王再軍

(天津職業(yè)技術師范大學 理學院，天津　300222)

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用基函數(shù)展開法求解一維有限深方勢阱模型

王再軍

(天津職業(yè)技術師范大學 理學院，天津300222)

用基函數(shù)展開法求解了一維有限深方勢阱模型，所得結(jié)果與在坐標表象中直接求解薛定諤方程所得結(jié)果完全一致. 重要的是這一求解過程為量子力學中基函數(shù)展開方法的教授與學習提供了一個范例，也為量子力學問題的計算機求解的教與學提供了參考.

一維有限深方勢阱模型；基函數(shù)展開法；諧振子本征函數(shù)；算符的矩陣表示

基函數(shù)展開方法是求解量子力學問題的基本方法之一，更是現(xiàn)代量子理論中求解復雜量子體系能級和波函數(shù)的常用的和重要的方法之一.該方法可以將求解復雜的，多體薛定諤方程轉(zhuǎn)化為矩陣的代數(shù)運算，特別適合于用計算機進行計算, 是利用第一性原理進行大規(guī)模計算的基礎，也是現(xiàn)代很多復雜量子體系的大型計算軟件，如量子化學計算軟件Gaussian的基礎，在現(xiàn)代核物理學，量子化學，凝聚態(tài)物理學，材料物理學等與量子理論相關領域的計算和研究中有重要和廣泛的應用. 但關于基函數(shù)展開方法的具體講解和應用的內(nèi)容在現(xiàn)有的國內(nèi)外量子力學著作中，卻鮮有具體的應用計算舉例供教學和訓練所用. 因此，探討用基函數(shù)展開方法求解量子力學問題，尋求一些適合于在量子力學教學中講解基函數(shù)展開方法和訓練學生計算能力的范例，對量子力學的教學和學習都是有用的和必要的.

一維有限深對稱方勢阱模型是量子力學中最簡單和最基本的模型之一，該模型可以直接在坐標表象下通過求解薛定諤方程得出體系的波函數(shù)和束縛態(tài)能級滿足的超越方程[1,2]. 選定具體的模型參數(shù)后，可以通過數(shù)值計算求得具體的能級和波函數(shù)，這也是目前現(xiàn)有量子力學著作中對該模型給出的唯一的一種解法. 本文給出了在一維線性諧振子基下，用基函數(shù)展開方法對該模型的求解過程和結(jié)果. 我們求解的結(jié)果和在坐標表象下求解薛定諤方程得出的結(jié)果完全一致. 重要的是這一求解過程為量子力學中基函數(shù)展開方法的教授與學習提供了一個非常合適的、具體的計算范例，是對現(xiàn)有量子力學教學內(nèi)容的一個有用的補充. 同時也為量子力學問題的計算機求解的教與學提供了一個很好的參考. 另外，目前我們還沒有見到有關用基函數(shù)展開法對一維有限深對稱方勢阱模型求解的報道.

1　一維有限深對稱方勢阱模型

一維有限深對稱方勢阱模型[1,2]的勢能和哈密頓算符的數(shù)學表示分別為：

(1)

和

(2)

并且滿足

(3)

該模型在數(shù)學上通常表示成對稱的形式或是非對稱的形式，兩種形式各有優(yōu)缺點. 非對稱形式由于有一個勢能銜接點在坐標原點，故可以簡化在坐標表象下束縛態(tài)能級所滿足的超越方程的推導，并且可以減少方程的數(shù)目(只有一個)，但無法體現(xiàn)宇稱概念及相關規(guī)律的應用；對稱形式由于兩個勢能銜接點都不在坐標原點，所以束縛態(tài)能級所滿足的超越方程(有兩超越方程)的推導和波函數(shù)的求解比非對稱的形式稍復雜，但由于此時體系的哈密頓算符滿足式(3)，這使得體系的波函數(shù)具有確定的宇稱性，因此求解過程可以體現(xiàn)對宇稱概念及相關規(guī)律的應用. 由于現(xiàn)有的量子力學著作中一維線性諧振子模型的結(jié)果都是在勢能的數(shù)學表示滿足空間反演對稱的情況下給出的，本文為了能直接利用這些解析結(jié)果，采用數(shù)學上對稱形式表示一維有限深對稱方勢阱模型的勢能.

2　哈密頓算符在諧振子基下的表示

2.1一維線性諧振子基

一維諧振子模型是量子力學中的一個基本的，可以精確求解的模型[1,2]，其求解過程幾乎可以在任何一本量子力學書中查到，因此這里僅給出本文用到的一些結(jié)果.

一維諧振子哈密頓的本征函數(shù)為

(4)

其中

(5)

分別是歸一化常數(shù)和厄米多項式. 本征函數(shù)系{ψn(x),n=0,1,2,L}滿足正交歸一化條件

(6)

和邊界條件

ψn(x)|x→±∞→0

(7)因此，函數(shù)系{ψn(x),n=0,1,2,L}是一個性質(zhì)優(yōu)良的函數(shù)系，其構成-∞

2.2哈密頓算符在諧振子基下的表示

取一維諧振子能量的本征函數(shù)作為基函數(shù)，哈密頓算符的矩陣元可表示為

(8)

將式(2)代入上式可得

利用ψn(-x)=(-1)nψn(x)和積分區(qū)間的對稱性，上式可簡化為下面兩個結(jié)果：

當n+m為奇數(shù)時，Hmn=0

(9)

當n+m為偶數(shù)時，

(10)

給定具體的模型參數(shù)后，就可用上式進行數(shù)值積分，求出所需要的矩陣元，并進而求出本征值和本征函數(shù).

3　數(shù)值計算及結(jié)果討論

3.1模型參數(shù)

我們選取一維有限深對稱方勢阱的深度U0=10 eV，寬度2a=2.0 nm，假設一個電子在其中運動，其質(zhì)量m=0.511×106eV/c2.計算中取hc=197.327 eV·nm.

3.2基函數(shù)參數(shù)和基函數(shù)個數(shù)

基函數(shù)(本文中即為諧振子的本征函數(shù))的參數(shù)α決定了基函數(shù)的形狀，因此α的數(shù)值的選取對能級和波函數(shù)的收斂性有重要的影響. 由于體系基態(tài)的能量和勢阱阱底很接近，因此，當體系處于基態(tài)時，粒子出現(xiàn)在阱外的概率很小. 又由于體系處于基態(tài)時體系的波函數(shù)沒有節(jié)點，其主要部分應來自于諧振子的基態(tài)波函數(shù). 所以，我們可以用諧振子的基態(tài)波函數(shù)估算出一個較合適的α值.我們假設在基態(tài)時，體系的波函數(shù)近似由諧振子的基態(tài)波函數(shù)描述，且粒子出現(xiàn)在阱外的概率為1.0×10-7，這樣估算出α∶4.0 nm-1. 在下面的數(shù)值計算中我們分別取α等于4.0 nm-1,4.8 nm-1和6.5 nm-1，并對結(jié)果進行對比討論.

理論上來說基函數(shù)個數(shù)選取得越多結(jié)果越精確. 但基函數(shù)選得過多會導致計算速度過慢甚至無法進行. 一般來說，計算的能級越多，需要的基函數(shù)就越多，且隨著能級由低到高，計算結(jié)果的精確度依次降低. 因此，在選取基函數(shù)時我們應根據(jù)具體情況和要求，以及預計算的結(jié)果，對基函數(shù)的個數(shù)做一個適當?shù)慕財? 在實際問題中，我們所要計算的能級的個數(shù)(主要是基態(tài)和一些低激發(fā)態(tài))，或是問題本身的能級的個數(shù)一般都是有限的，因此只要適當選取足夠多的基函數(shù)，再根據(jù)預計算做適當?shù)脑鰷p，就可以確定一個既能得到較好的計算結(jié)果又不至于使計算速度過慢的基函數(shù)個數(shù)值. 對于本文的問題和選定的模型參數(shù)，預計算發(fā)現(xiàn)體系有11個束縛態(tài)能級. 由于我們想計算出體系所有的束縛態(tài)能級，因此，基函數(shù)的個數(shù)至少要有11個. 為了得到比較好的結(jié)果，我們分別選取基函數(shù)個數(shù)N=20，26和32進行計算和對比討論.

3.3方法的有效性和結(jié)果討論3.3.1方法的有效性

由于基函數(shù)有解析表示式，因此，用Mathematica或Matlab計算軟件比用Fortran和C語言要方便. 本文是用Mathematica[3]計算軟件進行的計算. 以基函數(shù)個N=26和基函數(shù)參數(shù)α=4.8 nm-1的計算結(jié)果為例，在表1中列出了計算所得出的全部11個束縛態(tài)能級本征值和在坐標表象下求解薛定諤方程得出的準確結(jié)果. 表1中E1～E11是體系具有的全部11個束縛態(tài)能級. 對比E1～E11的計算結(jié)果和準確結(jié)果，發(fā)現(xiàn)兩者符合得很好. 基態(tài)E1的誤差只有0.000 23 eV，為E1的2.14×10-3%；隨著能級的升高，誤差逐漸增大，但E10也只有0.0251 eV，占E10的不到4.0%；E11的誤差最大為0.043 eV，相對誤差也才有12%. 因此，用諧振子本征函數(shù)作為基函數(shù)，用基函數(shù)展開法得到的結(jié)果是相當準確的.這說明在一維諧振子基下，用基函數(shù)展開法求解該模型是有效的和可行的.

表1　基函數(shù)個數(shù)N=26，基函數(shù)參數(shù)α=4.8 nm-1的能級計算結(jié)果

3.3.2能級計算結(jié)果隨基函數(shù)個數(shù)的變化

在表2中我們列出了基函數(shù)參數(shù)α=4.8 nm-1時，基函數(shù)個數(shù)分別取N=20、26、32時的束縛態(tài)級的計算結(jié)果，以及用能量滿足的超越方程算出的準確結(jié)果.

表2　基函數(shù)參數(shù)α=4.8 nm-1和基函數(shù)個數(shù)分別為N=20、26、32時，能級的計算結(jié)果與準確結(jié)果對比

首先從表中看出，隨著基函數(shù)的增多，計算結(jié)果與準確結(jié)果的差別變小，表中N=32的結(jié)果與準確結(jié)果最接近，并且全部11個束縛態(tài)能級都符合得很好；其次，隨著基函數(shù)數(shù)目的減少，高能級逐漸出現(xiàn)較大偏差，且能級的偏差隨能級的降低依次遞減；第三，對于基態(tài)和較低的激發(fā)態(tài)能級，如E1～E4，三組不同數(shù)量的基底所給出的結(jié)果和準確結(jié)果都只在小數(shù)點后面第三位才出現(xiàn)差別. 這說明，這種方法計算量子體系的能級是可靠的，尤其是適合計算基態(tài)和低激發(fā)態(tài)能級. 同時也表明，基函數(shù)的個數(shù)的多少，對結(jié)果的準確程度有直接的影響；基函數(shù)愈多，結(jié)果愈準確. 但基函數(shù)過多會影響計算速度，并且在很多情況下也并不必要. 因此，我們可以根據(jù)實際計算的能級的個數(shù)和預計算情況確定一個適當?shù)臄?shù)目. 例如，本文的問題，如果我們只關心較低的幾個能級，N=20給出的結(jié)果已經(jīng)足夠好；如果我們只計算基態(tài)和前兩個激發(fā)態(tài)，我們所需的基函數(shù)的個數(shù)還可以更少.

3.3.3能級計算結(jié)果隨基函數(shù)參數(shù)的變化

我們固定基函數(shù)個N=32，分別取基函數(shù)參數(shù)α=4.0 nm-1，α=4.8 nm-1和α=6.5nm-1進行了計算，計算結(jié)見表3. 從表中可以看出，基函數(shù)的參數(shù)對結(jié)果也有重要的影響. 當N=32時，α=4.8 nm-1的結(jié)果最好，最接近于準確結(jié)果；而α取4.0nm-1和6.5 nm-1的結(jié)果都相對差一些. 因此，在用基函數(shù)展開法時，基函數(shù)參數(shù)的選取也是十分重要的. 具體計算中，基函數(shù)參數(shù)一般要根據(jù)問題的情況，通過理論估算和預計算確定.

表3　　　　基函數(shù)個數(shù)N=32和基函數(shù)參數(shù)分別為α=4.0 nm-1、4.8 nm-1、6.5 nm-1時，能級的計算結(jié)果與準確結(jié)果對比

3.3.4波函數(shù)計算結(jié)果與討論

從波函數(shù)的圖像來看，E1、E3和E6的波函數(shù)Φ1(x)、Φ3(x)和Φ6(x)明顯具有奇偶性. 這一點從3個波函數(shù)的疊加表示式中也能明顯的看出來.Φ1(x)和Φ3(x)全部是由偶宇稱諧振子波函數(shù)疊加而成，Φ6(x)則全部是由奇宇稱諧振子波函數(shù)疊加而成. 從波函數(shù)的疊加表示式我們還可以看出不同基函數(shù)對Φ1(x)、Φ3(x)和Φ6(x)的貢獻.例如，對基態(tài)波函數(shù)Φ1(x)，來自諧振子基態(tài)波函數(shù)ψ0(x)的貢獻占近80%，而ψ30(x)的貢獻僅占不到0.035%，并且隨著能級的升高，諧振子基態(tài)波函數(shù)ψ0(x)的貢獻越小，而高能級諧振子函數(shù)的貢獻逐漸增加.

Φ1(x)=-0.7955ψ0(x)-0.4555ψ2(x)-

0.3076ψ4(x)-0.2069ψ6(x)-

0.1296ψ8(x)-0.0690ψ10(x)-

0.02466ψ12(x)+0.00087ψ14(x)+

0.00725ψ16(x)+0.00175ψ18(x)-

0.00321ψ20(x)-0.00141ψ22(x)+

0.001769ψ24(x)+0.000550ψ26(x)-

0.001463ψ28(x)-0.000348ψ30(x)

Φ3(x)=0.5434ψ0(x)-0.2731ψ2(x)-

0.4812ψ4(x)-0.4681ψ6(x)-

0.3560ψ8(x)-0.2123ψ10(x)-

0.08278ψ12(x)+0.000570ψ14(x)+

0.0224ψ16(x)+0.00600ψ18(x)-

0.0098ψ20(x)-0.00462ψ22(x)+

0.00538ψ24(x)+0.00178ψ26(x)-

0.004518ψ28(x)-0.00117ψ30(x)

Φ6(x)=-0.39486ψ1(x)+0.61355ψ3(x)+

0.2425ψ5(x)-0.2684ψ7(x)-

0.4533ψ9(x)-0.3376ψ11(x)-

0.1199ψ13(x)+0.02437ψ15(x)+

0.0401ψ17(x)-0.00623ψ19(x)-

0.0226ψ21(x)+0.00157ψ23(x)+

0.01212ψ25(x)-0.00394ψ27(x)-

0.00743ψ29(x)+0.00397ψ31(x)

圖1　基態(tài)的本征函數(shù)Φ1(x)

圖2　第二激發(fā)態(tài)的本征函數(shù)Φ3(x)

圖3　第五激發(fā)態(tài)的本征函數(shù)Φ6(x)

4　 結(jié)論

本文詳細闡述了在一維諧振子基下，一維有限深對稱方勢阱問題的求解過程，并對求解的結(jié)果進行了對比討論. 我們的計算結(jié)果和在坐標表象下直接求解薛定諤方程得出的結(jié)果完全一致. 但從求解過程來看，這種方法顯得有些復雜和冗長. 我們知道，基函數(shù)展開方法主要用于復雜的多粒子量子體系的計算與分析，非常適合于用計算機進行大規(guī)模

數(shù)值計算，因此，用它來求解簡單的有限深方勢阱問題有點“大材小用”，且使得求解過程變得較為復雜.但正如本文前言中所述，我們的目的不在于尋求求解一維有限深方勢阱模型這個簡單問題的方法，也不在于比較不同方法的優(yōu)劣，而在于通過一個簡單模型的求解過程，來講解和闡述一個用于求解復雜量子體系問題的廣泛采用的重要方法，這也恰恰是講授和學習復雜問題及其求解方法所需要的. 本文雖然計算的是一個簡單問題，但求解過程卻涉及到了基函數(shù)展開法的幾乎所有重要環(huán)節(jié)，如問題的對稱性和邊界條件的考慮與基函數(shù)的選取，基函數(shù)參數(shù)和個數(shù)的確定，矩陣元的積分表示的推導，方法和計算代碼有效性的驗證，結(jié)果的討論等. 我們希望量子力學的學習者能通過這樣一個簡單問題的具體求解過程更容易地學習和更深刻地理解量子力學中的基函數(shù)展開法；同時，也希望提供一個適合于在量子力學教學中講解基函數(shù)展開法及其應用的范例. 另外，非對稱有限深方勢阱模型和半無限深方勢阱模型也是講解和學習基函數(shù)展開法的比較合適的簡單模型. 有興趣的讀者可以類比本文，對這些模型進行計算.

[1]曾謹言. 量子力學(卷Ⅰ)[M].3版. 北京：科學出版社，1983：62-65.

[2]柯善哲，肖?？?，江興方. 量子力學[M]. 北京：科學出版社，2006：67-71.

[3]洪維恩，魏寶琛. 數(shù)學運算大師Mathematica 4[M]. 北京：人民郵電出版社，2002.

Solution of one-dimensional finite symmetric square potential well model using the basis expansion method

WANG Zai-jun

(School of Science, Tianjin University of Technology and Education, Tianjin 300222, China)

The one-dimensional finite symmetric square potential well model is studied by using the basis expansion method. The results are in agreement well with those obtained ones by solving the Schr?dinger equation in the coordinate representation. The calculation is a good illustration of the basis expansion method in the quantum mechanics and provides a good example for teaching and studying of the method. In addition, numerical evaluation of the results also provides a good reference for teaching and studying of solving quantum problems by using computers.

one-dimensional finite symmetric square potential well model； basis expansion method； harmonic oscillator eigenfunction； matrix representation of operator

2015-07-07；

2016-01-22

國家自然科學基金(11275138)、天津職業(yè)技術師范大學科研基金(KJYB11-3)資助

王再軍(1964—)，男，河南濮陽人，天津職業(yè)技術師范大學教授，主要從事理論核物理和量子物理的研究和教學工作.

O 413.1

A

1000- 0712(2016)08- 0039- 05