深圳市龍華新區(qū)教科研中心（518109）　殷木森

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全國新課標(biāo)I卷與廣東卷數(shù)學(xué)試題對比分析

深圳市龍華新區(qū)教科研中心（518109）殷木森

“分久必合，合久必分”，高考命題似乎也離不開這條定律.2016年，廣東結(jié)束了12年高考自主命題，回歸全國新課標(biāo)I卷的懷抱.因為省考試院組織的“2016年廣東省適應(yīng)高考全國卷考試”的數(shù)學(xué)試題偏易，另外首次回復(fù)使用全國卷的省份增多，以致很多專家預(yù)測2016年全國卷的難度較往年會有所下降，但真實的情況是國家考試中心似乎有點“不解風(fēng)情”，或者“不近人情”，難度反而增大了.因此，教師一定要很好地領(lǐng)悟全國卷與廣東卷的試題差別，要轉(zhuǎn)變備考策略，否則吃虧的終究會是我們的學(xué)生.本文對近幾年的全國I卷與廣東卷進(jìn)行了深入的對比分析，希望能幫助大家更好地備戰(zhàn)全國卷高考.

一、試題結(jié)構(gòu)對比

1.1各種題型數(shù)量、分值分布如下表

試卷類型選擇題填空題解答題題量總分題量總分題量總分全國I卷（文）12 60 4 20必5+3選1 70全國I卷（理）70 12 20 4 60必5+3選1廣東卷（文）必3+2選1 10 50 20 6 80廣東卷（理）8 40必5+2選1 30 6 80

由上表可知，全國I卷文理的題量與分值分布是一樣的，而廣東卷文理是有差別的，總題量全國I卷比廣東卷多出3題，另外，全國I卷選填題是80分，比廣東卷多了10分.

1.2選做題的題型及分值不同

廣東卷（文、理）的選做題是2選1的填空題，放在14、15題，滿分5分.考生需從“選修4-1：幾何證明選講”與“選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程”中任選1題作答，其難度只相當(dāng)于全國I卷第1問的難度，文科題比理科題還要更簡單一些.

1.3解答題的順序不同

廣東卷（文、理）的6個解答題的順序基本上是這樣的：三角函數(shù)—概率與統(tǒng)計—立體幾何—數(shù)列—解析幾何—函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，只是2015年廣東（理）有所不同，“數(shù)列”與“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”的調(diào)換位置.近五年全國I卷（文、理）情況如下表：

年份類別第17題第18題第19題第20題第21題選做題2012年文科3選1解三角形立體幾何函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解析幾何概率理科解三角形概率解析幾何立體幾何函數(shù)與導(dǎo)數(shù)3選1數(shù)列文科2013年統(tǒng)計立體幾何函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解析幾何3選1理科解三角形立體幾何概率解析幾何函數(shù)與導(dǎo)數(shù)3選1 2014年文科數(shù)列概率與統(tǒng)計立體幾何解析幾何函數(shù)與導(dǎo)數(shù)3選1理科數(shù)列概率與統(tǒng)計立體幾何解析幾何函數(shù)與導(dǎo)數(shù)3選1 2015年文科立體幾何解三角形回歸方程解析幾何函數(shù)與導(dǎo)數(shù)3選1理科數(shù)列立體幾何回歸方程解析幾何函數(shù)與導(dǎo)數(shù)3選1文科數(shù)列2016年統(tǒng)計概率立體幾何解析幾何函數(shù)與導(dǎo)數(shù)3選1理科解三角形立體幾何統(tǒng)計概率解析幾何函數(shù)與導(dǎo)數(shù)3選1

從上表可以看出，“概率（或統(tǒng)計或兩者結(jié)合）、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”這四個知識板塊是全國I卷的必考內(nèi)容，“數(shù)列”與“解三角形”兩個知識板塊每年選一個進(jìn)行考查，作為第一大題，文科是2012年、2015年考查“解三角形”，另外三年考查“數(shù)列”，而理科是2014年、2015年考查“數(shù)列”，另外三年考查“解三角形”，廣東卷中的“純?nèi)呛瘮?shù)題”，近五年全國I卷都沒有出現(xiàn)過.

二、知識板塊對比

全國只有一個考試大綱，即《×年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文科或理科）考試大綱》（簡稱“考試大綱”），但實行自主命題的省份根據(jù)自身的需要，依據(jù)考試大綱制定了自己的考試說明，如《×年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）考試大綱的說明－數(shù)學(xué)（文科或理科）》，“考試說明”才是各省份命題的依據(jù)，也是考生復(fù)習(xí)的依據(jù).

可見，全國I卷是依據(jù)“考試大綱”命制的，而廣東卷是依據(jù)“廣東考試說明”命制的，它們對知識的要求上存在差異就自然很正常，下面筆者從七大知識板塊進(jìn)行對比分析.

2.1三角函數(shù)與解三角形

全國I卷常在小題（指選擇填空題，下同）考查三角函數(shù)的相關(guān)知識，而廣東卷卻常在大題（指解答題，下同）中考查，如：

分析以上兩題可以看出，全國I卷中的三角函數(shù)題比廣東卷要難，位于第6-12題之間，如例1，要通過切化弦變成

交叉相乘整理后得到

這是相當(dāng)不容易的，然后再由

“解三角形”在全國I卷中每年都會出現(xiàn)，但是廣東卷只是偶爾在小題中出現(xiàn)過，不是?？键c，如：

例3（2015年全國I卷理科第16題）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75?，BC=2，則AB的取值范圍是___.

例5（2016年全國I卷理科第17題）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別別為a,b,c，已知2cosC（acosB+ bcosA）=c.

（I）求C；

分析廣東卷的知識點比較單一，而全國I卷則豐富得多，要求考生熟練運用數(shù)形結(jié)合法，知識點涉及正余弦定理、邊角互化及面積公式等，綜合性較強.

2.2統(tǒng)計與概率

分文、理科進(jìn)行說明，首先說文科，兩卷都是一大一小題，都很重視統(tǒng)計及統(tǒng)計案例部分的考查，全國I卷甚至在大題中用來考查統(tǒng)計知識，而只在小題中考查古典概型，如：

例6（2015年全國I卷文科第4題）如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1，2，3，4，5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為（）.

例7（2015年全國I卷文科第19題）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的宣傳費xi和年銷售量yi（i=1,2,···,8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值（略）.

（II）根據(jù)（1?）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（III）已知這種產(chǎn)品的年利潤 z與 x，y的關(guān)系為z=0.2y-x，根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問題：

（i）當(dāng)年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值時多少？

（ii）當(dāng)年宣傳費x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？

分析 從2015年全國I卷的這兩道題來看，難度確實要比廣東卷大，例7中的非線性回歸方程通過換元轉(zhuǎn)化成線性的方法，廣東卷從不作要求，回歸方程也大多在小題中出現(xiàn).

再看理科，2012年、2013年與廣東卷的考法類似，2014年考查了簡單正態(tài)分布，2015文理同題，2016文理姐妹題，理科考查了獨立事件的概率，體現(xiàn)了通過數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模的方法，解決生活實際問題的思想.

另外，理科小題中常規(guī)考查排列組合與二項式定理，屬容易題，如：

2.3立體幾何

分小題與大題進(jìn)行說明，小題中，廣東卷2012年、2013年考查了簡單的三視圖，2014年、2015年轉(zhuǎn)而考查了線面位置關(guān)系，但全國I卷中，三視圖每年必考，2012年與2016年屬中等難度，但2013-2015年都把它放在第11題，難度較大，猶以2015年難度最大；另外，廣東卷基本不考查球的相關(guān)知識，但全國I卷?？?，近五年中只有2014年沒有涉及，大多跟球的內(nèi)接錐體或柱體，球心到截面圓的距離有關(guān)，要求球的半徑、表面積或體積等，需要考生具備一定的空間想象能力與運算求解能力，如：

例9（2015年全國I卷文理科第11題）圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為）組成一個幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為16+20π，則r=（）.

圖1　

A.1B.2C.4D.8

例10（2013年全國I卷文科第15題）已知H是球O的直徑AB上一點，AH∶HB=1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為____.

分析 例9只給出主視圖與俯視圖，不同于廣東卷的考法，難度更大，例10沒有給出圖形，完全需要考生先把文字語言轉(zhuǎn)化成圖形語言，難度也不小.

大題也有不同，無論文理，全國I卷通常設(shè)置兩個小問，第（1）問證明線線垂直、線面垂直或面面垂直，通常不證明平行，重點考查推理論證能力；第（2）問則跟計算有關(guān)，文科要求點到面的距離、錐體或柱體的體積、表面積等，理科則要求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等，重點考查考生的運算求解能力.廣東卷通常會設(shè)置3問.

例11（2016年全國I卷文科第18題）如圖，在已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為E，連接PE并延長交AB于點G.

圖2　

（I）證明G是AB的中點；

（II）在答題卡第（18）題圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積.

分析 廣東考生習(xí)慣了在解答題第2大題“撈分”，但是題干中出現(xiàn)的“正投影”讓很多考生不知所云，第2問竟還要畫圖，設(shè)問相當(dāng)新穎，特別是緊接著第19題第1問理解起來相當(dāng)費勁，估計不少考生已經(jīng)被嚇暈了，因為根本“撈”不到分.

2.4數(shù)列

廣東卷的數(shù)列小題常是送分題，而大題則是壓軸出現(xiàn)，有一定的難度，并常與不等式結(jié)合在一起，考查考生的運算求解與推理論證能力，但在全國I卷中，前面已提到，大題與“解三角形”交替出現(xiàn)，若沒有大題，則常會有兩道小題，如：

例12（2012年全國I卷理科第5題）已知｛an｝為等比數(shù)列，a4+a7=2，a5a6=-8，則a1+a10=（）.

A.7B.5C.-5D.-7

例13（2012年全國I卷理科第16題）數(shù)列｛an｝滿足an+1+（-1）nan=2n-1，則｛an｝的前60項和為____.

分析 例11屬于送分題，考查等比數(shù)列“下標(biāo)和相等則積相等”的性質(zhì)，與廣東卷的考查類似，但例12絕不是善茬，放在壓軸位置，需要考生具備相當(dāng)強的推理運算能力.

若有大題，則通?？疾榈炔?、等比數(shù)列的通項公式與求和運算等，如：

例14（2014年全國I卷理科第17題）已知｛an｝是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根.

（I）求｛an｝的通項公式；

分析 作為解答題第一大題，沒有任何障礙，第1問考查等比數(shù)列的通項公式，第2問考查考生運用錯位相減法求和.

2.5解析幾何

解析幾何部分，廣東卷常是一小一大題，小題是大題的補充，如大題考查了橢圓與拋物線等，則小題就考查直線與圓等相關(guān)知識，“淡化運算技巧，體現(xiàn)圖形探究”是廣東解析幾何大題追求的目標(biāo)，文理基本同題.縱觀全國I卷，每年會有二小一大題，基本能覆蓋直線與圓、橢圓、雙曲線和拋物線等，文理小題基本相同，近兩年大題完全不同.文科大題多數(shù)涉及直線、圓、拋物線等知識的綜合居多，但理科大題只有2013年考查直線與圓，其余四年則涉及圓、拋物線與橢圓的綜合居多，體現(xiàn)的是“用代數(shù)的方法解決幾何問題”的方法，并沒有刻意追求結(jié)論的美妙，如：

例15（2015年全國I卷文科第20題）已知過點A（1,0）且斜率為k的直線l與圓C∶（x-2）2+（y-3）2=1交于M，N兩點.

（I）求k的取值范圍；

例16（2016年全國I卷理科第20題）設(shè)圓x2+y2+ 2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.

（I）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

（II）設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

2.6函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

“求定義域、判斷函數(shù)的性質(zhì)、用導(dǎo)數(shù)法求切線或函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”是廣東卷小題中常出現(xiàn)的題型，知識點較單一，但全國I卷的小題絕非如此輕易，如：

例17（2013年全國I卷文科第12題）已知函數(shù)

若|f（x）|≥ax,則a的取值范圍是（）.

A.（-∞,0］B.（-∞,1］

C.［-2,1］D.［-2,0］

例18（2015年全國I卷理科第13題）若函數(shù)

為偶函數(shù)，則a=____.

但是，全國I卷的大題總體上趨于穩(wěn)定，比廣東卷要容易把握得多，全國I卷更重視導(dǎo)數(shù)的工具性作用，通過函數(shù)的核心問題，如切線、單調(diào)性、最值、零點等，充分考查考生對分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法的掌握情況，理科的難度比文科略高一些，如：

例19（2015年全國I卷文科第21題）設(shè)函數(shù)f（x）= e2x-alnx.

（I）討論f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的零點的個數(shù)；

例20（2016年全國I卷理科第21題）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.

（I）求a的取值范圍；

（II）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2＜2.

分析 例19說明全國I卷是要求文科生掌握復(fù)合函數(shù)y=e2x的求導(dǎo)，與廣東卷有區(qū)別，第1問求出了零點個數(shù)，即能粗略畫出函數(shù)f（x）的圖像，再來求解第2問，難度不大；例20題第1問拆成兩問即為文科題，第2問涉及極值點偏移問題，是近年高考的熱點問題，如2010年天津卷第20題，說明全國I卷并沒有刻意回避高考熱點，著重強調(diào)導(dǎo)數(shù)的工具性作用，考查分類討論、數(shù)形結(jié)合，以及函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)換等思想方法.

2.7其它必考知識點

除選做題及以上六大板塊，還有集合、復(fù)數(shù)、線性規(guī)劃、平面向量、算法等五個必考點，前三個考查的形式兩者都非常類似，屬于送分題，廣東卷的平面向量題極少涉及基向量的運算，但全國I卷時常涉及，如2014年文、理及2015年理科都有，全國I卷的算法題要比廣東卷內(nèi)涵要豐富一些，處于選擇題第5-10題左右，難度中等，文理同題.

三、試題特點對比

3.1試題難度有異

廣東卷經(jīng)歷了2011年的“慘痛”后，2012-2015年的難度基本處于穩(wěn)定，文、理的難度分別為0.5、0.6左右，使用全國卷后均分肯定會下降，筆者認(rèn)為主要原因有以下兩個：

（1）廣東卷的難、中、易比例約為1：3：6，容易題占的比例更高，且易題更易，簡單直接，多以考查識記為主，明顯“送分”；

（2）全國I卷沒有明確說明難度系數(shù)，中檔題偏多，每題也需要考查理解，在多個知識的交匯處進(jìn)行命題，“以能力立意”為主，雖然解析幾何與函數(shù)導(dǎo)數(shù)題不比廣東卷難，但整體上對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求更高.筆者認(rèn)為，與08、09年廣東卷有些類似.

3.2試題風(fēng)格迥異

（1）廣東卷梯度明顯，從易到難，難題以考查技能技巧為主，需要考生掌握一定的變形技巧，其實這對考生的要求更高，備考難度更大；但全國卷的學(xué)科味道更濃，坡度更平和，這也是很多人甚至認(rèn)為全國卷比廣東卷更容易的理由.

（2）廣東卷最后一道選擇題難度較大，即文科第10題、理科第8題，以“新定義”試題為載體，綜合考查考生分析問題與解決問題的能力，解答題中第20、21題多考查“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”、“數(shù)列與不等式”、“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合”，難度不小；而全國卷選填題至少有三題較難，即第11、12、16題，猶以16題為最難，涉及函數(shù)、數(shù)列、立何幾何、解析幾何、解三角形、三角函數(shù)等核心數(shù)學(xué)內(nèi)容，“三視圖、函數(shù)的最值與零點問題、解三角形問題”是選填題壓軸的重點，解答題中則把函數(shù)與導(dǎo)數(shù)作為解答題的壓軸重點，在第21題考查，但也常常出現(xiàn)第18、19題會有學(xué)生不易作答的情況出現(xiàn)，如2016年.

（3）“以知識為載體，側(cè)重考查能力”，是新課標(biāo)下所有高考試題都渴望做到的，但是，以哪些知識為載體？側(cè)重考查哪些能力？不同的高考試題會有所不同.

知識方面，全國I卷要求的深度會更深一些.這深刻地反映在“三角函數(shù)與解三角形、立體幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”上，前面已有贅述.

能力方面，全國I卷要求的廣度也會更廣一些，就拿2016年理科24道試題粗略來看，有8題需要考查考生的“空間想象能力”，有6題需要考查考生的“推理論證能力”，這是廣東卷不可能做到的.

四、復(fù)習(xí)策略對比

試卷變了，復(fù)習(xí)的策略是否需要改變？有人說，要以不變應(yīng)萬變，也有人說，原來那套行不通了，要徹底顛覆，筆者認(rèn)為，該保留的保留，該改的必須改.

4.1理解概念，夯實基礎(chǔ)

第一輪復(fù)習(xí)要扎實地打好基礎(chǔ)關(guān)，要創(chuàng)設(shè)教學(xué)環(huán)境讓學(xué)生理解和掌握知識的本源.首先，課堂上要避免就題講題，要以點帶面，理解題目所隱含的本質(zhì)；其次，課后要避免簡單重復(fù)地進(jìn)行訓(xùn)練，要學(xué)生學(xué)會歸納總結(jié)，不斷地進(jìn)行解題反思，建立“錯題本”；再次，要避免把“教輔當(dāng)教材”，備課時要做好“二度消化”，堅持有效教學(xué).

第二輪復(fù)習(xí)要做好專題突破的準(zhǔn)備，全國卷的備考不到最后一刻一切都還有可能.首先，要避免單純的“以考代練”、“以練代講”的模式，備課組成員要精誠合作，要根據(jù)學(xué)情，規(guī)劃好專題復(fù)習(xí)的時間與內(nèi)容；其次，全國卷命題靈活，命題范圍廣，不能簡單要求學(xué)生復(fù)習(xí)時只復(fù)習(xí)某一部分的內(nèi)容，而不復(fù)習(xí)某一部分內(nèi)容.

還要注意在復(fù)習(xí)中突出“通式通法”的訓(xùn)練，復(fù)習(xí)中要以提高學(xué)生各學(xué)科的思維能力為核心任務(wù)，教師要做好這一觀念轉(zhuǎn)變的理解與操作.

4.2轉(zhuǎn)換思路，腳踏實地

我們也常常聽到，某某老師埋怨自已學(xué)校的生源差，解答題后三題（數(shù)列、解幾、函數(shù)）盡量少碰或不碰，因為碰了也沒用，只能反復(fù)練習(xí)選擇填空加上解答題前三題（三角、概率、立幾）.筆者認(rèn)為，這種做法現(xiàn)在行不通了，前面已提到，全國I卷中選擇填空也有不少中等偏上難度的題目，解答題除第17題與選做題較易，21題較難，其余三題（統(tǒng)計、立幾、解幾）難度較為接近.所以，只有根據(jù)不同的學(xué)情，制定好周密的復(fù)習(xí)計劃，一步一個腳印，方能取得高考的最終勝利.

4.3精選習(xí)題，有效訓(xùn)練

我們也常常感覺得到，高三一年，學(xué)生不知道要考多少次試，要做多少道數(shù)學(xué)題才行.的確，有些老師愛題如命，不加選擇，考廣東卷時就把廣東各地的模擬試題收集起來訓(xùn)練，有多少練多少，這種思路下，要是換成考全國卷，現(xiàn)在的網(wǎng)絡(luò)資源那么發(fā)達(dá)，學(xué)生豈不是要做更多的題目？可見，習(xí)題要精選，要從有利于學(xué)生落實雙基、感悟方法、培養(yǎng)能力的角度出發(fā)，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析、解答和反思，這跟“題海戰(zhàn)術(shù)”是有本質(zhì)差別的，也只有這樣，訓(xùn)練才能真正出效果.

“研究”只是為了更好地備考，而不僅是為了應(yīng)試，只有著眼于學(xué)生的長遠(yuǎn)利益與終身發(fā)展，書才不會教“偏”，題才不會做“錯”.