張夢穎，韋增欣

（廣西大學　數(shù)學與信息科學學院，南寧　530004）

基于修正的均值—絕對偏差投資組合模型

張夢穎，韋增欣

（廣西大學數(shù)學與信息科學學院，南寧530004）

針對投資者期望在較低風險下獲得較高的投資收益，且偏好投資收益率高的證券，通過在已有的均值-絕對偏差模型的基礎上，引入權值系數(shù)，并對模型的約束條件進行簡化，構造新的均值-絕對偏差模型。然后，再利用粒子群算法，結合算例進行實證分析，表明此模型是合理的且有效的。

投資組合；均值-絕對偏差；粒子群算法

1　引言

投資組合優(yōu)化是一個分析投資和管理資產(chǎn)的過程，它能夠基于全部的目標利潤來分配和調(diào)整投資的資產(chǎn)，與此相關，也需要有效的計算和分散風險，但在如今的金融市場中，各類金融產(chǎn)品存在收益和風險的不同。針對保障投資的收益和規(guī)避一定的風險進行組合選擇，國內(nèi)外學者對投資組合理論進行了深入的研究。

1952年，Markowitz［1］在其《資產(chǎn)選擇》一文中提出了均值—方差投資組合優(yōu)化模型，拉開了金融投資定量化研究的序幕，此模型也是現(xiàn)代金融學的重要理論工具.Markowitz的均值—方差模型是一個二次規(guī)劃問題，在證券數(shù)量較大時，參數(shù)的估計規(guī)模會非常大，且對均值或方差產(chǎn)生的擾動較為敏感。為了克服計算二次規(guī)劃的困難，Konno和Yamazaki［2］提出了運用均值—絕對偏差風險函數(shù)的投資組合模型 （MAD模型），MAD模型是易于求解的線性規(guī)劃模型，并且在收益服從正態(tài)分布的情形下，絕對偏差與方差相一致。后來，F(xiàn)einstein和Thapa［3］提出了改進的均值—絕對偏差投資組合優(yōu)化模型，國內(nèi)王春峰［4］等研究了在加入VaR約束的投資組合選擇問題，余湄和董洪斌［5］等介紹了絕對偏差風險函數(shù)與投資組合模型，后來，張鵬［6］，康志林［7］也對均值—絕對偏差模型提出了優(yōu)化、修正.

本文是在康志林的研究上做進一步的改進，在對目標函數(shù)引入權值修正的基礎上，考慮我國證券市場的實際情況并不失一般性，簡化約束條件，使得改進模型在度量風險時更為有效，并引用粒子群算法求解證券投資組合最優(yōu)解問題，結合數(shù)值實驗結果分析討論，驗證模型的可操作性與實用性。

2　均值—絕對偏差（MAD）模型

假設證券投資組合中包含n種證券的T期歷史樣本數(shù)據(jù)，即有T個時間段，記rj為第j（j=1，…，n）種證券的期望收益率，rjt為風險證券j（j=1，…，n）在t（t=1，…，T）時期的歷史收益率，xj表示投資在第j（j=1，…，n）種證券的投資金額，ρ為投資者對該投資組合的最低期望收益率，C是總的證券投資金額，uj是第j（j=1，…，n）種證券投資金額xj的上限.MAD模型［8］如下：

3　修正的MAD模型

在實際的金融市場中，對收益率不同的證券，投資者對證券的投資比例也會不同，一般情況下，投資者會偏好投資收益率高的證券，這時，考慮相對的風險度量也應有所變化。在上述的MAD模型中，目標函數(shù)對不同收益的證券采用同一風險度量，計算出的投資風險可存在一定的誤差。

那么考慮不同收益的證券時，要賦予其相對應的權值系數(shù)對目標函數(shù)加以修正，對投資收益率高的證券給予原偏差更大權值的風險度量［7］，其中權值系數(shù)：，…，n，此時輔助變量

結合證券市場的實際情況且不失一般性，對原本模型進行修正并簡化。設定總投資金額 C=1，xj，則表示投資在第 j（j= 1，…，n）種證券的投資權重。新模型如下：

4　模型的求解及數(shù)值算例

粒子群優(yōu)化算法 （Particle Swarm Optimization，PSO）是由Kennedy和Eberhart［9-10］于1995年提出的模擬鳥群捕食行為的一種演化算法，但對于求解帶有復雜約束的投資組合優(yōu)化問題，需對原始算法進行改進以保證所求解在可行域內(nèi)。周世昊［11］提出了一種帶縮進因子的改進PSO算法，根據(jù)本文模型，其基本流程如下：

Step 1：n種證券即粒子群體規(guī)模為n，隨機初始化粒子的位置和速度［12］，使得：

S tep 2：將粒子的Psb設置為當前位置，Pgb設置為初始種群中最佳粒子的位置；

Step 3：計算粒子的適應值，找出粒子的個體極值Psb（i），i= 1，…，n和全體極值Pgb；

Step 5：根據(jù)公式［9-13］

更新粒子的速度和位置，其中 c1，c2為學習因子，r1，r2∈［0，1］是均勻分布的隨機數(shù)；

Step 6：判斷算法收斂準則是否滿足，若滿足，轉Step 7，否則，轉Step 3；

Step 7：輸出結果Pgb，算法運行結束。

［14］的數(shù)據(jù)，如表1所示。在此投資組合中共有6種證券，也即n=6，設投資組合期望收益率為ρ=0.03。

表1　6種證券在8個交易時期的收益率數(shù)據(jù)

由上述算法計算得到

5　結論

本文通過對均值—絕對偏差模型進行修正，并簡化約束條件，給出求解此模型的粒子群優(yōu)化算法，利用Matlab軟件結合實際算例驗證了模型的有效性。對于投資者來說，新模型具有可操作性和實用性，能夠依據(jù)期望的收益率來選擇最優(yōu)投資策略，使得決策更符合客觀事實情況.

主要參考文獻

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［3］CD Feinstein，M N Thapa.A Reformation of a Mean Absolute Deviation Portfolio Optimization Model［J］.Management Science，1993（39）：1552-1553.

［4］王春峰.VaR金融市場風險管理［M］.天津：天津大學出版社，2001.

［5］余湄，董洪斌，汪壽陽.摩擦市場下的投資組合與無套利分析［M］.北京：科學出版社，2005.

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10.3969/j.issn.1673-0194.2016.19.060

F830.59

A

1673-0194（2016）19-0106-03

2016-07-22

國家自然科學基金資助項目（11161003）。