中國科技大學(xué)附屬中學(xué)（230051）　黃嚴生

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基于教材 談高考試題—對2016年高考新課標(biāo)I卷解析幾何題的剖析與思考

中國科技大學(xué)附屬中學(xué)（230051）黃嚴生

近幾年高考新課標(biāo)I理科數(shù)學(xué)試卷，解析幾何是解答題的必考內(nèi)容，一般試題的難度較大，位置是第20題.今年高考新課標(biāo)I理科數(shù)學(xué)試卷第20題的解析幾何題，源于課本，高于課本，凸顯創(chuàng)新.突出考查了解析幾何的本質(zhì)，考查考生運算求解、分析問題、以及綜合運用所學(xué)知識解決問題能力，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.筆者將從以下幾個方面進行分析.

一、試題解答與剖析

題目 設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1,0）且與x軸不重合，交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.

（I）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

（II）設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

圖1　

圖2　

至于計算多邊形的面積問題，一般情況下，沒有直接的計算公式，通常將多邊形進行割補，轉(zhuǎn)化為求三角形面積問題.本題四邊形是對角線互相垂直的四邊形，其面積等于對角線長度之積的一半.只要知道這個公式，其計算方法和套路都是考生熟悉的.用一個參數(shù)表示四邊形的面積，然后利用函數(shù)思想求四邊形面積取值范圍.如果設(shè)直線l的點斜式方程，就必須討論直線l斜率不存在情形，此情形正是四邊形面積取得最小值情況.

在試題設(shè)問上，命題專家充分考慮到考生的平面幾何基礎(chǔ)問題，給考生搭建臺階，逐步遞進，首先證明|EB|+|EA|為定值，然后寫出點E的軌跡方程，目的是啟發(fā)引導(dǎo)考生思維方向.在某種程度上，有暗示考生利用定義法求軌跡方程，有利于考生順利解答.若將試題的設(shè)問改為“求點E的軌跡方程”，試題難度會陡然上升，考生在解答時，首先必須對曲線的模型進行猜測，然后再選定解決問題的方法，利用定義法還是其它方法，對考生的要求就大大提高.

數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門學(xué)科，坐標(biāo)法研究幾何問題是解析幾何的本質(zhì)，其實質(zhì)就是將問題中的幾何要素用坐標(biāo)或方程表示，利用坐標(biāo)運算和方程思想，來研究幾何圖形的性質(zhì).雖然如此，但仍然注意圖形的幾何性質(zhì).新課標(biāo)人教版教材中在旁白欄目明確指出，“適當(dāng)利用圖形的幾何性質(zhì)，有助于簡化計算”.這種以“形”助“算”，以“數(shù)”解“形”，數(shù)形相依，相得益彰正是解析幾何精髓所在.

二、試題溯源與拓展

1.教材習(xí)題與考題比較

本題源于人教版教材選修2-1中2.2節(jié)中習(xí)題.

如圖3，圓O的半徑為定長r，A是圓內(nèi)一點（異于點O），P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當(dāng)點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

教材習(xí)題利用線段的垂直平分線的性質(zhì)構(gòu)造等腰△QAP，且|QA|=|QP|，從而得到|QO|+|QA|=|OP|= r，根據(jù)橢圓的定義可知點Q軌跡是以點O、A為焦點，長軸長為r的橢圓.

圖3　

圖4　

如圖1，今年高考新課標(biāo)I卷第20題是通過平行線的性質(zhì)和圓的性質(zhì)構(gòu)造等腰△EBD，且|EB|=|ED|，從而得到|EB|+|EA|=|AD|.根據(jù)圓的方程和點B的坐標(biāo)，可以進一步求點E的軌跡方程.

習(xí)題深究 如圖4，對習(xí)題稍作加工改造，延長線段PA交圓O于點B，連接OB，由平面幾何知識，可得∠P=∠B=∠QAP.所以QA//OB.線段AP的垂直平分線與半徑OP交點，就是過點A作OB的平行線與半徑OP的交點.從而發(fā)現(xiàn)，2016年高考新課I卷解答第20題是將課本的習(xí)題一般情形進行具體化而形成.

2.類比聯(lián)想，從橢圓拓展到雙曲線

我們可以將考題橢圓問題類比推廣到雙曲線中，可以得到類似的命題：

拓展1設(shè)圓x2+y2+ 8x=0的圓心為A，直線l過點B（4,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AD的平行線交直線AC于點E.證明|EB|-|EA|為定值，并寫出點E的軌跡方程（如圖5）.

圖5　

拓展2設(shè)圓x2+y2+ 8x=0的圓心為A，直線l過點B（4,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交直線AD于點E.證明|EA|-|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程（如圖6）.

圖6　

人教版教材選修2-1中2.3節(jié)有類似于2.2節(jié)的習(xí)題：如圖7，圓O的半徑為定長r，A是圓O外一點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l和半徑OP所在直線相交于點Q，當(dāng)點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？拓展1與2就是該題習(xí)題的變式.

圖7　

三、幾點思考

1.注重知識間內(nèi)在的聯(lián)系，數(shù)學(xué)各知識間并不是完全獨立的，而是有著天然的聯(lián)系，這些聯(lián)系也是高考試題設(shè)計的突破口.如函數(shù)與不等式、函數(shù)與方程、數(shù)列與函數(shù)、解析幾何與函數(shù)、解析幾何與平面幾何等等.對于一道數(shù)學(xué)題來說，與之聯(lián)系問題有很多，往往這種聯(lián)系沒有被發(fā)現(xiàn)，尤其是一些數(shù)學(xué)素養(yǎng)不高的學(xué)生，是不能發(fā)現(xiàn)這種聯(lián)系的.如2016年高考新課標(biāo)I卷第20題，將平面幾何中圓知識、平行線知識、四邊形面積公式、函數(shù)知識與解析幾何知識有機聯(lián)系在一起，注重考查考生綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題、邏輯推理和運算求解能力.因此，在日常教學(xué)中，要積極引導(dǎo)學(xué)生通過問題解決梳理知識間的聯(lián)系，做到觸類旁通，舉一反三.正如數(shù)學(xué)家笛卡爾所說：“我們解決的每個問題都將成為一個范例用于解決其他問題.”

2.重視教材的藍本作用，教材是實現(xiàn)課程標(biāo)準的載體，是課堂教學(xué)的素材.教材是專家精心打造的，凝聚專家的智慧.特別是教材中例題和習(xí)題，是編寫專家遴選的.因此，教師在日常教學(xué)中，應(yīng)重視教材作用和地位，發(fā)揮教材的教學(xué)功能，能科學(xué)地開發(fā)教材，創(chuàng)造性地使用教材，善于對教材例題和習(xí)題，尤其一些典型例題和習(xí)題，進行重組變式和拓展.并讓學(xué)生自己經(jīng)歷和感受改造教材中習(xí)題、提出新問題、解決新問題歷程，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識.愛因斯坦就指出：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決一個問題也許只是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒炆系募记蓡栴}.而提出新的問題、新的可能性，從新的角度看舊問題，卻需要創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正的進步.”

3.強化表征能力培養(yǎng)，著名心理學(xué)家西蒙指出：“表征是問題解決的一個中心環(huán)節(jié)，它說明問題在頭腦里是如何呈現(xiàn)的，如何表示出來的”.數(shù)學(xué)問題通常用符號語言、文字語言、圖形與圖表等表征出來的.對不同形式的表征，能有效轉(zhuǎn)化，將抽象的問題具體化，復(fù)雜問題簡單化，是解決數(shù)學(xué)問題關(guān)鍵.前面分析的高考試題，就充分體現(xiàn)一點，如何從題目中幾何圖形表征，提取信息，轉(zhuǎn)化表征形式，發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)，確立解題策略.因此，教師在教學(xué)中應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力，深化數(shù)學(xué)問題表征能力的培養(yǎng).

總之，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不能急功近利，不能通過刷題、題海戰(zhàn)術(shù)，來提高學(xué)生的解題能力.應(yīng)通過夯實基礎(chǔ)，注重聯(lián)系，強化反思，培養(yǎng)能力，突出創(chuàng)新，不斷積淀，來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

［1］人民教育出版社.普通高中課程標(biāo)準實驗教科書數(shù)學(xué)［M］.人民教育出版社，2014.

［2］黃嚴生.抓住聯(lián)系 突破思維障礙 實現(xiàn)有效轉(zhuǎn)化［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2015（3）：16-19.

［3］李艷華.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的實踐［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（5上）：75-76.

［4］陳昂 任子朝.高考數(shù)學(xué)試題情境創(chuàng)新研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（6上）：2-4.