謝莎

（四川省成都市第十二中學(xué)）

學(xué)生在解決幾何證明題中的深度體驗(yàn)

謝莎

（四川省成都市第十二中學(xué)）

一、教學(xué)中的兩次重創(chuàng)

學(xué)習(xí)完全等三角形的性質(zhì)和判定，我決定補(bǔ)充幾何證明中添加常見輔助線的方法，結(jié)合剛學(xué)的三角形的三條重要線段，我把有關(guān)中點(diǎn)問題采用的“倍長中線法”放到首位。于是，我選了下面的例題：

例1.已知：如圖1，在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE=EC，過D作DF交AE于點(diǎn)F，DF=AC。求證：AE平分∠BAC

圖1

方法1：倍長AE至G，連結(jié)DG

方法2：倍長FE至H，連結(jié)CH

我激情昂揚(yáng)地講解了此題的解法，90%的學(xué)生在課堂上的解答良好，令我比較滿意。

于是我布置了如下的變式題加以鞏固。

【練習(xí)】：已知，如圖2，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE

圖2

讓我意想不到的是全班僅有20%的學(xué)生解答正確，我受到了重創(chuàng)。

究竟是哪個(gè)環(huán)節(jié)出了問題？我苦苦思索。

每周二的定時(shí)練習(xí)如期進(jìn)行，第九周的數(shù)學(xué)周考附加題最后一道題是有關(guān)“全等三角形的綜合證明題”，滿分12分，全班38人僅2人全對(duì)，得5分的12人，其余均在5分以下，包括2人零分。我更加不明白的是此題所用到的知識(shí)點(diǎn)和添加輔助線的方法之前已訓(xùn)練過，為什么學(xué)生的掌握情況會(huì)這么差呢？完全就像老師在課堂教學(xué)中從來未曾涉及過一樣，我又受到重創(chuàng)。

二、教學(xué)中的嘗試

（一）歸類訓(xùn)練

1.雙等邊三角形模型

例2.（1）如圖3，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點(diǎn)E，連結(jié)BC.求∠AEB的大小；

（2）如圖4，△OAB固定不動(dòng)，保持△OCD的形狀和大小不變，將△OCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（△OAB和ΔOCD不能重疊），求∠AEB的大小。

圖3

圖4

例3.如圖5，若△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別為EB，CD的中點(diǎn)，求證：CD=BE，△AMN是等邊三角形。

（1）當(dāng)把△ADE繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖6的位置時(shí)，是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。

（2）當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖7的位置時(shí)，△AMN是否還是等邊三角形？若是，請(qǐng)給出證明，若不是，請(qǐng)說明理由。

圖5

圖6

圖7

2.垂直模型

例4.如圖8，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B、C在A、E的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。

圖8

圖10

圖9

（1）試說明：BD=DE+CE.

（2）若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖9位置時(shí)（BD＜CE），其余條件不變，問BD與DE、CE的關(guān)系如何？寫結(jié)論，并說明理由。

（3）若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖10位置時(shí)（BD＞CE），其余條件不變，問BD與DE、CE的關(guān)系如何？寫出結(jié)論，可不說明理由。

解決此類題時(shí)，我刻意讓學(xué)生從試題結(jié)構(gòu)上尋找它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，在解題策略上尋求異同，從而進(jìn)行關(guān)聯(lián)體驗(yàn)。但要讓學(xué)生進(jìn)行深度體驗(yàn)，還得在試題的變式和遷移上下功夫。

（二）遷移訓(xùn)練

在解決有關(guān)線段和差問題，我刻意訓(xùn)練他們添加輔助線的技巧——“截長補(bǔ)短法”。我首先選擇難度不大的題作為基架，待他們熟悉此法后，便一步步增加小問題，改變?cè)囶}的難度，讓學(xué)生嘗試解決。開始之初學(xué)生仍具有較大困難，隨著訓(xùn)練的深入，添加輔助線完全沒有問題，但在邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性上存在一些漏洞，這說明學(xué)生的深度體驗(yàn)還不夠。于是，我又在同類題中適當(dāng)變式后再訓(xùn)練，多次以后，90%學(xué)生能夠達(dá)到預(yù)期目標(biāo)。

（三）教學(xué)體會(huì)

1.學(xué)生的深度體驗(yàn)需要環(huán)境，是步步深入的，多次反復(fù)的一個(gè)過程；

2.教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)是在多重因素的相互交織，相互促進(jìn)的過程中完成的；

3.遷移訓(xùn)練應(yīng)尋找新舊知識(shí)之間的共同因素，注意并重視共同因數(shù)的作用，促進(jìn)正遷移。

4.注意知識(shí)整合教學(xué)，使之條理化，系統(tǒng)化。

在收獲教學(xué)的初步成果后，我感覺到課堂教學(xué)中核心問題的確定非常重要，它不僅指導(dǎo)學(xué)生明確任務(wù)，朝著既定方向發(fā)展，而且能在任務(wù)的指引下進(jìn)行有效的關(guān)聯(lián)體驗(yàn)，從而促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)需，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性。此外，教師在教學(xué)中要注重基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用，選擇正確的教法，幫助學(xué)生對(duì)于基本原理的理解，讓學(xué)生達(dá)到越來越高的概括程度，提高認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可利用性。同時(shí)，加強(qiáng)發(fā)散性思維訓(xùn)練，促進(jìn)解題的求異能力，提高認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可辨別性，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)題組，一題多解、一題多變，鞏固知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而提高認(rèn)知結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性?？傊?，學(xué)校的教育科研讓我的教學(xué)方法上了一個(gè)高度，我善于站在不同角度思考問題，善于創(chuàng)新，尋求解決問題的最佳方法。教師的善“變”能促進(jìn)學(xué)生的會(huì)“變”，學(xué)生在幾何問題的解決策略上只有進(jìn)行深度體驗(yàn)，才能達(dá)成解題能力的提升。一系列的變革和訓(xùn)練以后，我對(duì)幾何教學(xué)有了更深的感悟。接下來的教學(xué)，我還要尋求更能適合學(xué)生體驗(yàn)的問題作為探究方向，不斷追求教學(xué)的優(yōu)化點(diǎn)和更高境界，讓學(xué)生真正有收獲。

·編輯薄躍華