□宋毓彬
二次函數(shù)系數(shù)式符號的判定
□宋毓彬
(1)確定a、b、c符號的方法
①a的符號由拋物線開口方向確定:
開口向上,a>0;
開口向下,a<0.
②b的符號由拋物線對稱軸位置結(jié)合開口方向確定:
③c的符號由函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)(0,c)的位置確定:
交點(diǎn)位于y軸正半軸,c>0;交點(diǎn)位于y軸負(fù)半軸,c<0;交點(diǎn)為原點(diǎn)時,c=0.
(2)對稱軸的作用
②拋物線具有對稱性,拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的兩個點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同(即函數(shù)值相等).
(4)由拋物線上特殊點(diǎn)的位置判定特殊系數(shù)式的符號
如x=1時,y=a+b+c;x=-1時,y=a-b+c;x=2時,y=4a+ 2b+c;x=-2時,y=4a-2b+c等系數(shù)式,其符號可由圖象上對應(yīng)的點(diǎn)的位置來確定,對應(yīng)點(diǎn)在x軸上方,y>0;對應(yīng)點(diǎn)在x軸下方,y<0.
(5)由拋物線與x軸的交點(diǎn)情況確定判別式的符號
拋物線與x軸有兩個交點(diǎn),Δ= b2-4ac>0;拋物線與x軸有一個交點(diǎn),Δ=b2-4ac=0;拋物線與x軸無交點(diǎn),Δ=b2-4ac<0.
(6)由拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)確定函數(shù)值y的取值范圍及a、b、c符號
拋物線與x軸相交于(x1,0)、(x2,0).
①a>0時,x1<x<x2,y<0(對應(yīng)的函數(shù)值在x軸下方,中間);x<x1或x>x2,y>0(對應(yīng)的函數(shù)值在x軸上方,兩邊).
a<0時,x1<x<x2,y>0(對應(yīng)的函數(shù)值在x軸下方,中間);x<x1或x>x2,y<0;(對應(yīng)的函數(shù)值在x軸上方,兩邊)
②由根與系數(shù)關(guān)系判別a、b、c符號,如交點(diǎn)都在左半軸上,則有知 a、c異號且a、b同號.
例1二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象如圖1所示,則下列關(guān)系式成立的是().
B.a+b+c<0
C.a2>ab-ac
D.4ac-b2>0
圖1
解析:①由拋物線開口向下,故a<0;對稱軸在y軸右側(cè),x=與a異號,故b>0;拋物線與y軸相交于正半軸,故c>0.
因此abc<0,故A錯.
②當(dāng)x=1時,y=a+b+c,而拋物線上x=1的對應(yīng)點(diǎn)在x軸上方,即y>0,因此a+b+c>0,故B錯.
③當(dāng)x=-1時,y=a-b+c,由圖象可知,x=-1時,y<0,即ab+c<0,得a<b-c,
驅(qū)動模塊設(shè)計以直流電機(jī)和舵機(jī)為主,直流電機(jī)控制容易,舵機(jī)容易提供更大的扭力。相對于不同的障礙應(yīng)選不同的電機(jī)和裝配方式。通常情況下,六電機(jī)、[1]六輪式機(jī)器人具有越障能力高、承載能力強(qiáng)、結(jié)構(gòu)和控制簡單、轉(zhuǎn)向靈活、工作效率高等優(yōu)勢。
又a<0,所以a2>ab-ac,
故C正確.
④由拋物線與x軸有兩個交點(diǎn),b2-4ac>0,
所以4ac-b2<0,故D錯,
故關(guān)系式成立的是C.
例2已知二次函數(shù)y=ax2+ bx+c(a≠0)圖象如圖2所示,則下列5個結(jié)論:
①abc>0;②b<a+c;③4a+ 2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b>m(am+b)(m≠1).
其中正確的結(jié)論有().
A.2個B.3個
C.4個D.5個
圖2
解析:①同例1①,故①錯;
②同例1③,b>a+c,故②錯.
③當(dāng)x=2時,y=4a+2b+c,
由圖象可知,x=2時,y>0,
∴4a+2b+c>0,故③對.
∴b=-2a.
由②知a+c<b,
∴2a+2c<2b,∴2c<3b,
故④對.
⑤由拋物線對稱軸為x=1,y最大值為a+b+c;當(dāng)x=m(m≠1)時,y=am2+bm+c,
∴a+b+c>am2+bm+c,
即a+b>m(am+b)(m≠1),
故⑤對.
綜上,正確的結(jié)論有③④⑤共3個,故選B.
例3圖3是二次函數(shù)y=ax2+ bx+c圖象的一部分,其對稱軸為x=-1,且過點(diǎn)(-3,0).
下列說法:
①abc<0;②2a-b=0;③4a+ 2b+c<0;④若是拋物線上兩點(diǎn),則y1>y2.
其中說法正確的是().
圖3
A.①②B.②③
C.①②④D.②③④
解析:①拋物線開口向上,故a>0;對稱軸在y軸左側(cè),a、b同號,故b>0;圖象與y軸相交于負(fù)半軸,故c<0.∴abc<0,故①對.
③當(dāng)x=2時,y=4a+2b+c,由圖象可知,x=2與x=-4所對應(yīng)的點(diǎn)為對稱點(diǎn),y>0,
∴4a+2b+c>0,故③錯誤.
綜上,結(jié)論①②④正確,故選C.