馬建清

?

研究性教學(xué)在復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)中的應(yīng)用

馬建清[1]

（武漢科技大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430065）

研究性教學(xué)是我國高等教育教學(xué)改革的熱點(diǎn)之一，利用研究性教學(xué)討論了復(fù)變函數(shù)中的利用柯西積分公式，高階導(dǎo)數(shù)公式與留數(shù)定理求積分的區(qū)別和聯(lián)系，并且分析出這些方法之間的優(yōu)缺點(diǎn)，使學(xué)生對求積分有一個(gè)清楚的認(rèn)識．

研究性教學(xué)；柯西積分公式；高階導(dǎo)數(shù)公式；留數(shù)定理

研究性教學(xué)是一種開放式的教學(xué)，在研究性教學(xué)的過程中，既發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用，又體現(xiàn)了學(xué)生的主體作用，并且激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力[1-2]．復(fù)變函數(shù)作為高等數(shù)學(xué)的后續(xù)課程，理論性強(qiáng)，課時(shí)不足，學(xué)生學(xué)起來很困難．如果采用傳統(tǒng)的教學(xué)方式，教師講授，學(xué)生被動(dòng)接受，學(xué)生感覺枯燥、難懂[3]．因此，在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)中，需要教師嘗試采用多種方式教學(xué)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，力求達(dá)到良好的教學(xué)效果．本文以復(fù)變函數(shù)中的復(fù)變函數(shù)積分為例開展研究性教學(xué)，取得很好的教學(xué)效果．

復(fù)變函數(shù)積分是復(fù)變函數(shù)中的一個(gè)重要概念．教材[4-5]中的第三章對于各種類型的積分分別介紹了相應(yīng)的計(jì)算方法，尤其對于函數(shù)沿著閉曲線的積分．當(dāng)曲線內(nèi)有一個(gè)奇點(diǎn)時(shí)，可以分別用柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算函數(shù)沿著閉曲線的積分；當(dāng)曲線內(nèi)不止一個(gè)奇點(diǎn)時(shí)，可以先利用復(fù)合閉路定理，轉(zhuǎn)化為曲線內(nèi)有一個(gè)奇點(diǎn)的形式，然后再來求函數(shù)沿著閉曲線的積分．而在第五章介紹了留數(shù)之后，復(fù)變函數(shù)沿閉曲線的積分又可以用留數(shù)定理來求．但是柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式與留數(shù)定理到底有什么區(qū)別和聯(lián)系，什么情況下用哪種方法好一些，學(xué)生往往很迷茫，有學(xué)生就此提出了問題．本文采用研究性教學(xué)，找出柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式與留數(shù)定理之間的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，并且分析出這些方法的優(yōu)缺點(diǎn)．

讓學(xué)生比較這２種方法，通過比較有學(xué)生給出了結(jié)論：留數(shù)定理事實(shí)上是把柯西積分公式中與相乘的因子用一個(gè)留數(shù)表示出來，其本質(zhì)是一樣的．

學(xué)生比較這２種方法，發(fā)現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)公式與留數(shù)定理在計(jì)算曲線內(nèi)的奇點(diǎn)是高階極點(diǎn)時(shí)本質(zhì)也是一樣的．但是利用留數(shù)定理時(shí)求留數(shù)必須要先弄清楚極點(diǎn)的階數(shù)，而高階導(dǎo)數(shù)公式則不需要．

有學(xué)生提出問題：既然柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式與留數(shù)定理在上述情況下本質(zhì)是一樣的，有時(shí)甚至還更簡單，為什么還要提出留數(shù)定理．于是給出例1．