張建勇，肖慧娟，趙一方，馬會禮

（1.河海大學(xué)　數(shù)理教學(xué)部，江蘇　常州　213022；2.河海大學(xué)　物聯(lián)網(wǎng)學(xué)院，江蘇　常州　213022；3.河海大學(xué)　企業(yè)管理學(xué)院，江蘇　常州　213022）

Matlab繪圖功能在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

張建勇1，肖慧娟2，趙一方3，馬會禮1

（1.河海大學(xué)數(shù)理教學(xué)部，江蘇常州213022；2.河海大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)學(xué)院，江蘇常州213022；3.河海大學(xué)企業(yè)管理學(xué)院，江蘇常州213022）

針對高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)生在繪圖方面存在的困難，提出將Matlab作為輔助教學(xué)軟件，來提高教與學(xué)的效果，給出了若干函數(shù)的繪圖和程序，提供了兩個教學(xué)案例。

Matlab；高等數(shù)學(xué)；平面圖形；空間圖形

0　引言

在高等理工科院校中，高等數(shù)學(xué)［1］（以下簡稱高數(shù)）是一門非常重要的基礎(chǔ)課,是學(xué)生學(xué)習(xí)后繼基礎(chǔ)課和專業(yè)課程的基礎(chǔ)。高數(shù)的抽象性使得在教與學(xué)的過程中缺乏生動性和直觀性。學(xué)生在學(xué)習(xí)高數(shù)的過程中普遍存在一個現(xiàn)象就是不能夠正確繪制函數(shù)圖像，導(dǎo)致一些內(nèi)容難以理解，比如：振蕩間斷點、Taylor展開式、空間曲面、重積分等。出現(xiàn)這種問題的原因在于：（1）中學(xué)階段以培養(yǎng)計算能力為主，所用函數(shù)主要是一元顯函數(shù)，大學(xué)階段研究的函數(shù)種類多而且復(fù)雜，如隱函數(shù)、參數(shù)方程所確定的函數(shù)、極坐標(biāo)函數(shù)、多元函數(shù)等；（2）描點法已經(jīng)不能滿足高數(shù)中函數(shù)的繪圖需求，如空間函數(shù)圖形等很難繪制。

隨著計算機(jī)應(yīng)用的快速發(fā)展，在教學(xué)過程中引入軟件輔助教學(xué)，是教學(xué)改革的一個部分。Matlab［2］軟件具有出色的計算功能和圖像處理能力，已經(jīng)得到教學(xué)和科研人員的高度認(rèn)可。其強(qiáng)大的繪圖功能不僅體現(xiàn)在繪制曲線和曲面上，還體現(xiàn)在繪制不同坐標(biāo)系下的圖形。正是這種能力為函數(shù)的圖形化（即可視化）提供了有力工具，使得函數(shù)得到更加形象生動的展示，有利于揭示函數(shù)的內(nèi)在特性。

本文結(jié)合高數(shù)的教學(xué)，討論Matlab軟件在平面圖形、空間圖形、微分學(xué)等方面的一些應(yīng)用。

1　平面圖形

高數(shù)的研究對象是函數(shù)，高數(shù)中有些函數(shù)是高中沒有涉及的，如隱函數(shù)、極坐標(biāo)函數(shù)等。這些函數(shù)過于抽象，在Matlab中plot、ezplot和polar等命令可以使得這些函數(shù)更具直觀性。

1.1plot命令

plot是Matlab繪制二維圖形的最基本命令，主要用來繪制顯函數(shù)，調(diào)用格式為：plot（x，y，options）,其中x表示橫坐標(biāo)向量，y表示縱坐標(biāo)向量（函數(shù)值），options可以對圖像的顏色、線條寬度等進(jìn)行修飾。比如繪制y=arctan x，如圖1所示。

1.2ezp lot命令

高數(shù)中經(jīng)常用到隱函數(shù)、參數(shù)方程等，這些函數(shù)的圖像用plot命令繪圖是很復(fù)雜的，而ezplot卻很簡單。其調(diào)用格式為：ezplot（f，options），其中f為函數(shù)的符號表達(dá)式，options可以對坐標(biāo)進(jìn)行設(shè)置等，默認(rèn)坐標(biāo)范圍是-2π≤x，y≤2π。圖2為繪制的心形線、擺線、三葉玫瑰線和伯努利紐線。程序如下：

圖1　plot繪制arctan x的圖像　

圖2　ezplot繪圖

1.3極坐標(biāo)圖形的繪制

在高數(shù)中，涉及極坐標(biāo)的知識點為弧微分、積分求面積和曲線積分等，在不了解極坐標(biāo)表示的圖像的情況下，有時難以運算。Matlab中提供了polar命令，調(diào)用格式為polar（theta，rho），其中theta是弧度表示的角度，rho表示極徑，圖3是傳說的笛卡爾［3］最后一封情書中蘊含的秘密ρ=a（1-sinθ）的圖形。程序為：

2　空間圖形

空間曲線和曲面在高數(shù)中占有重要的地位，在三重積分和曲線曲面積分的計算中起著關(guān)鍵性的作用。其表達(dá)式均是由三元方程表示，對于空間想象力不好的學(xué)生來說，繪制三維圖像有很大的難度。下面結(jié)合高數(shù)中常見的空間圖形，分別舉例討論空間曲線和曲面的繪圖。

2.1空間曲線

繪制空間曲線所用的命令是plot3,調(diào)用格式為：plot3 （x，y，z，options），其中參數(shù)x、y、z都是變量，options是曲線的樣式參數(shù)。圖4是螺旋線，matlab程序如下。

圖3　polar繪制心形線

2.2空間曲面

高數(shù)中常見的空間曲面主要有球面、柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面等，Matlab中提供了豐富的繪圖命令，如plot、mesh、surf、ezmesh、ezsurf等，相比較而言，ezmesh和ezsurf在使用過程中相對簡單，另外，在繪制空間曲面時，動態(tài)演示的課堂效果會更好。圖5是錐面z2=9（x2+y2）的動態(tài)演示程序和三個截圖。

圖4　plot3繪制螺旋線

圖5　動態(tài)演示錐面的截圖

3　在微積分中的應(yīng)用

3.1間斷點

如何分析及其判斷間斷點類型，對學(xué)生來說也是一個難點。主要原因是對知識的理解不夠清晰。借助圖像，有助于學(xué)生直觀地理解該內(nèi)容。圖6是在x=0附近的圖像。

圖6　無窮振蕩間斷點

3.2微分方程的數(shù)值求解

在高數(shù)中講解微分方程的主要目的是為后續(xù)的專業(yè)課打基礎(chǔ)，如在電路、線性系統(tǒng)中，很多系統(tǒng)都是用微分方程描述，如何判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性是重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，其中一種方法是利用解析解判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。但能夠求得解析解的微分方程很少，尤其是非線性微分方程，這時數(shù)值解或者仿真就是一個很好的途徑［4］。例如x"+0.5x'+2x+x2=0，這是一個非線性微分方程，無法獲得它的解析解，編寫Matlab程序，調(diào)用ode45命令繪制未知函數(shù)x（t）圖像，如圖7所示。

圖7　微分方程的數(shù)值模擬

主程序為

盡管我們無法通過解析解分析該微分方程的穩(wěn)定性，但是通過仿真得到的圖像可以看出，隨著時間的不斷增加，該系統(tǒng)趨于穩(wěn)定狀態(tài)。

4　其他應(yīng)用

除上述情況外，還可以在Taylor級數(shù)、冪級數(shù)、Fourier級數(shù)中，應(yīng)用matlab的繪圖功能來展示函數(shù)及其展開式之間的聯(lián)系。圖8中虛線是指數(shù)函數(shù)ex，實線是ex冪級數(shù)展開式的圖像。

圖8　冪級數(shù)展開式對比圖像

5　教學(xué)案例

在高數(shù)教學(xué)過程中，Matlab作為輔助工具，不宜占用過多的課堂時間，下面舉兩個我在教學(xué)過程中使用過的案例。

案例1在講授基本初等函數(shù)的時候，由于高中教學(xué)改革的原因，三角函數(shù)與反三角函數(shù)有些是不講授的，如y= sec x、y=csc x、y=arctan x等，而在高數(shù)中微積分學(xué)中是一個重要內(nèi)容。如何快速掌握這些函數(shù)是很關(guān)鍵的，結(jié)合函數(shù)圖像給學(xué)生展示和講解，學(xué)生就很容易理解它們的各種性態(tài)。圖9是通過Matlab繪制的四個三角函數(shù)的圖像，這里就不再贅述反三角函數(shù)圖像。程序如下：

案例2在微分方程一章的授課中，通過Matlab數(shù)值求解的結(jié)果與解析解進(jìn)行比較，并給學(xué)生說明在實際工程應(yīng)用中，數(shù)值解往往比解析解更為重要。例如微分方程y"+4y'+y=0滿足初始條件y（0）=1，y'（0）= 0的解析解為y=（1+0.5x）e-0.5x。從圖10中可以看出，數(shù)值解和解析解幾乎吻合。程序如下

主程序如下：

圖9　案例1圖像　

圖10　案例2圖像

在高數(shù)教學(xué)過程中，有很多地方可以使用Matlab軟件，繪圖只是其中之一。在輔助教學(xué)的繪圖方面，這兩個案例比較具有代表性，需要教師在課前調(diào)通程序，在講課的過程中，每個程序的現(xiàn)場演示及說明所用時間為3m in左右。在不占用過多的課堂時間的條件下，豐富了課堂內(nèi)容，這比單純使用PPT演示更具說服力。

6　總結(jié)

引入Matlab輔助高數(shù)的教學(xué)，對教師來說，可以豐富自己的教學(xué)手段、內(nèi)容和形式。對學(xué)生來說，有助于提高學(xué)習(xí)興趣、促進(jìn)學(xué)以致用，課堂會更加生動、形象。

Matlab界面友好，編程簡單，使其在很多領(lǐng)域得以應(yīng)用。目前關(guān)于Matlab的教程非常豐富，除在高數(shù)中的應(yīng)用外，在概率統(tǒng)計、線性代數(shù)的教學(xué)中也可以得到很好的應(yīng)用。

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.（7版）.北京:高等教育出版社，2014.

［2］周建興.MATLAB從入門到精通［M］.（2版）.北京：人民郵電出版社，2012.

［3］http://baike.baidu.com/link?url=OGMDxZf7iKqf-TBjrFtUq_TjQ9nfjDAjkvn InCiqHX87w k5KiKU-yTBeLYXy7H3pw TvOjU8bm UFu7N40fMeC5q

［4］張建勇，陳亮，陳雨兒，等.基于MATLAB的微分方程課堂教學(xué)設(shè)計［J］.教育教學(xué)論壇，2014（52）:168-169.

App lication of M atlab Draw ing Function in the Teaching of Advanced Mathematics

ZHANG Jianyong1，XIAO Huijuan2，ZHAO Yifang3，MA Huili1
（1.Department of Mathematics and Physics,Hohai University,Changzhou 213022,China; 2.College of Internet of Things Engineering,Hohai University,Changzhou 213022,China; 3.College of Business Adm inistration,Hohai University,Changzhou 213022,China）

In the process of Advanced Mathematics teaching,students sometimes may have difficulty in draw ing.To solve the problem,this paper presents Matlab as an auxiliary teaching softw are w hich can improve the teaching and learning effects.As a result,it provides several figures of functions and procedures,and also offers two teaching cases.

Matlab,Advanced Mathematics,plane graph,spatial graph

10.13853/j.cnki.issn.1672-3708.2016.03.014

（責(zé)任編輯：耿繼祥）

2015-07-01；

2016-03-01

張建勇（1978-），男，山東平邑人，副教授，博士，研究方向：隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定性與數(shù)值解法。