馬建清
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研究性教學(xué)在復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)中的應(yīng)用
馬建清[1]
(武漢科技大學(xué) 理學(xué)院,湖北 武漢 430065)
研究性教學(xué)是我國高等教育教學(xué)改革的熱點(diǎn)之一,利用研究性教學(xué)討論了復(fù)變函數(shù)中的利用柯西積分公式,高階導(dǎo)數(shù)公式與留數(shù)定理求積分的區(qū)別和聯(lián)系,并且分析出這些方法之間的優(yōu)缺點(diǎn),使學(xué)生對求積分有一個(gè)清楚的認(rèn)識.
研究性教學(xué);柯西積分公式;高階導(dǎo)數(shù)公式;留數(shù)定理
研究性教學(xué)是一種開放式的教學(xué),在研究性教學(xué)的過程中,既發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用,又體現(xiàn)了學(xué)生的主體作用,并且激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,增強(qiáng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力[1-2].復(fù)變函數(shù)作為高等數(shù)學(xué)的后續(xù)課程,理論性強(qiáng),課時(shí)不足,學(xué)生學(xué)起來很困難.如果采用傳統(tǒng)的教學(xué)方式,教師講授,學(xué)生被動(dòng)接受,學(xué)生感覺枯燥、難懂[3].因此,在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)中,需要教師嘗試采用多種方式教學(xué),充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,力求達(dá)到良好的教學(xué)效果.本文以復(fù)變函數(shù)中的復(fù)變函數(shù)積分為例開展研究性教學(xué),取得很好的教學(xué)效果.
復(fù)變函數(shù)積分是復(fù)變函數(shù)中的一個(gè)重要概念.教材[4-5]中的第三章對于各種類型的積分分別介紹了相應(yīng)的計(jì)算方法,尤其對于函數(shù)沿著閉曲線的積分.當(dāng)曲線內(nèi)有一個(gè)奇點(diǎn)時(shí),可以分別用柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算函數(shù)沿著閉曲線的積分;當(dāng)曲線內(nèi)不止一個(gè)奇點(diǎn)時(shí),可以先利用復(fù)合閉路定理,轉(zhuǎn)化為曲線內(nèi)有一個(gè)奇點(diǎn)的形式,然后再來求函數(shù)沿著閉曲線的積分.而在第五章介紹了留數(shù)之后,復(fù)變函數(shù)沿閉曲線的積分又可以用留數(shù)定理來求.但是柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式與留數(shù)定理到底有什么區(qū)別和聯(lián)系,什么情況下用哪種方法好一些,學(xué)生往往很迷茫,有學(xué)生就此提出了問題.本文采用研究性教學(xué),找出柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式與留數(shù)定理之間的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別,并且分析出這些方法的優(yōu)缺點(diǎn).
讓學(xué)生比較這2種方法,通過比較有學(xué)生給出了結(jié)論:留數(shù)定理事實(shí)上是把柯西積分公式中與相乘的因子用一個(gè)留數(shù)表示出來,其本質(zhì)是一樣的.
學(xué)生比較這2種方法,發(fā)現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)公式與留數(shù)定理在計(jì)算曲線內(nèi)的奇點(diǎn)是高階極點(diǎn)時(shí)本質(zhì)也是一樣的.但是利用留數(shù)定理時(shí)求留數(shù)必須要先弄清楚極點(diǎn)的階數(shù),而高階導(dǎo)數(shù)公式則不需要.
有學(xué)生提出問題:既然柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式與留數(shù)定理在上述情況下本質(zhì)是一樣的,有時(shí)甚至還更簡單,為什么還要提出留數(shù)定理.于是給出例1.