廣州大學(xué)附屬中學(xué)（510006） 吳堅(jiān)

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2016年全國(guó)卷高考數(shù)學(xué)三角試題分析與備考建議

廣州大學(xué)附屬中學(xué)（510006） 吳堅(jiān)

三角是高考數(shù)學(xué)中的重要考點(diǎn)，覆蓋了三角函數(shù)定義，三角函數(shù)圖像與性質(zhì)，三角恒等變換與解三角形等知識(shí)，在全國(guó)卷中呈現(xiàn)出比較穩(wěn)定的命題規(guī)律與試題特點(diǎn)，既側(cè)重“雙基”（基本概念與基本方法）的考查，又突出運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力等理性思維能力的考查.

一、2016年全國(guó)卷高考數(shù)學(xué)三角試題分析

1.2016年全國(guó)I卷文科數(shù)學(xué)三角試題分析

說明本題主要考查解三角形中的余弦定理，建立方程求解b，涉及運(yùn)算求解能力的考查，屬于對(duì)基本概念的直接考查，較容易.

說明本題主要考查三角函數(shù)周期性以及圖像平移變換與三角函數(shù)解析式之間的關(guān)系，涉及2個(gè)知識(shí)點(diǎn)，屬于對(duì)基本概念與基本方法的簡(jiǎn)單綜合考查，中等偏易.

說明本題主要考查三角恒等變換與化歸轉(zhuǎn)化思想，涉及運(yùn)算求解能力的考查，屬中等難度.

2016年全國(guó)I卷文科三角試題延續(xù)了2010-2015年的命題趨勢(shì)，難度略有下降，主要是對(duì)“雙基”的識(shí)記與簡(jiǎn)單應(yīng)用為主.

2.2016年全國(guó)II卷、III卷文科數(shù)學(xué)三角試題概覽

2016年全國(guó)III卷2016年全國(guó)II卷同角三角函數(shù)關(guān)系與三角恒等變換，中等偏易.文（3）：根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖像（圖略）求函數(shù)解析式.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，較容易.文（6）：由tanθ=1 3求cos2θ.文（11）：求函數(shù)f（x）=cos2x+ 6cos 4，BC邊上的高等于1文（9）：在△ABC中，B=π (π) 2-x三角恒等變換、化歸轉(zhuǎn)化求最值，中等偏難.的最大值.文（15）：在△ABC中，由cosA=4 5，cosC=5三角恒等變換與解三角形，中等難度.解三角形與邏輯分析能力，中等難度.文（14）：函數(shù)y=sinx-√3BC，求sinA.三角恒等變換與三角函數(shù)圖像平移變換，中等難度. 13，a=1求b. 3cosx的圖像可由函數(shù)y=2sinx的圖像至少向右平移　個(gè)單位長(zhǎng)度得到.

3.2016年全國(guó)I卷理科數(shù)學(xué)三角試題分析

A.11B.9C.7D.5

說明本題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)，要求考生能夠根據(jù)零點(diǎn)與對(duì)稱軸信息，以及單調(diào)區(qū)間與周期的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合得出該函數(shù)周期性特征，突出邏輯分析能力的考查，難度較大.

2016年理（17）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c.

（I）求C；

說明 本題主要考查三角恒等變換與解三角形，涉及運(yùn)算求解能力，屬于對(duì)“雙基”的簡(jiǎn)單綜合考查，中等偏易.

2016年全國(guó)卷理科三角試題也延續(xù)了2010-2015年的命題趨勢(shì)，難度與往年持平，相對(duì)文科試題，既涵蓋了對(duì)“雙基”的識(shí)記與簡(jiǎn)單應(yīng)用，更突出了對(duì)“雙基”的理解與掌握.

4.2016年全國(guó)II卷、III卷理科數(shù)學(xué)三角試題概覽

2016年全國(guó)II卷2016年全國(guó)III卷理（5）：由tanα=3理（7）：若將函數(shù)y=2sin2x的圖像向左平移 π三角函數(shù)圖像與性質(zhì)，中等難度. 12個(gè)單位長(zhǎng)度，問平移后圖像的對(duì)稱軸.三角恒等變換，中等偏易. 4，求cos2α+ 2sin2α. )理（9）：由cos理（8）：在△ABC中，B=π 5，求sin2α. (π 4-α=3三角恒等變換，中等難度. 4，BC邊上的高等于1解三角形與邏輯分析能力，中等難度. 3BC，求cosA.理（13）：在△ABC，若cosA=4 5，cosC=5三角恒等變換與解三角形，較容易. 13，a=1，則b=. 3cosx的圖像可由函數(shù)y=sinx+√理（14）：函數(shù)y=sinx-√3cosx的圖像至少向右平移三角恒等變換與三角函數(shù)圖像平移變換，中等難度.個(gè)單位長(zhǎng)度得到.

二、2010-2016年全國(guó)I卷高考數(shù)學(xué)三角試題命題規(guī)律與考查熱點(diǎn)

1.命題規(guī)律

全國(guó)卷三角試題形式主要有兩種，一種形式通過三道小題分別考查三角恒等變換、三角函數(shù)圖像與性質(zhì)、解三角形等三個(gè)知識(shí)點(diǎn)，如2010年、2011年、2013年文數(shù)、2014年、2015年理數(shù)和2016年文數(shù)；另一種形式則通過一道小題考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)（往往還涉及到三角恒等變換），一道解答題考查三角恒等變換與解三角形，如2012年、2013年理數(shù)、2015年文數(shù)和2016年理數(shù).詳見下表.

年份2010年2011年2016年2015年2012年2014年2013年（4）解三角形（6）三角函數(shù)圖像與性質(zhì)（7）三角恒等變換（9）三角函數(shù)圖像與性質(zhì)（9）三角函數(shù)圖像與性質(zhì)（2）三角恒等變換（8）三角函數(shù)圖像與性質(zhì)（10）三角恒等變換（11）三角函數(shù)圖像與性質(zhì)（17）三角恒等變換與解三角形（10）解三角形（7）三角函數(shù)圖像與性質(zhì)（17）解三角形三角試題題號(hào)與考向（文）（6）三角函數(shù)圖像與性質(zhì)（15）解三角形（16）解三角形（16）三角函數(shù)圖像與性質(zhì)（16）解三角形（14）三角恒等變換分值15分15分17分15分15分17分15分（4）三角函數(shù)圖像與性質(zhì)（9）三角函數(shù)圖像與性質(zhì)（15）三角函數(shù)圖像與性質(zhì)（2）三角恒等變換（5）三角恒等變換（6）三角函數(shù)圖像與性質(zhì)（12）三角函數(shù)圖像與性質(zhì)三角試題題號(hào)與考向（理）（17）三角恒等變換與解三角形（11）三角函數(shù)圖像與性質(zhì)（17）解三角形（9）三角恒等變換（8）三角函數(shù)圖像與性質(zhì)（8）三角恒等變換（17）三角恒等變換與解三角形（16）解三角形（16）解三角形（16）解三角形（16）解三角形分值15分15分17分17分15分15分17分

2.考查熱點(diǎn)

（1）考查三角恒等變換以及三角函數(shù)定義、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等三角公式的識(shí)記、以及利用三角公式化簡(jiǎn)與求值計(jì)算，特別是弦切互化、齊次式互化、角的和差倍半代換化簡(jiǎn).既重視考查運(yùn)算求解能力，更側(cè)重邏輯分析能力與化歸轉(zhuǎn)化思想方法應(yīng)用.在求解運(yùn)算中要注重通過優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)減少運(yùn)算量，避免不必要的分類討論，進(jìn)而提高解題效率.

（2）考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).如根據(jù)解析式判斷函數(shù)草圖或由函數(shù)草圖求解解析式，三角函數(shù)圖像的平移和伸縮變換方法，研究三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性與最值，以及建立三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用問題.要求考生理解和掌握研究三角函數(shù)的基本方法.

（3）考查解三角形，不僅僅是對(duì)正弦定理和余弦定理的識(shí)記和簡(jiǎn)單應(yīng)用，更多的是作為壓軸題來(lái)考查考生分析問題、轉(zhuǎn)化問題、解決問題的能力.在解三角形的題目中往往還涉及三角恒等變換化簡(jiǎn)，邊角互化和代換消元等化歸轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，試題綜合性大、命題新穎.

三、2016年全國(guó)卷三角試題的評(píng)卷分析和2017年高考三角試題的備考建議

1.2016年全國(guó)I卷理17題（三角）的評(píng)卷分析

（1）首先通過廣東省理17題（三角）的樣本數(shù)據(jù)（70%評(píng)卷量）來(lái)了解我省考生的答題情況.如下表：

得分0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12≥10 10.56占比（%）2.02 1.47 0.97 1.02 1.17 2.85 6.88 2.5 5.42 4.27 9.88 66.31 51.01

從該表中可以看出全省66.31%的理科生可以給出本題的正確解答或近乎正確解答，也體現(xiàn)了我省高三復(fù)習(xí)備考的效果，但亦有15.07%（≤3）的考生沒有解題思路，甚至關(guān)于基本的定理、公式的記憶都未得到要求.

（2）通過對(duì)本題各個(gè)得分的分層抽樣數(shù)據(jù)（400份）統(tǒng)計(jì)分析，共發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤216處.其中因?yàn)槎ɡ恚ㄕ叶ɡ怼⒂嘞叶ɡ恚?，公式（兩角和差公式、誘導(dǎo)公式、三角形面積公式）和常用三角函數(shù)值記憶等知識(shí)識(shí)記類錯(cuò)誤達(dá)到70處，占總錯(cuò)誤的32.4%；因?yàn)榇鷶?shù)式化簡(jiǎn)、等式變形，方程求解，以及數(shù)的運(yùn)算等計(jì)算類錯(cuò)誤達(dá)到87處，占總錯(cuò)誤的40.3%；因?yàn)橐?guī)范性造成錯(cuò)誤34處，占總錯(cuò)誤的15.7%；因?yàn)閷Ｗ⒍炔粔颍ɑ蜻^度緊張）造成的抄錯(cuò)數(shù)字和字母，審題不明等錯(cuò)誤25處，占總錯(cuò)誤的11.6%.典型的識(shí)記類錯(cuò)誤和運(yùn)算類錯(cuò)誤詳見下表：

錯(cuò)誤類型錯(cuò)誤形式錯(cuò)誤數(shù)量正弦定理a cosB=　c cosCcsinA=asinC=2R，8識(shí)記類錯(cuò)誤5余弦定理cosC=b2-a2-c2cosA=　b√ab　，，c2=a2+b2+2abcosC 2a　，cosC=b2+a2-c2兩角和差公式2 cos（A+B）=cosB+cosA，cosB·sinA+sinB·cosA= 6誘導(dǎo)公式sin（π-C）=cosC，sin（A+B）=-cosC，sin（π-C）=-sinC 2sin（A+B）11三角函數(shù)值記憶由“cosC=1 22如“S=1 2”得出錯(cuò)誤的C角大小三角形面積公式18 2abcosC，S=absinC”等代數(shù)式化簡(jiǎn)利用余弦定理代入化簡(jiǎn)“2cosC（acosB+bcosA）=c”運(yùn)算錯(cuò)誤5 13由“cosC=b2+a2-c2等式變形2ab　，ab=6”化簡(jiǎn)“a2+b2=13”出錯(cuò)由“2cosC·sinC=sinC”或及等價(jià)形式化簡(jiǎn)出錯(cuò)，如“2cosC=0”等16由a2+b2=13得a+b=√5 a2+b2=√運(yùn)算類錯(cuò)誤13 27方程求解由{a2+b2=13, ab=6,　求解a與b或a+b出錯(cuò)數(shù)的運(yùn)算利用sinC=√1-cos2C求解出錯(cuò)，如“sinC=1√4 3由1√2，sinC=5由10 {a=2, b=3,求解a+b+c=6+√{a=3, b=2, 或2”3，ab=9”2absinC=3√2 ，sinC=2求解ab出錯(cuò)，如“ab=3，ab=3√3 7 7

2.2017年高考三角試題的備考建議

（1）熟記常用特殊角的三角函數(shù)值，牢記三角函數(shù)定義、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式和三角恒等變形公式等有關(guān)三角公式，三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，以及解三角形中的正弦、余弦定理，面積公式等，特別是在一輪復(fù)習(xí)時(shí)不可忽視一些三角知識(shí)盲點(diǎn)和易漏點(diǎn).

（2）在高三備考中重視對(duì)運(yùn)算能力的訓(xùn)練，主要包括代數(shù)式的運(yùn)算與化簡(jiǎn)，代數(shù)恒等式的熟練準(zhǔn)確運(yùn)用，方程（不等式）的求解，數(shù)的運(yùn)算等，讓學(xué)生盡早發(fā)現(xiàn)自身的不良運(yùn)算習(xí)慣和定勢(shì)錯(cuò)誤，使每個(gè)學(xué)生對(duì)自身常犯的運(yùn)算錯(cuò)誤形成元認(rèn)知，進(jìn)而有意識(shí)的改進(jìn)和糾正.

（3）有關(guān)三角函數(shù)的求值與化簡(jiǎn)問題，備考時(shí)要重視運(yùn)算求解思路的訓(xùn)練，著重于引導(dǎo)學(xué)生如何挖掘已知條件與所求表達(dá)式之間的聯(lián)系，熟練地使用弦切互化，齊次式化簡(jiǎn)，角的和、差、倍、半等代換思想，整體代換求值，換元法，方程思想等常用思想方法與技巧.此外，關(guān)于角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的控制問題在備考中也要引起足夠重視.

（4）三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)問題，首先要從三角函數(shù)定義出發(fā)理解三角函數(shù)對(duì)應(yīng)法則，結(jié)合函數(shù)圖像牢記理解函數(shù)性質(zhì)，特別是周期性與對(duì)稱性、單調(diào)性之間的聯(lián)系，以及三角函數(shù)圖像平移、伸縮變換方法，其次要強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)圖像與性質(zhì)問題的通性通法的理解與熟練應(yīng)用，最后還要注意數(shù)形結(jié)合，化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.還有一些三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題在備考中也不能遺忘.

（5）解三角形問題在全國(guó)I卷中往往并非是正弦定理、余弦定理的直接應(yīng)用，更側(cè)重于以解三角形問題為背景，考查考生的綜合能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在備考中要樹立三大意識(shí)—邊角互化意識(shí)、消元代換意識(shí)、方程意識(shí)；補(bǔ)充兩種輔助方法—面積法和向量法，在某些解三角形問題中它們具有一定的優(yōu)越性，在復(fù)習(xí)備考中可以適當(dāng)滲透；突出一類題型—最值問題（或取值范圍），此類問題往往涉及到建立函數(shù)求最值，利用基本不等式求最值，利用判別式法求最值，利用數(shù)形結(jié)合求最值等多種方法，在備考時(shí)可利用“一題多解”，“多題一解”等形式提升此類問題的備考效果.

（6）在三角問題的選擇題、填空題中補(bǔ)充一些應(yīng)試技巧也是頗有必要的，如特殊值法，代入驗(yàn)證法等.

（7）三角試題在廣東卷中往往屬于基礎(chǔ)題，而在全國(guó)卷中更偏向識(shí)記后的簡(jiǎn)單應(yīng)用、乃至理解和掌握，以中等難度題居多，甚至還有壓軸題.特別是全國(guó)I卷三角試題對(duì)知識(shí)的理解應(yīng)用程度，對(duì)運(yùn)算能力，邏輯推理能力等數(shù)學(xué)綜合能力的要求更高，必須要求我們的高三老師和學(xué)生改變以往廣東卷三角備考的思維定勢(shì)，深刻體會(huì)全國(guó)卷三角試題的命題規(guī)律與考查熱點(diǎn)，在三角備考時(shí)要注意選題的靈活性、綜合性、創(chuàng)新性.