單彩虹 李慧珍 夏靜

【摘 要】向量組的線性相關(guān)性是線性代數(shù)中的最重要也是最基本的內(nèi)容，本文通過兩個例子來看一下矩陣的秩在向量組線性相關(guān)性判定中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】向量；矩陣；線性代數(shù)

矩陣、向量組的線性相關(guān)性是線性代數(shù)中的最重要也是最基本的內(nèi)容，它們關(guān)系密切，無法割裂開來。矩陣是研究線性代數(shù)各類問題的載體，矩陣的秩也是判定向量組線性相關(guān)性常用的方法。下面我們就通過兩個例子來看一下矩陣的秩在判定向量組線性相關(guān)性時(shí)的應(yīng)用。

向量組線性相關(guān)性判定定理 向量組a1，a2，…am線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣A=（a1，a2，…am）的秩小于向量個數(shù)m；向量組線性無關(guān)的充分必要條件是R（A）=m。

例1設(shè)b1=a1，b2=a1+a2，…，br=a1+a2+…+ar且向量組a1，a2，…，ar線性無關(guān)，證明向量組b1，b2，…，br線性無關(guān)。

證 先把向量組b1，b2，…，br由向量組a1，a2，…，ar線性表示的關(guān)系式寫成矩陣形式：

記為B=AK，因?yàn)閐etK=1，所以K是可逆矩陣，由矩陣秩的性質(zhì)可知

R（b1，b2，…，br）=（a1，a2，…，ar）

又因?yàn)閍1，a2，…，ar線性無關(guān)，由向量組線性相關(guān)性判定定理可知R（a1，a2，…，ar）=r，從而有R（b1，b2，…，br）=r，再次運(yùn)用定理知向量組b1，b2，…，br線性無關(guān)。

例2 設(shè)b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a4，b4=a4+a1，證明向量組b1，b2，…，br線性相關(guān)。

證一 根據(jù)題設(shè)可得

b1-b2+b3-b4

=（a1+a2）-（a2+a3）+（a3+a4）-（a4+a1）=0

由定義，知向量組b1，b2，…，br線性相關(guān)。

證二 兩向量組表示的矩陣形式為：

因?yàn)閐etK=0，所以R（K）<4。

由矩陣秩的性質(zhì)知

R（b1，b2，b3，b4）≤R（K）<4

由判定定理，向量組b1，b2，…，br線性相關(guān)。

上述兩題在證明過程中都用到了矩陣的秩的性質(zhì)，例1中用到的性質(zhì)是：若P，Q，可逆，則R（PAQ）=R（A），用通俗的語言敘述就是乘以可逆矩陣不改變矩陣的秩。B=AK，因?yàn)镵可逆，所以得到R（B）=R（A），但是在例2中矩陣K的行列式等于零，K不是可逆矩陣，就不能用這條性質(zhì)了，例2中用到的矩陣秩的性質(zhì)是：R（AB）≤min{R（A），R（B）}，乘積矩陣的秩不超過這兩個矩陣秩的最小者。并且例2中向量組b1，b2，…，br的線性相關(guān)性與向量組a1，a2，…，ar的線性相關(guān)性沒有關(guān)系。

很多學(xué)生都能順利做出例1這種類型的題，但遇到例2時(shí)犯了難，想不出例2中用到的矩陣秩的性質(zhì)，當(dāng)然也有一些學(xué)生能夠根據(jù)定義想到證一的方法，究其原因還是學(xué)生沒有深刻理解定義、定理以及秩的性質(zhì)的具體內(nèi)涵，不能靈活運(yùn)用。所以教師可以通過典型的例題來解釋這些難懂的知識點(diǎn)，加深學(xué)生對定理、性質(zhì)的理解和把握，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

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