廣州市執(zhí)信中學(xué)（510080） 劉詩順

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院（510631）　蘇洪雨

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2016年全國高考乙卷（文理科）第19題分析及啟示

廣州市執(zhí)信中學(xué)（510080） 劉詩順

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院（510631）蘇洪雨

一、題目

（理科）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

圖1　

以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).

（I）求X的分布列；

（II）若要求P（X≤n）≥0.5，確定n的最小值；

（III）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個？

（文科）某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

圖2　

記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元），n表示購機的同時購買的易損零件數(shù).

（I）若n=19，求y與x的函數(shù)解析式；

（II）若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求N的最小值；

（III）假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件，分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個還是20個易損零件？

二、解答賞析

理科（1）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.X的可能取值為：16,17,18,19,20,21,22，從而

P（X=16）=0.2×0.2=0.04；

P（X=17）=2×0.2×0.4=0.16；

P（X=18）=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24；

P（X=19）=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24；

P（X=20）=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2；

P（X=21）=2×0.2×0.2=0.08；

P（X=22）=0.2×0.2=0.04.

所以X的分布列為

X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04

......................................................5分

（2）由（1）知P（X≤18）=0.04+0.16+0.24=0.44，P（X≤19）=0.04+0.16+0.24+0.24=0.68，故n的最小值為19...............................................8分

（3）記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元）.當(dāng)n=19時，

可知當(dāng)n=19時所需費用的期望值小于n=20時所需費用的期望值，故應(yīng)選n=19..........................12分

評析 在第（1）問中，柱狀圖反映的是100臺機器三年內(nèi)更換的易損零件數(shù)的頻率，以此頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，從而才能得到一臺機器在三年內(nèi)更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率，有些同學(xué)不能讀懂題意而導(dǎo)致錯誤.2臺機器三年內(nèi)更換的易損零件數(shù)X的情況多達8種，平常練習(xí)中X的取值一般只有4-5種，故題目的難度一下子增大.

在第（2）問中，式子P（X≤n）≥0.5中兩個字母，兩個不等號，平常這種題訓(xùn)練較少，理解起來有一定的困難，就算理解了，但又不知道怎樣用數(shù)據(jù)來說理.

在第（3）問中，題目要求是以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，而不是以易損零件數(shù)的個數(shù)X的期望值為依據(jù)，有些同學(xué)習(xí)慣性的直接求X的數(shù)學(xué)期望值而造成錯誤.另外兩種解法供參考.

第三問方法一購買零件所需費用含兩部分，一部分為購買機器時購買零件的費用，另一部分為備件不足時額外購買的費用.

當(dāng)n=19時，所需費用的期望為：

當(dāng)n=20時，所需費用的期望為：

所以應(yīng)選用n=19.

第三問方法二購買零件所需費用包括兩部分，一部分為購買機器時購買零件的費用，另一部分為備件不足時額外購買的費用.

當(dāng)n=19時，設(shè)所需費用為Y1，則隨機變量Y1的分布列為

Y13800 5300 4300 4800 P 0.68 0.20 0.08 0.04

所以Y1的數(shù)學(xué)期望為：

當(dāng)n=20時，設(shè)所需費用為Y2，則隨機變量Y2的分布列為

Y24000 4500 5000 P 0.88 0.08 0.04

所以Y2的數(shù)學(xué)期望為：

因為EY1＜EY2，所以應(yīng)選用n=19.

文科（1）當(dāng)x≤19時，y=3800.當(dāng)x＞ 19時，y=3800+500（x-19）=500x-5700.所以y與x的函數(shù)解析式為：

......................................................5分

（2）由柱狀圖知，需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46，不大于19的頻率為0.7，故n的最小值為19......8分

（3）若每臺機器在購機同時都購買19個易損零件，則這100臺機器中有70臺在購買易損零件上的費用為3800，20臺的費用為4300，10臺的費用為4800，因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為：

若每臺機器在購機同時都購買20個易損零件，則這100臺機器中有90臺在購買易損零件上的費用為4000，10臺的費用為4500，因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為：

比較兩個平均數(shù)可知，購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個易損零件..............................................12分

評析 第（1）問，是一個分段函數(shù)，寫出該分段函數(shù)難度不大，但是要特別注意其定義域.第（2）問，首先是這句話“‘需更換的易損零件數(shù)不大于n’的頻率不小于0.5”，對一些“數(shù)學(xué)不太好，語文更糟糕”的考生來說，理解起來實屬不易.只要理解了這句話，解答還是很簡單的，給出下列幾種解法供參考.

方法一（頻率法）需更換的易損零件數(shù)不大于18的頻率為0.06+0.16+0.24=0.46，需更換的易損零件數(shù)不大于19的頻率為0.06+0.16+0.24+0.25=0.7，因為0.46＜0.5，0.7＞0.5，故應(yīng)取n=19.

方法二（頻數(shù)法）需更換的易損零件數(shù)不大于18的臺數(shù)為6+16+24=46，需更換的易損零件數(shù)不大于19的臺數(shù)為6+16+24+24=70，100×0.5=50（臺），46＜50，70＞50，故n的最小值為19.

方法三（頻率差數(shù)法）需更換的易損零件數(shù)不大于18的頻率為0.06+0.16+0.24=0.46，0.5-0.46=0.04，因為0.04＜0.24，故n的最小值為19.

方法四（頻數(shù)差數(shù)法）需更換的易損零件數(shù)不大于18的臺數(shù)為6+16+24=46，50-46=4，因為4≤24，故N的最小值為19.

第（3）問，題目要求是以100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)作為決策依據(jù).

三、答卷的主要錯誤分析

有關(guān)考試的主要錯誤及原因，請參見本期的另文：

劉秀湘，2016年高考數(shù)學(xué)廣東卷試題和答卷分析，中學(xué)數(shù)學(xué)研究［J］，2016，9（上半月刊）.

四、對2017年高考概率統(tǒng)計備考及中學(xué)教學(xué)的幾點啟示

針對2016年全國高考乙卷第19題出現(xiàn)的主要問題，對概率統(tǒng)計模塊的備考和教學(xué)提出以下建議：

首先：重視基本概念的教學(xué)，尤其是概念本質(zhì)的理解.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)強調(diào)對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心的概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步理解.由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點，注意體現(xiàn)基本概念的來龍去脈，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷具體實例抽象數(shù)學(xué)概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質(zhì).”數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的邏輯起點，是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，是學(xué)生進行數(shù)學(xué)思維的核心.而考卷上的概念一般都源自教材，在復(fù)習(xí)備考和教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生對教材中的基本概念、易錯易混淆概念進行辨析理解，充分挖掘概念的內(nèi)涵與外延.例如本題中的頻率與概率.頻率是實驗中某一事件發(fā)生的次數(shù)與實驗總次數(shù)之比.頻率會隨著實驗條件的改變而變化.概率是頻率的穩(wěn)定值，是客觀存在的一個數(shù)，是對總體而言的.再例如柱狀圖的概念，“排列數(shù)”與“組合數(shù)”的理解和區(qū)分等.

其次：重視思想方法的教學(xué)，尤其是核心素養(yǎng)的培養(yǎng).新的一輪課程改革即將開始，而這一輪課改將以核心素養(yǎng)立意，數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)有：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析.今年的數(shù)學(xué)試卷體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在解決實際問題的應(yīng)用價值，體現(xiàn)了課程改革中加強應(yīng)用性、實踐性的特點.尤其是本題，題目長，難度大，以能力立意，考查數(shù)學(xué)的基本思想，在新課程理念上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).從本題解答的情況來看，考生“懼于抽象推理，煩于建模應(yīng)用”，本質(zhì)上是數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)化不夠，數(shù)學(xué)抽象能力不足，數(shù)學(xué)建模意識不強.在備考和教學(xué)中應(yīng)注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透，注重核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，尤其是數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng).例如：二項分布與超幾何分布是隨機現(xiàn)象中兩種最基本的離散型隨機變量服從的分布，是高考的常考考點.在教學(xué)中，應(yīng)該通過具體的例題，讓學(xué)生真切體會二項分布與超幾何分布的異同點，培養(yǎng)學(xué)生抽象數(shù)學(xué)問題和準(zhǔn)確識別概率分布模型的能力.

第三：重視語言表述的規(guī)范性，尤其是解題格式的訓(xùn)練.概率統(tǒng)計題一般是一個實際應(yīng)用性質(zhì)的題，解答通常需要先將實際問題抽象簡化為數(shù)學(xué)模型，然后對數(shù)學(xué)模型進行分析求解，得到數(shù)學(xué)結(jié)論，再將數(shù)學(xué)結(jié)論進行驗證并回答實際問題.中間穿插著自然語言與數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化互譯，要注意數(shù)學(xué)語言中的“文字、符號、圖形”之間的轉(zhuǎn)換，做到文字要準(zhǔn)確，符號要規(guī)范，邏輯要清晰.教師在平時的教學(xué)中板書要規(guī)范，表述要嚴(yán)謹(jǐn).例如今年理科第19題在求離散型隨機變量的分布列時，先要寫出隨機變量的所有可能取值，再求出隨機變量的每一種取值對應(yīng)的概率，并且要列式寫出過程，最后列表寫出隨機變量X的分布列，并檢驗各列的概率之和是否等于1.平常如果按照以上規(guī)范步驟作答，將書寫要點寫出來，并輔以相應(yīng)的文字說明，那么將會有效提高概率統(tǒng)計題的得分率.

第四：重視運算能力的培養(yǎng)，尤其是良好習(xí)慣的養(yǎng)成.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》明確指出：要提高學(xué)生的運算求解的能力.加強運算能力培養(yǎng)，這是一個整體的要求.其實不僅僅是概率統(tǒng)計模塊，其他模塊也有因計算錯誤失分的現(xiàn)象.因計算錯誤失分看似偶然，其實是平時的問題.在計算時候盡可能用筆算.某些考生口算不熟練，還要“耍小聰明”而造成計算失誤.良好的計算習(xí)慣包括認(rèn)真審題的習(xí)慣、認(rèn)真細(xì)致計算的習(xí)慣、驗算的習(xí)慣、良好書寫的習(xí)慣等.養(yǎng)成良好的計算習(xí)慣，功夫要下在平時，平常的教學(xué)中要對學(xué)生提出要求，使他們明白應(yīng)該怎么做，對做得好的要及時表揚，不好的要及時指出更正，同時教師在平常的教學(xué)中要以身作則起好示范作用.