)、(2)變形可得

(3)

(4)

利用式(2)、(4)推得

由式(1)～(4)，得到狀態(tài)空間模型的表達式為

2　約束自適應波束形成算法

約束自適應波束形成算法是通過最小化代價函數(shù)，對變量施加條件約束，以獲取最優(yōu)權(quán)矢量.寫成表達式的形式為

式中：Jw為代價函數(shù)；B∈CL×q為約束矩陣；f∈Cq×1為約束向量.

2.1CMV算法

常用的CMV算法主要包括CMV-SG算法和CMV-RLS算法.CMV-SG算法的代價函數(shù)為

運用拉格朗日乘子法可求得遞推公式

式中μ為算法步長.

CMV-RLS算法的代價函數(shù)為

式中α為RLS算法的遺忘因子.

運用拉格朗日乘子法可得

通過迭代運算，實現(xiàn)協(xié)方差矩陣Rk的求逆運算，由

運用矩陣求逆引理[10]得

若令

則CMV-RLS遞推求解公式為

2.2CCM算法

恒模算法的代價函數(shù)為

式中：r為信號的恒模值，通常設置為1; p和q為非負常數(shù)，通常設置為2; yk表示陣列輸出向量y的第k次快拍;E[·]表示期望.

與CMV算法類似，常用的CCM算法包括CCM-SG算法和CCM-RLS算法.CCM-SG算法的代價函數(shù)為

采用與CMV-SG相似的運算，可得

[xk-aH(θ0)xka(θ0)].

CCM-RLS的代價函數(shù)為

運用拉格朗日乘子法，可得

上式協(xié)方差矩陣Rk的求逆，可通過迭代實現(xiàn)，由于

由矩陣求逆引理[10]可得

式中

若令

則CCM-RLS遞推求解公式為

更為詳細的推算過程可參考文獻[7-8].

3　恒模盲波束形成算法

3.1KF代價函數(shù)的最優(yōu)解

因為直接利用1.2節(jié)建立的狀態(tài)空間模型，構(gòu)造約束UKF的代價函數(shù)求解比較困難，本文采用的思路是先對約束條件下的KF構(gòu)造代價函數(shù)，求出最優(yōu)估計的表達式，再將其推廣到約束UKF波束形成算法中.

有關KF的詳細遞推公式可參考文獻[11-13].利用拉格朗日乘子法，可求得約束狀態(tài)估計及其協(xié)方差矩陣為

(5)

(6)

其中：

3.2UKF約束迭代算法

UKF是KF的非線性擴展，是通過UT變換，實現(xiàn)非線性系統(tǒng)線性化的一種近似.該迭代算法是約束KF向非線性約束狀態(tài)估計的延伸，約束迭代過程如下.

1)計算sigma點：

(7)

2)傳播sigma點：

(8)

式中ιj(·)表示(·)的第j列元素.

3)估計約束向量：

(9)

4)計算協(xié)方差矩陣：

(10)

(11)

3.3恒模盲波束形成算法的步驟

在自適應波束形成算法中，假設陣列波達角θ0為已知的先驗信息，則約束條件為

即約束矩陣D=aH(θ0)，約束向量d=1.

附加導向矢量約束的UKF波束形成算法主要分為5個環(huán)節(jié)，第1個環(huán)節(jié)是迭代參數(shù)的初始化；第2個環(huán)節(jié)為系統(tǒng)的狀態(tài)預測(步驟1～4)；第3個環(huán)節(jié)為系統(tǒng)的狀態(tài)更新(步驟5～11)；第4個環(huán)節(jié)是約束迭代過程(步驟12)；第5個環(huán)節(jié)是最優(yōu)權(quán)向量的輸出(步驟13～14).詳細的求解步驟如下.

步驟1選取sigma點：

其中Pk-1|k-1為先驗協(xié)方差，χk-1|k-1為選取的sigma點.

步驟2傳播sigma點：

步驟3估計系統(tǒng)狀態(tài)：

步驟4估計誤差協(xié)方差：

步驟5計算系統(tǒng)的輸出sigma點：

式中函數(shù)g(·)表示對ιj(χk|k-1)中的每個元素的絕對值的p次方計算.

步驟6估計系統(tǒng)輸出：

步驟7估計自協(xié)方差矩陣：

步驟8估計互協(xié)方差矩陣：

步驟9計算增益矩陣：

步驟10計算狀態(tài)估計：

步驟11計算誤差協(xié)方差矩陣：

步驟12利用式(5) ～(11)進行約束迭代.

步驟13計算系統(tǒng)的最優(yōu)權(quán)值：

該算法的計算流程如圖2所示.

圖2　算法流程圖

4　仿真驗證

[7]的對比方式，以信干噪比(signaltointerferenceplusnoiseratio,SINR)為指標進行對比仿真，因為文獻[2，7-8]已經(jīng)驗證CCM-RLS和CMV-RLS算法要好于CCM-SG和CMV-SG算法，所以本文僅用所提算法跟文獻[7-8]的CCM-RLS，CMV-RLS作對比仿真，來驗證算法的性能.

輸出SINR的公式為

實驗1給出了SINR隨快拍數(shù)的變化，由圖3可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，所提算法最終收斂的SINR要高于CMV-RLS和CCM-RLS，而且當?shù)螖?shù)到達200次時，SINR就可以完全收斂，其他兩種算法需要迭代500次以上，由此可見，在收斂速度和收斂的SINR數(shù)值上都好于另外兩種算法.該仿真也同時驗證了CCM-RLS算法性能要好于CMV-RLS，該結(jié)論與文獻[7-8]一致.

圖3　實驗1 SINR相對于迭代次數(shù)的變化

實驗2為假定波達角DOA為11°，即存在1°的導向角失配情況，從圖4中可以看出，3種算法存在不同程度的性能下降，但CMV-RLS和CCM-RLS算法性能下降更為明顯，而所提算法仍能保持較好的性能，因而所提算法相比于其他兩種算法具有較好的穩(wěn)健性.

圖4　實驗2 SINR相對于迭代次數(shù)的變化

實驗3為陣列維數(shù)較高時的信干噪比變化情況，此時設定L=60，從圖5中可以看出，CCM-RLS算法收斂SINR為15 dB, CMV-RLS算法的收斂SINR為13 dB，相比于陣列維數(shù)較低時，存在著SINR下降的情況，而所提算法在收斂速度和SINR上仍保持較好的性能.

實驗4為非平穩(wěn)條件下的仿真，為了讓仿真更加明顯，此次仿真將迭代次數(shù)增加到了4 000次，并在迭代次數(shù)為2 000次時，增加兩個INR為3 dB的干擾信號.從圖6可以看出，3種算法在2 000次迭代處都發(fā)生了SINR的下降，但相比于其他兩種算法，所提算法具有較快的恢復速度，體現(xiàn)出該算法具有較好的跟蹤性能和穩(wěn)態(tài)恢復能力.

圖5　實驗3 SINR相對于迭代次數(shù)的變化

圖6　實驗4 SINR相對于迭代次數(shù)的變化

5　結(jié)　論

1)提出一種新型的UKF波束形成算法.先對恒模算法的代價函數(shù)進行變形，然后在附加導向矢量約束的條件下，利用UKF的迭代更新等式，求解波束形成器的最優(yōu)權(quán)矢量.

2)通過數(shù)值仿真實驗可以得出，相比于經(jīng)典的CCM-RLS和CMV-RLS算法，該算法具有如下優(yōu)勢：具有較高的輸出SINR和較快的收斂速度；在導向角失配情況下表現(xiàn)出較好的穩(wěn)健性；在陣列維數(shù)較高時，仍保持較好的性能指標；在非平穩(wěn)情況下體現(xiàn)出較好的穩(wěn)態(tài)恢復能力.

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(編輯魏希柱)

A constant modulus blind beamforming algorithm based on constrained direction vectors

LIU Ke，QIAN Huaming，MA Junda

(College of Automation, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Aiming at the case of the known knowledge of the direction of arrival of the desired signal, by using the constant modulus feature, a new blind adaptive beamforming algorithm is proposed under the frame of the Kalman filter. According to the Lagrange multiplier method, the optimal estimation expression of the system states can be derived by minimizing the constrained cost function. Then, the optimal weight vector of the adaptive beamformer can be obtained by using the iteration and update equations of the unscented Kalman filter. In the simulation, the proposed algorithm is compared with the constrained constant modulus recursive least square (CCM-RLS) and constrained minimum variance recursive least square (CMV-RLS) to demonstrate its effectiveness in the terms of the convergence speed, signal to interference plus noise ratio, robustness to changeable environments and tracking capability in the non-stationary condition.

signal processing; adaptive filtering; unscented Kalman filter; beamforming; constrained optimization technique

10.11918/j.issn.0367-6234.2016.09.026

2015-03-31

國家自然科學基金(61573113)；哈爾濱市科技創(chuàng)新人才研究專項資金(優(yōu)秀學科帶頭人)資助項目(2014RFXXJ074)作者簡介: 劉可(1986—)，男，博士研究生；

錢華明，qianhuam@sina.com

TN911

A

0367-6234(2016)09-0151-06

錢華明(1965—)，男，教授，博士生導師