楊天虎

(酒泉職業(yè)技術學院，甘肅省太陽能發(fā)電系統(tǒng)工程重點實驗室，甘肅 酒泉　735000)

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兩共軸帶電圓環(huán)相互作用力的計算

楊天虎

(酒泉職業(yè)技術學院，甘肅省太陽能發(fā)電系統(tǒng)工程重點實驗室，甘肅 酒泉735000)

推導出了兩共軸帶電細圓環(huán)相互作用力的級數解，對其收斂性、誤差進行了定量分析，并根據級數解用MATLAB編程計算繪制了相互作用力Fz的分布曲線.

共軸帶電圓環(huán)；相互作用力；級數解

文獻[1，2]對均勻帶電圓環(huán)的電場分布及兩共軸帶電圓環(huán)相互作用力給出了求解方法，但由于均勻帶電圓環(huán)的電場分布函數不易直接求解，求解過程過于復雜，不利于計算機編程計算，本文將對兩共軸帶電圓環(huán)相互作用力求解過程進行探討，給出一種更為直觀的級數解，容易在計算機上編程計算.

1　兩共軸帶電細圓環(huán)的相互作用力求解

圖1

取軸線為z軸，半徑為R的圓環(huán)圓心O為原點，由對稱性可知其電勢和電場強度必以z軸對稱，兩共軸均勻帶電圓環(huán)在對方上產生的電勢、電場強度Ez處處相等，相互作用力方向與z軸一致，要么相吸，要么相斥.

按照電勢疊加原理，圓環(huán)R在圓環(huán)r上P(r，0，z)點產生的電勢為

(1)

令θ=π+2φ，代入式(1)，得

U(r，0，z)=

(僅R=r，z=0，即兩個大小一樣的圓環(huán)合二為一時，K2=1，其余0≤K2<1)，則有

(2)

通常稱定積分

(0≤K2sin2φ<1，n≥1)

(3)

(4)

因共軸均勻帶電細圓環(huán)在對方上產生的電勢、電場強度Ez處處相等，相互作用力方向與z軸一致，所以相互作用力為

Fx=Fy=0

因

(5)

2　Fz的收斂性與誤差分析

設b0，b1，b2，…，bn為級數

(6)

的各項系數，則

因沃利斯(Wallis)公式[3]為

所以

對于級數F′(K)，若一直取到K2n項，則級數的余和為

當0≤K2<1時，有

所以，Fz有極值.

3　根據級數解用MATLAB編程計算繪制F′(K)、Fz的分布曲線

根據式(6)繪制的F′(K)曲線如圖2所示.

圖2

從圖上看出，F′(K)的曲線隨K增大而增大，接近1時無限增大，與理論計算結果一致，理論上僅R=r，z=0時，即兩個同樣大小的圓環(huán)合二為一時，K2=1，其余0≤K2<1.實際工程中，K不可能無限接近1，所以在實際應用中F′(K)有很好的收斂性.

由式(5)可以看出，兩共軸帶電圓環(huán)相互作用力與所帶電量q和q′成正比，由式(5)得

(7)

當R=0.01 m，r=0.01 m時，式(7)的分布如圖3所示.

圖3

當R=0.01 m，r=0.02 m、0.03 m、0.04 m、0.05 m時，式(7)的分布如圖4所示.

圖4

4　結論

通過推導分析、編程計算可以看出，式(5)除R=r，z=0外的條件下具有良好的收斂性，Fz的級數解表達式存在通項公式，容易在計算機上編程實現，根據需要計算結果可以達到任何精度，同時計算結果也得出了當兩圓環(huán)大小越相近，Fz的最大值越大，兩圓環(huán)大小越相遠，Fz的最大值越小，且極值越小越向右移.

[1]徐燕，陳浩. 兩共軸帶電圓環(huán)的相互作用能和作用力[J]. 大學物理，2007，26(6):26-27，31.

[2]周海英，陳浩. 均勻帶電細圓環(huán)的電場的一般分布[J]. 大學物理，2004，23(9):32-34.

[3]華東師范大學數學系. 數學分析(上)[M].3版.北京：高等教育出版社，2001:226-227.

Calculation of the interaction of the two coaxial charged rings

YANG Tian-hu

(Key Laboratory for Photovoltaic Power Engineering System of Gansu Province，Jiuquan Vocational and Technical College， Jiuquan， Gansu 735000， China)

The series solution of the two coaxial charged rings is derived， whose convergence and terror are quantitatively analyzed. According to the series solution， the distribution curve of the interactionFzis calculated and drawn by the MATLAB programming.

coaxial charged rings; interaction; series solution

2015-05-27；

2016-01-08

甘肅省科技計劃(1309RTSF043)、甘肅省科技創(chuàng)新平臺專項(144JTCF256)資助

楊天虎(1970—)，男，酒泉職業(yè)技術學院副教授，主要從事基礎物理與理論物理及大學物理實驗的教學與研究工作.

O 441

A

1000-0712(2016)08-0029-03