嚴(yán)李健，龐珊珊，牟金平

(臺(tái)州學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江臨海317000)

YAN Lijian，PANG Shanshan，MOU Jinping

(School of Mathematics and Information Engineering，Taizhou University，Linhai 317000)

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一類特殊球面螺旋線的高階求導(dǎo)

嚴(yán)李健，龐珊珊，牟金平

(臺(tái)州學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江臨海317000)

根據(jù)微分幾何基本理論，定義一類特殊的球面螺旋線。利用三角函數(shù)系，給出三角函數(shù)列中任何兩個(gè)不同函數(shù)乘積的高階求導(dǎo)公式，并對(duì)其高階導(dǎo)數(shù)的求解及其性質(zhì)進(jìn)行研究，從而得出高階導(dǎo)數(shù)一般性的結(jié)論及公式表達(dá)。

球面螺旋線；三角函數(shù)列；高階求導(dǎo)

YAN Lijian，PANG Shanshan，MOU Jinping

(School of Mathematics and Information Engineering，Taizhou University，Linhai 317000)

球面螺旋線是常見(jiàn)的空間曲線，如動(dòng)點(diǎn)沿球面的子午線作等速圓弧運(yùn)動(dòng)，同時(shí)該子午線繞其軸線作等角速回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是球面螺旋線。其在機(jī)械工程、電子科學(xué)與技術(shù)和化學(xué)工程與技術(shù)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。馮凱、顧立志在《球面螺旋曲面在加緊機(jī)構(gòu)中的應(yīng)用》[1]一文中根據(jù)球面螺旋曲面的成形與運(yùn)動(dòng)特性,運(yùn)用微分幾何相關(guān)理論，設(shè)計(jì)了一種運(yùn)用球面螺旋面副的夾緊機(jī)構(gòu)；王汝林在《球面螺旋線盤(pán)梯的設(shè)計(jì)計(jì)算》[2]中提出球面螺旋線盤(pán)梯的優(yōu)勢(shì)，并探討了如何在球面上確定螺旋線的位置和計(jì)算球面螺旋線長(zhǎng)度等相關(guān)問(wèn)題。

目前，人們對(duì)一般螺旋線的研究已經(jīng)相當(dāng)成熟，然而對(duì)球面螺旋線的研究卻是少之又少。特別地，對(duì)球面螺旋線的高階導(dǎo)數(shù)求法的研究還不成熟,這給球面螺旋線的深入探討帶來(lái)很大的不便。為此，本文根據(jù)微分幾何基本理論，定義一類特殊的球面螺旋線，并結(jié)合三角函數(shù)列對(duì)其高階導(dǎo)數(shù)的求解方法及性質(zhì)進(jìn)行研究。

1　預(yù)備知識(shí)

三角函數(shù)列(也稱三角函數(shù)系)：1，cosx，sinx，cos 2x，sin 2x，…，cosnx，sinnx，…中，任何兩個(gè)不同函數(shù)的乘積可表示為函數(shù)

H(x)=k1sinnxsinmx+k2sinnxcosmx+k3cosnxsinmx+k4cosnxcosmx

記H(x)的系數(shù)為K=[k1,k2,k3,k4]T。

容易發(fā)現(xiàn)，對(duì)H(x)多次求導(dǎo)形式不變，即

(sinnxsinmx)′=ncosnxsinmx+msinnxcosmx,m1=[0,m,n,0]T

(sinnxcosmx)′=ncosnxcosmx-msinnxsinmx,m2=[-m,0,0,n]T

(cosnxsinmx)′=-nsinnxsinmx+mcosnxcosmx,m3=[-n,0,0,m]T

(cosnxcosmx)′=-nsinnxcosmx-mcosnxsinmx,m4=[0,-n,-m,0]T

(1)

(2)

對(duì)式(2)進(jìn)行t次迭代[3]，得K(t)=M(t)·K(0)，其中

矩陣M是反對(duì)稱矩陣[4]，求矩陣M的t次冪，得：

當(dāng)t為偶數(shù)時(shí),

(3)

當(dāng)t為奇數(shù)時(shí),

(4)

2　問(wèn)題解決

球面的參數(shù)方程[5]為

式中R為球面半徑。令φ=x,θ=2px(p為螺旋圈數(shù))，得到球面螺旋線的參數(shù)方程：

(5)

對(duì)式(5)高階求導(dǎo)，得：

當(dāng)t為偶數(shù)時(shí),

當(dāng)t為奇數(shù)時(shí),

當(dāng)t為偶數(shù)時(shí),

當(dāng)t為奇數(shù)時(shí),

式中，P=[sinnxsinmx,sinnxcosmx,cosnxsinmx,cosnxcosmx]

同理，當(dāng)n=0,m=1時(shí)，令

K(0)=[000-R]T

3　結(jié)語(yǔ)

本文討論了一類特殊球面螺旋線的高階導(dǎo)數(shù)求法,得出三角函數(shù)列中任何兩個(gè)不同函數(shù)乘積的高階求導(dǎo)公式和反對(duì)稱矩陣的高次冪方程等結(jié)論。此外，還得到兩個(gè)結(jié)論：反對(duì)稱矩陣高階求冪若是奇數(shù)次，則該矩陣仍是反對(duì)稱矩陣；若是偶數(shù)次，則該矩陣是對(duì)稱矩陣。本文研究告一段落，但球面螺旋線還有更多的奧秘值得我們?nèi)ヌ剿鳌?/p>

[1]馮凱,顧立志.球面螺旋曲面在加緊機(jī)構(gòu)中的應(yīng)用[J].華僑大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016(4):416-421.

[2]王汝林.球面螺旋線盤(pán)梯的設(shè)計(jì)計(jì)算[J].齊魯石油化工,1986(3):56-59.

[3]宋彩芹.矩陣方程的迭代算法與四元數(shù)矩陣方程的解[D].上海：華東師范大學(xué),2012.

[4]張海山.反對(duì)稱矩陣的若干性質(zhì)[J].甘肅教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2003(3):14-17.

[5]梅向明,黃敬之.微分幾何[M].4版.北京:高等教育出版社,2008.

責(zé)任編輯：陳亮

A New Method for Higher Order Derivative of Special Spherical Helix

A special spherical helix was defined by applying the relevant theory of differential geometry.According to trigonometric function system,the higher order derivative formula for product of any two different functions was proposed.The solution and properties of the higher order derivative were studied.General conclusion and formula expression of the higher order derivative were drawn.

spherical helix;trigonometric function system;higher order derivative

10.3969/j.issn.1671-0436.2016.04.011

2016- 07-29

嚴(yán)李健(1995—)，男，本科生。

O13

A

1671- 0436(2016)04- 0047- 03