于鳳軍
(安陽師范學院 物理與電氣工程學院,河南 安陽 455000)
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用功能原理分析秋千的擺動與旋轉(zhuǎn)
于鳳軍
(安陽師范學院 物理與電氣工程學院,河南 安陽455000)
采用非慣性系處理內(nèi)力做功問題,應用功能原理分析秋千的擺動與旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象.
秋千;振動;旋轉(zhuǎn);功能原理;內(nèi)力做功
秋千振蕩是一種有趣的共振現(xiàn)象,對此不少文獻[1-6]都做過研究. 研究方法大體分兩種:一種是求解參數(shù)振動的微分方程[2-5],另一種是從人在最低位置時突然升高過程中的角動量守恒出發(fā)[5,6](以下簡稱“角動量守恒法”)導出人體的動能增加,并解釋秋千的振幅越來越大的現(xiàn)象[5].除這兩種方法外,還可以先把上述動能的增加推斷為內(nèi)力做功的一部分,再加上另一部分(人抵抗重力做功部分)計算出內(nèi)力總功,最后由功能原理解釋機械能增大現(xiàn)象[6]. 本文不使用角動量守恒定律,直接從功能原理出發(fā)(以下簡稱“功能原理法”)分析這一現(xiàn)象. 對于秋千的旋轉(zhuǎn)運動,在相關文獻中尚未見到介紹,本文也討論之.
設秋千的懸點O通過一個支架與地面固結(jié),在O處裝有光滑鉸鏈,秋千踏板通過一個剛性桿與該鉸鏈相連,人的腳底固結(jié)在秋千踏板上. 取人體、地球 (把秋千設備包含在地球內(nèi))為研究系統(tǒng). 這時系統(tǒng)無外力作用,內(nèi)力包括:人體與地球之間的引力(重力)、人腳與秋千踏板之間的壓力、秋千設備與地球之間在點O處的約束力、人體內(nèi)部各組織之間的相互作用力. 在蕩秋千過程中,因重力是保守力,如果取機械能中包括重力勢能,就不能考慮重力做功;人腳與秋千踏板之間無相對位移以及鉸鏈是光滑的,故相應的內(nèi)力不做功;人體內(nèi)部各組織之間有相對位移,因此人體內(nèi)力做功. 在忽略空氣等阻力因素的前提下,人體內(nèi)力做功是系統(tǒng)機械能變化的唯一因素.
如圖1,假設人體質(zhì)心的最低位置為A,t=0時刻人體質(zhì)心處在最低點A,以速度v0沿水平方向向左運動. 顯然,秋千在每一個運動周期中,人體通過點A時要站起2次,該質(zhì)心有兩次閉合循環(huán)運動,其一為左側(cè)循環(huán):A→B→C→D→A,我們把該循環(huán)定義作第n次(n取奇數(shù))循環(huán),設該循環(huán)對應的最大擺角φn=∠AOD,循環(huán)結(jié)束瞬間質(zhì)心在點A的速度為 vn(方向朝右,因結(jié)束前質(zhì)心從D向A運動);其二為右側(cè)循環(huán):A→B→N→M→A,我們把此循環(huán)叫做第n+1次循環(huán),設此循環(huán)對應的最大擺角φn+1=∠AOM,循環(huán)結(jié)束瞬間人體質(zhì)心在點A的速度為 vn+1(方向朝左,因結(jié)束前質(zhì)心從M向A運動). 需要說明二點:vn既是第n次循環(huán)結(jié)束瞬間人體質(zhì)心在點A的速度,也是第n+1次循環(huán)開始瞬間人體質(zhì)心在點A的速度;圖1中vn+1和vn是質(zhì)心在同一點A不同時刻的速度.
圖1
(1)
(2)
(3)
式(3)是一個遞推公式,利用恒等式x=eln x和級數(shù)展開ln(1+y)≈y(y<<1),式(3)變?yōu)?/p>
(4)
即系統(tǒng)機械能隨人體的站起次數(shù)n作指數(shù)增加. 另外,DA過程中的機械能也是守恒的,即
(5)
由式(4)和式(5)得
(6)
上式中正負號分別對應n為偶數(shù)和奇數(shù),φn為負時,表示擺動到左側(cè),φn為正時,表示擺動到右側(cè). 以上推導中,除對ε<<1(或h< 取v0=1 m/s,R=5 m,ε=0.02,g=9.8 m/s2,由式(6)作秋千擺幅φn隨n變化的關系如圖2. 由圖2可知,隨人體站起次數(shù)增加,秋千擺幅愈來愈大,這與實際情況定性相符. 圖2 圖3 (7) 由功能原理得相鄰兩周的系統(tǒng)機械能增量為 (8) 即機械能之差為常數(shù),機械能隨人體站起次數(shù)按算術級數(shù)增加,而秋千擺動時人體相鄰兩次經(jīng)過A點的機械能之比為常數(shù)(見式(3)),機械能隨人體站起次數(shù)按幾何級數(shù)增加. (9) (10) 小結(jié):從文獻[5]、文獻[6]和本文的討論過程上看,“角動量守恒法”可以使學生加深對角動量守恒定律的理解,直觀地理解秋千振幅增大的機理;“功能原理法”可以使學生加深對功能原理的理解,直觀地理解蕩秋千過程中的能量轉(zhuǎn)化問題,兩種方法在物理上各有特色. 在處理秋千旋轉(zhuǎn)問題時,應用“功能原理法”并且采用非慣性系處理人體內(nèi)力做功問題,推導過程會更加簡便. 當忽略摩擦阻尼時,蕩秋千擺動時系統(tǒng)的機械能隨人體的站起次數(shù)按幾何級數(shù)增加,而秋千旋轉(zhuǎn)時它按算術級數(shù)增加,這是秋千的旋轉(zhuǎn)和擺動的主要區(qū)別之一. [1]漆安慎,杜嬋英. 普通物理學教程:力學[M]. 北京:高等教育出版社,1997:292. [2]劉世清. 秋千非線性參變共振的分析[J] . 大學物理,2001, 20(10) : 15-17. [3]劉世清. 秋千非線性參變共振解的簡單推導[J] . 大學物理,2004, 23(4) : 30-31. [4]付茂林, 鄒喜洋, 劉世清. 一個新的秋千參激振動的數(shù)學模型 [J] . 大學物理,2004, 23(7) : 13-15. [5]佘守憲. 秋千——力學模型,初等分析與參數(shù)共振微擾解析解 [J] . 大學物理,2005, 24(5) : 5-12. [6]賀承緒, 張可,等. 關于蕩秋千的能量分析[J] . 物理與工程,2005, 15(1) : 25-26. An analysis of oscillation and rotation of swing with the principle of work and energy YU Feng-jun (College of Physics and Electrical Engineering, Anyang Normal University, Anyang, Henan 455000, China) :By using internal force doing work in non-inertial frame, the oscillation and rotation of swing are analyzed based on the principle of work and energy. swing;oscillation;rotation;principle of work and energy;internal force doing work 2015-03-30; 2015-07-26 于鳳軍(1959—),男,河南安陽人,安陽師范學院物理與電氣工程學院教授,主要從事理論物理、天體力學研究和教學工作. 教學討論 O 313.1 A 1000- 0712(2016)02- 0014- 032 秋千的旋轉(zhuǎn)