蔣巧云，袁邢華

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稠密集與疏朗集

蔣巧云1，袁邢華

（南通大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南通 226019）

從定義、基數(shù)和測度等方面討論了稠密集與疏朗集之間的關(guān)系，使得學(xué)生更好地了解和掌握這個(gè)內(nèi)容．

基數(shù)；測度；稠密集；疏朗集

實(shí)變函數(shù)是本科階段數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課，由于該課程具有概念性強(qiáng)、內(nèi)容抽象、推理嚴(yán)謹(jǐn)、題目難做等特點(diǎn)．因此，成為數(shù)學(xué)系專業(yè)課程中公認(rèn)的既難教又難學(xué)的一門課程．把握好教材教法是上好這門課的關(guān)鍵，本文就稠密集與疏朗集作出一些簡單的探討．

1　定義

定義1[1]設(shè)，若，則稱為中的稠密集；若，則稱為中的無處稠密集（疏朗集）；可數(shù)多個(gè)無處稠密集（疏朗集）的并集稱為第一綱集，不是第一綱集的集合稱為第二綱集．

定義2[2]設(shè)，若對(duì)于任意，有，則稱為中的稠密集；設(shè)，若，有，則稱為中的無處稠密集（疏朗集）．

2　稠密集與疏朗集的關(guān)系

定理疏朗集的余集一定是稠密集，但稠密集的余集不一定是疏朗集．

但稠密集的余集不一定是疏朗集．如直線上無理數(shù)全體所成之集為中的稠密集，但它的余集即直線上有理數(shù)全體所成之集也為中的稠密集． 證畢．

3　稠密集與疏朗集的基數(shù)

稠密集與疏朗集的基數(shù)有如下3種情況：

（1）稠密集的基數(shù)大于疏朗集的基數(shù)．直線上有理數(shù)全體所成之集為稠密集而，直線上有限多個(gè)孤立點(diǎn)所成之集為疏朗集而（有限數(shù)），則；直線上無理數(shù)全體所成之集為稠密集而，直線上整數(shù)全體所成之集為疏朗集而，則．

（2）稠密集的基數(shù)等于疏朗集的基數(shù)．直線上有理數(shù)全體所成之集為稠密集而，直線上整數(shù)全體所成之集為疏朗集而，則；直線上無理數(shù)全體所成之集為稠密集而，區(qū)間上的康托三分集為疏朗集而，則．

（3）稠密集的基數(shù)小于疏朗集的基數(shù)．直線上有理數(shù)全體所成之集為稠密集而，區(qū)間上的康托三分集為疏朗集而，則．

４　稠密集與疏朗集的測度

（1）稠密集的測度可能為零也可能不為零．直線上有理數(shù)全體所成之集稠密集而，直線上無理數(shù)全體所成之集為稠密集而．

（2）疏朗集的測度可能為零也可能不為零．直線上整數(shù)全體所成之集為疏朗集，區(qū)間上的康托三分集為疏朗集．而．

注類似作法[4]可構(gòu)造一個(gè)疏朗集合，使為正數(shù)，

實(shí)變函數(shù)課程由于其抽象性，對(duì)于任課教師教好這門課是個(gè)挑戰(zhàn)，需要任課教師不斷改進(jìn)教學(xué)方法，總結(jié)和梳理知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，努力提高自身的素質(zhì)來更好地完成這個(gè)教學(xué)過程[5]．

[1] 程其襄，張奠宙，魏國強(qiáng)，等．實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M]．2版．北京：高等教育出版社，2003

[2] 周明強(qiáng)．實(shí)變函數(shù)論[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2001

[3] 張喜堂．實(shí)變函數(shù)論的典型問題與方法[M]．武漢：華中師范大學(xué)出版社，2002

[4] 周明強(qiáng)．實(shí)變函數(shù)解題指南[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2007

[5] 袁邢華，蔣巧云．《實(shí)變函數(shù)》課程教學(xué)的感受[J]．中國科學(xué)教育，2009（4）：26-27

Simple discussion about dense set and nowhere dense set

JIANG Qiao-yun，YUAN Xing-hua

（School of Science，Nantong University，Nantong 226019，China）

The relationship between the dense set and nowhere dense set is discussed from definition，cardinal number and measure，then makes students understand and master this content better.

cardinal number；measure；dense set；nowhere dense set

1007-9831（2016）09-0061-03

O17∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.09.018

2016-06-06

蔣巧云（1979-），女，江蘇南通人，講師，碩士，從事函數(shù)論研究．E-mail：ntsandy2004@ntu.edu.cn