趙凱華

(北京大學 物理學院，北京　100871)

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時空對稱性與守恒律(下篇)
——經(jīng)典電動力學

趙凱華

(北京大學 物理學院，北京100871)

本文從時空對稱性導出經(jīng)典電動力學中能量、動量、角動量三大守恒定律.

時空對稱性； 參考系； 守恒定律

內特(E.N?ther)宣稱, 一種對稱性決定一條守恒律. 在本文上篇里[1]我們在牛頓力學的框架內從時空對稱性導出了能量、動量、角動量三大守恒定律.在那里，時空性質由外場表示.本篇將討論電磁場和帶電粒子系統(tǒng)的守恒定律與時空對稱性的關系問題. 經(jīng)典電動力學的時空是閔可夫斯基的平直時空，具有平移、 轉動等全部對稱性， 三大守恒定律都成立.要討論時空對稱性對守恒律的影響，需要假設時空度規(guī)對閔可夫斯基度規(guī)有所偏離.廣義相對論原理宣稱，物質通過引力方程告訴時空怎樣彎曲，時空通過運動方程告訴物質怎樣運動.即時空度規(guī)由物質決定，又反過來控制物質的運動. 然而我們可以考慮宇宙中一個小系統(tǒng)，它本身對時空度規(guī)的影響可忽略不計，時空度規(guī)對閔可夫斯基度規(guī)的偏離完全由外部物質決定. 這與我們的上篇里把時空性質由外場表示的做法是一致的，在弱引力場的極限下時空度規(guī)的影響就表現(xiàn)為牛頓力學中的外場.

1　基本方程

討論電磁系統(tǒng)的能量、動量和角動量的基礎是帶電粒子運動方程和電磁場的電動力學方程.而時空的對稱性要用度規(guī)來描述.平直時空的閔可夫斯基度規(guī)是平庸的，在非平庸度規(guī)下寫出粒子運動方程和麥克斯韋方程，要靠廣義相對論. 廣義相對論的方程式都比較抽象，我們在一定的條件下將它們具體化，使之更接近我們通常熟悉的形式.這段工作主要依據(jù)的是朗道的《場論》書[2]，由于推導較長，我們將它放在本文附錄里， 此處只把結果羅列出來.

1.1在彎曲時空中守恒律公式的形式

設w是某個守恒量的密度， φ是其流密度， 則其守恒律應具有如下微分形式：

(1)

式中γ是三維度規(guī)張量γαβ的行列式. 式(1)第二項是散度▽·φ.[散度的分量形式見附錄式(A.15).](如果守恒量是矢量， 則其流為張量.)若在三維空間里取一塊體積V做體積分，則體元為

(2)

(3)

(4)

Φ是單位時間里流出體積V表面S的該守恒量. 綜上所述，守恒律的積分形式表達成

(5)

1.2麥克斯韋方程[見附錄式(A.19)、(A.20)、(A.26)、(A.27).]

(按照朗道的《場論》書我們沿用高斯單位制. ) 式中的δ函數(shù)是密度函數(shù)，因為我們設帶電粒子都是點粒子， 它們的密度表達式為[見附錄式(A.21)、(A.25).]

(10)

(11)

式中qa和ra分別是粒子a的電荷和位矢. 在下面討論的力學問題中我們還需要質量密度和質量流密度的概念:

(12)

(13)

此外， D和E、 B與H的關系如下[見附錄式(A.28)、(A.29)]：

D=G·E, B=G·H.

(14)

這里 G 是個張量， 其分量為

(15)

有關力學的方程我們將在下面各節(jié)用到時再引入.

2　時間平移不變與能量守恒定律

我們的出發(fā)點是帶電粒子在電磁場中的相對論運動方程的時間分量.附錄中已將它導出[見式(A.44)]:

(16)

(17)

兩邊對a求和， 我們得到

(18)

(19)

wmech代表機械能密度, Smech代表機械能流密度. 于是

(20)

現(xiàn)在察看式(18)的右端. 因γ不顯含t：

(21)

上式右端第二項

而第三項

最后式(18)右端方括號里各項化為

(22)

(23)

(24)

wEM可詮釋為電磁場的能量密度， SEM相當于坡印亭矢量，即電磁場的能流密度. 于是

(25)

左右端聯(lián)合，式(18)最后可以寫成

(26)

此式具有標準的守恒定律形式： 時導項加散度項. 若寫成積分形式，時導項化為體積分的時導，代表在該體積內某守恒量的時間變化率，散度項可利用高斯定理化為面積分，代表從該體積表面流出的此守恒量.式(26)很好的表達了由荷電物質與電磁場組成的整個系統(tǒng)的能量守恒定律.

3　空間平移不變與動量守恒定律

現(xiàn)在的出發(fā)點是帶電粒子在電磁場中的相對論運動方程的空間分量[見式(A.45)]:

(27)

(28)

其中全部是度規(guī)對空間坐標的導數(shù)， 也等于0, 所以式(27)只剩下左右端各一項.

(29)

(30)

我們得到

(31)

(32)

(33)

下面我們來改造式(31)的右端. 這里要用到兩個矢量恒等式.(這兩個公式都涉及并矢張量，通常不大見到.可采用分量形式的運算來直接驗證.)

(▽·D)E=▽·(DE)-(D·▽)E,

(34)

(D·▽)E+D×(▽× E)=(▽E)·D,

(35)

兩式結合起來，我們有

(▽·D)E=▽·(DE)+D×(▽× E)-(▽E)·D.

(36)

現(xiàn)在看上式右端最后一項. 這里涉及并矢張量，我們采用分量形式來運算.按照愛因斯坦約定，重復的傀標意味著求和.(▽E)·D的α分量

(37)

上式最右端是矢量(▽D)·E的α分量. 這里用到了Gμν不顯含r和度規(guī)矩陣的對稱性質.上面這段推導表明

(38)

將式(38)代入式(35)，再將結果代入式(34)，我們得到

(39)

同理可得有關磁場的對應公式：

(40)

對于電場， 將麥克斯韋方程式(7)代入式(39)得

(41)

對于磁場將▽·B=0代入式(40)得

(42)

將式(42)和式(43)代入式(32)，得

(43)

其中兩項

其協(xié)變α分量為[矢量矢積的分量形式，見附錄式(A.14).]

式(43)中其余各項可歸并為一個張量T的散度：

(44)

(45)

T相當于麥克斯韋脅強張量. 于是式(43)或者說式(31)右端可以寫成

(46)

(47)

pEM可詮釋為電磁場的動量密度， FEM為電磁場的動量流密度. 將式(31)左右端聯(lián)合起來，有

(48)

式(48)表達了由荷電物質與電磁場組成的整個系統(tǒng)的動量守恒定律.

4　空間各向同性與角動量守恒定律

本節(jié)中我們假定空間具有旋轉不變性.在沒有空間平移不變性的條件下轉動不變性只能是對一個特定點O而言的，對于此點空間具有球對稱性. 我們取此點為坐標原點，位矢r是從這點出發(fā)的，角動量也是對此點而言的.此時真空介電張量退化為標量： G={G(r,t)δαβ}， 與r的方向無關,γ和g00也是如此.

仍從式(27)出發(fā), 從左邊以位矢r叉乘整個公式：

(49)

(50)

在空間球對稱時有可能選一種各向同性笛卡兒坐標系[文獻[2], p.339]，在其中度規(guī)的空間分量gαβ是對角的, 且對角元都相等：

(51)

這樣一來，

(52)

上式括弧里第一項與第三項相消， 是因為它們的差別只是傀標不同.從式(52)可以看出， 矢量Γ正比于梯度▽g?， r×▽g?=0, r×Γ=0, 式(49)左端第三項消失.

(53)

故

(54)

式(53)左右兩端對a求和， 并在右端用相應的麥克斯韋方程式將密度函數(shù)替換成電磁場量的導數(shù)，得

(55)

令

(56)

(57)

現(xiàn)在考慮式(55)右端. 再次利用恒等式(34)， 以r叉乘它：

(58)

先看上式右端第一項:

故

(59)

現(xiàn)在看式(58)右端第三項:

末項為0的理由是各向同性空間的▽G平行于r. 根據(jù)上式我們有

(60)

將式(59)和式(60)代入式(58)， 得

(61)

同理可得有關磁場的對應公式：

(62)

對于電場， 麥克斯韋方程式(7)將式(61)改寫為

(63)

對于磁場，麥克斯韋方程▽·B=0 將式(62)改寫為

(64)

將式(63)和式(64)代入式(55)，得

(65)

(66)

令

(67)

(68)

這里LEM是電磁場的角動量密度， QEM應詮釋為電磁場的角動量流密度.

最后， 將式(55)左右端聯(lián)合起來，我們得到

(69)

式(69)表達了由荷電物質與電磁場組成的整個系統(tǒng)的角動量守恒定律.

5　一點評注

以上的推導沒有做任何近似. 實際上，除了在致密星體附近引力場都是很弱的.在最低級的近似下

(70)

(71)

上式括弧里第一項是靜質能，第二項是動能，第三項是引力勢能. 機械能流密度Smech的表達式也會有相應的結構.靜質能mac2是常數(shù)，它在能量守恒方程式(26)里是不出現(xiàn)的， 因為在該式中此項由于連續(xù)方程而消失. 所以此時力學就歸結為有引力場的牛頓力學.

5　篇 后 語

本文(包括上篇)從時間的均勻性導出了能量守恒定律，從空間的平移不變性導出了動量守恒定律，從空間的各向同性導出了角動量守恒定律. 在這里對于我們考察的系統(tǒng)而言，時空的非均勻性是外部物質引起的. 受外部物質影響的系統(tǒng)都不是封閉系統(tǒng). 在上篇里，電磁場是外場，存在電磁場時，粒子系統(tǒng)的某些守恒定律不成立.在下篇里，把電磁場包括在系統(tǒng)之內，如果忽略引力，時空是平直的，三大守恒定律都成立.如果把引力作為外場加進來，時空度規(guī)便不是平庸的，則某些守恒定律就不成立了. 如果我們不忽略系統(tǒng)內物質的引力場，并且不施加外部引力場，系統(tǒng)是封閉的. 對于封閉系統(tǒng)，能量、動量、角動量總應該守恒.[文獻[2] §96.] 這與時空對稱性有什么關系？ 一個系統(tǒng)的基本運動規(guī)律是用一組以時空坐標為自變量的偏微分方程來表達的，而外部的影響與系統(tǒng)的時空坐標有關.對于封閉系統(tǒng)不存在外部影響，每個方程只含同一個世界點的物理量及其對時空坐標的導數(shù)(除非有超距作用，但超距作用是不存在的)，因而系統(tǒng)的基本運動方程不顯含時空坐標.這樣一來，時空坐標原點和空間坐標取向的選取對運動方程都沒有影響，這就意味著對該系統(tǒng)而言時空具有完全的對稱性， 所以封閉系統(tǒng)的三大守恒律必成立.

在本文成文的過程中作者曾多次征求朱如曾教授的意見并進行了修改，特此向他表示誠摯的謝意.

【附 錄】 非均勻時空中的麥克斯韋方程與粒子的運動方程

在廣義相對論的框架里討論電動力學問題，寫得最詳盡的非朗道的《場論》書[2]莫屬.我們就按照該書來介紹本文所需要的帶電粒子與電磁場系統(tǒng)的運動方程.

A基本概念和公式

四維的不變的時空間隔ds與度規(guī)gik的關系為

ds2=gikdxidxk=g00(dx0)2+2g0αdx0dxα+gαβdxαdxβ,

(A.1)

這里的拉丁字母i,k等(=0， 1， 2， 3)代表四維時空的維度指標， 指標0代表時間分量(x0=ct)， 希臘字母α，β等(= 1， 2， 3)代表空間分量. 指標在上為逆變，在下為協(xié)變. 按照愛因斯坦約定，傀標(在同一項里重復的指標)意味著求和.

從四維表示向三維表示轉換時還需要以下概念. dτ是沿粒子軌道同步的時鐘確定的固有時間隔， dl是空間間隔(距離)， dt=dx0/c是通常的時間間隔. 朗道的《場論》書中給出

(A.2)

(A.3)

三維空間的協(xié)變度規(guī)張量就是式(A.2)里的γαβ:

(A.4)

相應的逆變張量為

γαβ=-gαβ

(A.5)

行列式為

γ=det(γαβ)

(A.6)

引入三維的速度矢量:

(A.7)

(A.8)

這些式子比較繁冗. 朗道的書中指出：[文獻[2] p.264.]“在任一個引力場中總是可以選擇這樣的參考系，使得g0α的三個值恒等于0, 進而使得時鐘的完全同步成為可能.” 這就是說，g0α≠0是參考系的特征，不是時空本身的特征.本文要討論的是時空的對稱性，而不是參考系是否具有某種對稱性，故我們下文都假設g0α=0 和時鐘同步以使表達式簡化. 這樣一來， (A.4)式簡化為

γαβ=-gαβ

(A.4′)

式(A.8)簡化為

(A.8′)

四維速度ui,ui是無量綱量，在g0α=0 的情況下其定義及與三維速度的關系簡化為：

(A.9)

B麥克斯韋方程組

電磁場的麥克斯韋方程組為[文獻[2] p.284—285.]

(A.10)

(A.11)

這里Fik，F(xiàn)ik是電磁場張量，Ji是四維電流密度矢量,g=det(gik)<0．(按朗道《場論》書，我們沿用高斯單位制.) 下面將它轉換為三維形式，為此我們需要三維彎曲空間里矢量乘積和微分算符的表達形式.[文獻[2] p.281.]

(i)單位反對稱贗張量

(A.12)

(ii)標積A·B=AαBα=AαγαβBβ

(A.13)

(A.14)

(A.15)

(A.16)

B.1 無源方程式(A.10)[文獻[2] p.286.]

四維電磁場張量與三維電場矢量E, D和磁場矢量H, B的關系為(希臘字母上下標只取1， 2， 3.)

(A.17)

(A.18)

令式(A.10)中i=y,k=z,l=x, 則有

即▽·B=0

(A.19)

令式(A.10)中i=0,k=y,l=z, 則

(A.20x)

令式(A.10)中i=0,k=z,l=x, 則

(A.20y)

令式(A.10)中i=0,k=x,l=y, 則

(A.20z)

將(A.20x)、 (A.20y)、 (A.20z)三式寫成三維矢量式，則有

(A.20)

B.2有源方程式(A.11)[文獻[2] p.286.]

(A.21)

式中qa是粒子a的電荷，γ是三維空間度規(guī)的行列式[見式(A.6)], 而四維電流密度矢量為

(A.22)

Ji的分量為

(A.23)

(A.24)

還可以定義三維電流密度矢量為

(A.25)

注意到-g=g00γ， 令式(A.11)中i=0, 則有

即

▽·D=4πρq.

(A.26)

令式(A.11)中i=x, 則有

(A.27x)

同理，i=y,z時有

(A.27y)

(A.27z)

三式聯(lián)合起來， 有

(A.27)

B.3D、 E和B、 H的關系[文獻[2] p.286.]

式(A.17)和(A.28)中Fμν和Fμν是四維張量的空間分量，協(xié)變與逆變之間的轉換要用gik和gik度規(guī)張量來實現(xiàn)， 而Dα、Eα、Bα、Hα是三維矢量，協(xié)變與逆變之間的轉換要用γαβ和γαβ度規(guī)張量來實現(xiàn). 在gα0=0的情況下前者的空間部分與后者只差一個負號.[見式(A.4′)和式(A.5).] 按式(A.17)

即

(A.28)

在g0α=0的情況下Fμν可看作是在度規(guī)γμν變換下的三維張量.又三維度規(guī)行列式γ和四維度規(guī)行列式g之間有-g=g00γ的關系式，[文獻[2] p.262頁式(84.10).]按式(A.20)之二，我們有

(A.29)

C帶電粒子的運動方程

在廣義相對論里一個帶電粒子在電磁場中運動方程的協(xié)變形式是[文獻[2]p.273注①]

(A.30)

(A.31)

即式(A.30)作

(A.32)

對于多個點粒子的系統(tǒng)我們引進質量密度ρm和質量密度流jm的概念：

(A.33)

(A.34)

(A.35)

計算時應注意到δ(r-ra)=δ(x-xa)δ(y-ya)δ(z-za)，

式(A.35)得證. 于是式(A.34)左端第一大項可以寫成如下形式：

(A.36)

C.1式(A.34)左端第一大項

時間分量

(A.37)

空間分量

(A.38)

在這里我們可專門注意分析克里斯托夫符號和速度的乘積：

在gα0=0時其時間分量：

(A.39)

而空間分量

(A.40)

(A.41)

時間分量

(A．42)

空間分量

(A.43)

C.4式(A.34)左右端聯(lián)合

時間分量

(A.44)

空間分量

(A.45)

[1]趙凱華.時空對稱性與守恒律(上篇)——牛頓力學[J].大學物理，2016, 35(1):1-3

[2]朗道、栗弗席茲，場論[M].8版.北京：高等教育出版社， 2012.

[3]W.K.H.Panofsky&M.Phillips.ClassicalElectricityandMagnetism[M].ed.2.Addison-WesleyPub.Co.1962.

SpacetimeSymmetriesandConservationLaws(Ⅱ)——ClassicalElectrodynamics

ZHAOKai-hua

(SchoolofPhysics,PekingUniversity,Beijing100871,China)

Theconservationlawsofenergy,momentumandangularmomentuninclassicalelectrodynamicsarederivedfromthetranslationalandrotationalspacetimesymmetries.

spacetimesymmetries,frameofreference,conservationlaws

2016-04-15

趙凱華 ( 1930— )，男，浙江杭州人，北京大學物理學院教授，2008年獲教育部物理基礎教學指導委員會和中國物理學會教學委員會頒發(fā)的“物理教學杰出成就獎”.

教學研究

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A

1000- 0712(2016)08- 0001- 13