林東升

摘 要：二次函數(shù)與三角形、四邊形常常綜合在一起運(yùn)用，解決這類問題需要用到數(shù)形結(jié)合思想，把“數(shù)”與“形”結(jié)合起來，互相滲透。解答這類題型貴在分析，理清解題思路與方法，條件與結(jié)論如何有機(jī)地綜合在一起考慮解答。這種存在探索型問題是指在給定條件下，判斷某種數(shù)學(xué)現(xiàn)象是否存在，某個結(jié)論是否出現(xiàn)的問題。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；存在性；數(shù)形結(jié)合

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）16-081-02

二次函數(shù)與三角形、四邊形常常綜合在一起運(yùn)用，解決這類問題需要用到數(shù)形結(jié)合思想，把“數(shù)”與“形”結(jié)合起來，互相滲透。存在探索型問題是指在給定條件下，判斷某種數(shù)學(xué)現(xiàn)象是否存在，某個結(jié)論是否出現(xiàn)的問題。解決這類問題的一般思路是先假設(shè)結(jié)論的某一方面存在，然后在這個假設(shè)下進(jìn)行演繹推理，若推出矛盾，即可否定假設(shè)；若推出合理結(jié)論，則可肯定假設(shè)。

探究一、二次函數(shù)與三角形的結(jié)合

例1、如圖，對稱軸為直線x=-1的拋物線 與x軸的交點(diǎn)為A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0）.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）已知a=1，C為拋物線與y軸的交點(diǎn).

①若點(diǎn)P在拋物線上，且 ，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長度的最大值.

分析：

（1）拋物線的解析式未知，不能通過解方程的方法確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，能求出B點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？ （2）要求拋物線解析式應(yīng)具備哪些條件？ 由a=1，A（-3，0），B（1，0）三個條件試一試； （3）根據(jù) 列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值； （4）如何用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式？ （5）D點(diǎn)的坐標(biāo)怎么用x來表示？ （6）QD怎樣用含x的代數(shù)式來表示？ （7）QD與x的函數(shù)關(guān)系如何？是二次函數(shù)嗎？如何求出最大值？ 解：（1）由題意知：點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線x=-1對稱，A（-3，0），∴B（1，0）.

（2）①當(dāng)a=1時，則b=2，把A（-3，0）代入 中得c=-3，

∴該拋物線解析式為 ，

∵ ，∴ ，

又 ，∴ ，∴ ，

當(dāng) 時， ；

當(dāng) 時， ；

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，21）或（-4，5）.

②∵A（-3，0），C（0，-3），則直線AC的解析式為y=-x-3.

設(shè)點(diǎn)Q為（a，-a-3），點(diǎn)D為（ ， ），

∴

當(dāng) 時，QD有最大值，其最大值為 。

探究二、二次函數(shù)與四邊形的結(jié)合

例2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) 的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，-3），點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一動點(diǎn)。

（1）求這個二次函數(shù)的解析式.

（2）連接PO、PC，并將△POC沿y軸對折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使得四邊形POP′C為菱形？若存在，求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.

分析：

（1）圖中已知拋物線上幾個點(diǎn)？ 將B、C的坐標(biāo)代入求拋物線的解析式； （2）畫出四邊形POP′C，若四邊形POP′C為菱形，那么P點(diǎn)必在OC的垂直平分線上，由此能求出P點(diǎn)坐標(biāo)嗎？ （3）由于△ABC的面積為定值，求四邊形ABPC的最大面積，即求△BPC的最大面積.

解：（1）將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入 ，得 ，解得

∴這個二次函數(shù)的解析式為 。

（2）假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P（x， ），使得四邊形POP′C為菱形，連接PP′交CO于點(diǎn)E，∵四邊形POP′C為菱形，∴PC=PO，PE⊥CO，∴OE=EC=32，∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ，即 ，解得 ， （不合題意，舍去）?！啻嬖邳c(diǎn)P（ ， ），使得四邊形POP′C為菱形。

（3）過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)Q，交OB于點(diǎn)F，設(shè)P（x， ），由 得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），∵B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3），∴直線BC的解析式為：y=x-3，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x-3），

∴AB=4，CO=3，BO=3， ，

∴當(dāng)x=32時，四邊形ABPC的面積最大.，此時P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ，四邊形ABPPC的最大面積為 。

求四邊形面積的函數(shù)關(guān)系式，一般是利用割補(bǔ)法把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積的和或差。