姜愛平

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線性代數(shù)中矩陣章節(jié)基本概念及性質(zhì)的教學(xué)方法探討

姜愛平

（寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)計算機學(xué)院，寧夏 銀川 750021）

線性代數(shù)中矩陣章節(jié)的基本概念及性質(zhì)較多且抽象，而基本概念及性質(zhì)的理解直接影響學(xué)生對本課程知識的掌握和學(xué)習(xí)興趣．結(jié)合教學(xué)實踐，從注重基本概念的應(yīng)用背景、重視基本概念在學(xué)科發(fā)展中的作用等方面將枯燥抽象的基本概念化為具體生動的問題，這對激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性和嚴謹性，提高其實踐創(chuàng)新能力具有一定意義.

線性代數(shù)；矩陣；基本概念

線性代數(shù)是很多高校理工科、經(jīng)管和農(nóng)林等專業(yè)開設(shè)的一門公共基礎(chǔ)課，該課程基本概念較多且抽象，知識具有較強的連貫性，這對大多數(shù)非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生而言，普遍感到學(xué)習(xí)較困難，學(xué)習(xí)興趣下降．另外，各高校進行的教育教學(xué)改革，使得理論學(xué)時由64學(xué)時減少為32學(xué)時，這使得教學(xué)質(zhì)量難以保障[1-2]．線性代數(shù)這門課程主要借助行列式和矩陣等工具研究線性空間的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，因此，矩陣章節(jié)知識點的掌握好壞，對后續(xù)知識的學(xué)習(xí)和理解至關(guān)重要．本文結(jié)合教學(xué)實踐，針對矩陣章節(jié)重要基本概念及性質(zhì)的教學(xué)方法，從注重基本概念的背景知識，重視基本概念在學(xué)科發(fā)展中的作用等方面進行探討，以期將枯燥抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為生動具體的實際問題，既激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)新實踐能力．

1注重基本概念的應(yīng)用背景

線性代數(shù)課程中矩陣章節(jié)的一些基本概念有很強的實際應(yīng)用背景，若在講授這些基本概念之前，能從實際問題出發(fā)，通過歸納總結(jié)，提煉成數(shù)學(xué)問題，進而解決問題，并應(yīng)用到實際生活當中，這將對激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高課堂教學(xué)效果，培養(yǎng)學(xué)生實踐創(chuàng)新能力等有很大幫助．

例1[3]假定某地區(qū)人口總數(shù)保持不變，每年有5%的農(nóng)村人口流入城鎮(zhèn)，有1%的城鎮(zhèn)人口流入農(nóng)村，求年后該地區(qū)的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口的比例，分析最終是否會趨于一個穩(wěn)定狀態(tài)．

例2[4]在通信或信號處理等相關(guān)領(lǐng)域，若規(guī)定1~26個數(shù)字與26個英文字母一一對應(yīng)，假設(shè)密鑰矩陣，已知接收信號為，求發(fā)出信號．

2重視基本概念在學(xué)科發(fā)展中的作用

任何一個學(xué)科的誕生和發(fā)展都離不開現(xiàn)實問題的出現(xiàn)和解決．因此，教師在授課之前應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多思考，理清為什么要學(xué)習(xí)這個概念，有什么問題需要解決，怎么解決等．將知識轉(zhuǎn)化為思考，讓學(xué)生參與進來，體會到思考和學(xué)習(xí)帶來的快樂，感受到學(xué)科發(fā)展的曲折，如此，方能達到教書育人的目的．如在學(xué)習(xí)行列式的定義之前，通過觀察二元一次線性方程組其解的表達式，發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)復(fù)雜且具有一定的規(guī)律和特點，自然就會想到，若規(guī)定，則該方程組其解的表達式大為簡化，即，，其中：為線性方程組系數(shù)所構(gòu)成的二階行列式，為中第列被常數(shù)項代替后形成的行列式．以此類推，可以給出三階行列式的定義．針對四階行列式的展開式項數(shù)的猜想，有2種不同的答案，即根據(jù)對角線法則得出的8項和觀察二階、三階行列式的展開式得出的4！項．針對這個問題，依然可以通過解四元一次線性方程組，觀察其解的結(jié)構(gòu)，得出四階行列式的展開式應(yīng)該是項．當然，也可以通過逆序數(shù)和全排列等知識，得出同樣的結(jié)論．

對于矩陣的秩等基本概念的學(xué)習(xí)，課堂上教師可以設(shè)問幾個問題，如為什么要學(xué)習(xí)這個概念，哪些問題需要解決等．實際上，對于元一次線性方程組，克拉默法則僅適用于方程個數(shù)等于未知元個數(shù)，且系數(shù)行列式時線性方程組解的判定，然而對于當系數(shù)行列式情況和方程個數(shù)不等于未知元個數(shù)時方程組解的判定等問題尚不清楚．同時，若矩陣，則相互等價，即它們的行階梯形矩陣非零行的行數(shù)是唯一不變的，這個參數(shù)其實就反映了矩陣的本質(zhì)屬性，就是后面要學(xué)習(xí)矩陣的秩這個概念．實際上，即使學(xué)習(xí)了矩陣的秩，掌握了線性方程組解的判定定理后，當方程組有無窮多解時，各個解之間的關(guān)系以及解的結(jié)構(gòu)是什么等問題仍不清楚，這就是需要學(xué)習(xí)向量組這一章的原因．所以，課堂上，尤其是在學(xué)習(xí)新的概念和定義之前，授課教師應(yīng)該循循善誘，因勢利導(dǎo)，讓學(xué)生了解到學(xué)科知識的來龍去脈，前因后果，這在培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性和知識的系統(tǒng)性等方面可起到事半功倍的效果．

3多角度深化基本概念及性質(zhì)

對于教材上的定義和性質(zhì)，可從不同角度舉一反三，深化知識，開闊思路，最終學(xué)以致用．如二階行列式可看成是由其列元素為向量坐標的２個向量所張成的平行四邊形的面積，三階行列式可看成由其列元素作為向量坐標的３個向量張成的平行六面體的體積，依次類推，階行列式可看成是由個向量張成的維平行多面體的體積[5]；文獻[6]中有關(guān)于施密特正交化（schimidt）數(shù)學(xué)公式，即

圖1 施密特正交化的幾何解釋

另外，對矩陣特征值和特征向量的定義也可進一步地深入學(xué)習(xí)，由可知，若為實數(shù)，表明非零向量在變換的作用下伸長或者壓縮，方向相反或者相同；若為復(fù)數(shù)，即，則表明非零向量在變換的作用下伸長倍，同時旋轉(zhuǎn)角度．

除了從幾何角度進行研究外，一一對應(yīng)的思想也可以輔助理解新的性質(zhì)，如矩陣與線性變換一一對應(yīng)，可通過分析研究線性變換所具有的性質(zhì)，來達到研究對應(yīng)矩陣的目的．

4重視基本概念中的“同”和“異”

類比歸納是一種常見的數(shù)學(xué)思想方法，通過比較發(fā)現(xiàn)２種不同屬性事物的“同”和“異”，對于相同之處，進行歸納總結(jié)，提煉形成抽象理論，對于“不同”之處，則分析研究其具體原因．通過長期的思維訓(xùn)練，相信這對深入理解基本概念及其性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴謹性具有很好的幫助作用[7-8]．如行列式的加法運算與矩陣的加法運算的“同”與“異”，相同之處是均為實數(shù)的加法運算，不同之處在于前者僅對同一行（列）元素加法運算，其他行（列）元素保持不變，而后者是對同型矩陣所有元素均進行加法運算；行列式的數(shù)乘運算與矩陣的數(shù)乘運算的“同”與“異”，相同之處是書寫形式相同，不同之處在于行列式的數(shù)乘僅僅是對某一行（列）元素乘以該常數(shù)，而矩陣的數(shù)乘表示所有元素均乘以該常數(shù)；實數(shù)運算所滿足的運算規(guī)律（如交換律，結(jié)合律和分配律）與矩陣運算滿足運算律（結(jié)合律和分配律）之間的“同”與“異”；矩陣乘積的轉(zhuǎn)置運算與矩陣乘積的逆運算

5注重基本概念的歸納和推廣

在學(xué)習(xí)矩陣的線性運算、乘法運算和轉(zhuǎn)置運算后，同濟大學(xué)編著的《線性代數(shù)》[6]在后續(xù)章節(jié)介紹了伴隨矩陣、方陣的行列式、逆矩陣以及矩陣的初等變換等基本概念，實際上伴隨矩陣、方陣的行列式、逆矩陣、矩陣的初等變換以及矩陣對角化等都可以理解為矩陣的運算．由其運算結(jié)果可知，矩陣運算結(jié)果可以是數(shù)（如行矩陣左乘列矩陣、方陣的行列式），也可以是矩陣．矩陣的秩與向量組的秩（或最大無關(guān)組所含向量的個數(shù)）、解空間的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)以及向量空間的維數(shù)等概念之間的關(guān)系，實際上屬于層層遞推，是概念的延伸和推廣．除此之外，由線性方程組解的判定定義也可直接推廣得到向量由向量組線性表示的判定定理．所以，教師在講授新概念的同時，若注重知識的連貫和銜接以及概念的外延，從某種程度上能有效地提高課堂效果，保障教學(xué)質(zhì)量．

線性代數(shù)課程主要內(nèi)容是借助行列式和矩陣等工具研究線性方程組解空間的結(jié)構(gòu)，探討線性空間及線性變換等基本性質(zhì)．而矩陣章節(jié)所涉及的基本概念和性質(zhì)多且抽象，學(xué)生不易理解．為此，本文結(jié)合教學(xué)實踐，通過注重基本概念的應(yīng)用背景，重視基本概念在學(xué)科發(fā)展中的作用，多角度深化基本概念及性質(zhì)，重視基本概念中的“同”和“異”，注重基本概念的歸納和推廣等5個方面重視基本概念及其性質(zhì)的課堂講授和練習(xí)，這對提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)求知欲，完善知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的實踐創(chuàng)新能力具有一定的實際意義．

[1] 王建鵬，馬會禮．工科線性代數(shù)課程教學(xué)改革研究[J]．高師理科學(xué)刊，2015，35（1）：71-73

[2] 孫春濤，蹇紅．關(guān)于線性代數(shù)課程教學(xué)方法的探討[J]．教育教學(xué)論壇，2014（22）：70-71

[3] 李秀蘭，張紅玉．線性代數(shù)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[J]．山西大同大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，26（4）：3-4

[4] 孫延修．線性代數(shù)教學(xué)方法的思考與探索[J]．高師理科學(xué)刊，2013，33（5）：103-105

[5] 陳佘喜．加強線性代數(shù)教學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力[J]．當代教育理論與實踐，2013，5（4）：109-111

[6] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系．工程數(shù)學(xué)·線性代數(shù)[M]．5版．北京：高等教育出版社，2007

[7] 張莉，周羚君．類比方法在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，2014，30（6）：67-69

[8] 李俊華，陳艷菊．淺談數(shù)學(xué)思想在線性代數(shù)概念教學(xué)中的應(yīng)用[J]．教育教學(xué)論壇，2015（10）：181-182

Research on the teaching method of the definition and properties about the matrix in linear algebra

JIANG Ai-ping

（School of Mathematics and Computer Science，Ningxia University，Yinchuan 750021，China）

The basic concepts and properties about the matrix in linear algebra are more abstract，which directly affect students to master this course knowledge and interest in learning．Try to change the abstract concept into specific problem in the way of paying attention to the application background of the concept，the role of concept in the subject development，etc．Which is interesting for stimulating students′ thirst for knowledge，training logical thinking and improving the practice innovation ability．

linear algebra；matrix；basic concept

O151.2∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.03.014

2015-11-01

寧夏大學(xué)教育教改項目

姜愛平（1981-），女，河南漯河人，副教授，碩士，從事灰色系統(tǒng)理論研究．E-mail：jiangaiping2000@126.com