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【摘要】數(shù)學(xué)教育的根本目的在于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心構(gòu)成要素.數(shù)學(xué)探究活動是以學(xué)生能主動發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題以及解決問題為目的的學(xué)習(xí)活動，這種學(xué)習(xí)活動有三種形式，分為四個過程.開展探究活動的關(guān)鍵在于設(shè)計有價值的問題，學(xué)生在問題引導(dǎo)下大膽進(jìn)行探究，在探究過程中，教師要給學(xué)生留出足夠的探究時間并給予必要的指導(dǎo).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)探究；設(shè)計問題；探究發(fā)現(xiàn)；問題解決

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）（以下簡稱《課標(biāo)（2011年版）》）指出：“數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需的數(shù)學(xué)知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用.”[1]數(shù)學(xué)教育的根本目的是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心構(gòu)成要素.在教學(xué)中，結(jié)合具體內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生積極開展探究活動是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的主要途徑.1對數(shù)學(xué)探究的再認(rèn)識

數(shù)學(xué)探究是指學(xué)生在教師的啟發(fā)誘導(dǎo)下，以獨立自主學(xué)習(xí)和合作討論為前提，以解決問題為探究內(nèi)容，以學(xué)生能主動發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題為目的的學(xué)習(xí)活動.

1.1探究活動的基本形式

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身就是一個師生共同探究的過程，數(shù)學(xué)探究活動的主體是學(xué)生，從這個意義上講，學(xué)生的探究活動可分為三種基本形式[2]：

（1）獨立探究

獨立探究是指學(xué)生個體對所探究的問題進(jìn)行獨立思考與探究，是探究活動的最基本形式.教學(xué)中對于一些較為簡單的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，我們可以通過創(chuàng)設(shè)一定的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考與探究，在獨立探究的過程中自主發(fā)現(xiàn)有關(guān)知識，完成對《課標(biāo)（2011年版）》界定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí).

（2）合作探究

合作探究是在合作學(xué)習(xí)的前提下進(jìn)行的，是指學(xué)習(xí)小組內(nèi)學(xué)生之間對探究問題共同進(jìn)行探究活動，合作探究一般是在學(xué)生已經(jīng)經(jīng)過獨立探究活動，但探究的問題仍得不到很好解決的前提下所采取的一種探究活動方式.

（3）引導(dǎo)探究

引導(dǎo)探究是在教師引導(dǎo)下學(xué)生對問題進(jìn)行的研究，引導(dǎo)探究一般是在學(xué)生已經(jīng)經(jīng)過獨立探究與合作探究活動，但絕大多數(shù)學(xué)生對所探究的問題仍感到無能為力或束手無策時所采取的一種探究方式.引導(dǎo)探究活動的方式是在學(xué)生獨立探究與合作探究的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.

由于探究問題的難度不同、加上學(xué)生的探究能力也存在一定的差異，所以選擇探究活動的方式也往往有所不同.在課堂教學(xué)中，不管采用哪種探究方式，都必須遵循“教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、主動探索、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、體會和運用數(shù)學(xué)思想與方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”[1]的《課標(biāo)（2011年版）》理念.

我們選擇探究活動方式的原則是：能由學(xué)生獨立探究完成的就不采用合作探究；能由學(xué)生合作探究完成的就不采用引導(dǎo)探究.在三種探究形式中，獨立探究是前提，合作探究、引導(dǎo)探究是獨立探究的補(bǔ)充和發(fā)展.數(shù)學(xué)探究活動的過程如圖1所示[2]：圖1

1.2探究活動的一般過程

一個完整的探究活動一般分為四個過程：

（1）提出問題

教師通過研究教學(xué)內(nèi)容和分析學(xué)生的接受能力，精心設(shè)計一系列的問題（不是一個問題，而是由幾個問題組成的“問題串”），呈現(xiàn)給學(xué)生.

（2）擬定探究方案

學(xué)生根據(jù)教師提出的問題，確定探究方向，擬定探究計劃.當(dāng)然這個方案的擬定很多情況下需要教師指導(dǎo).

（3）實施探究

這是探究活動的關(guān)鍵環(huán)節(jié).學(xué)生圍繞教師所提出的問題及確定的探究方案，著手收集與問題相關(guān)的信息，進(jìn)行一系列的活動（如閱讀教材、獨立思考、分析判斷、實驗操作，推理驗算、歸納總結(jié)、相互交流等），在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動的過程中，進(jìn)行自主探究學(xué)習(xí)，并且經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程.

（4）形成結(jié)論

學(xué)生在探究的基礎(chǔ)上，根據(jù)邏輯關(guān)系和推理，找到問題的癥結(jié)所在，對其中的因果關(guān)系形成自己的解釋.當(dāng)然，結(jié)論的歸納、總結(jié)往往需要教師的點撥和引導(dǎo).

學(xué)生開展探究活動不一定嚴(yán)格按照這四個過程（如不一定要制定探究方案）進(jìn)行，但第一個和第三個過程是不可缺少的.筆者認(rèn)為，只要學(xué)生在問題的引導(dǎo)下能積極開展觀察、思考、計算、推理、討論等活動自主獲得結(jié)論，就算經(jīng)歷了一個很有意義的探究活動.數(shù)學(xué)教學(xué)中長期堅持這樣的練習(xí)，學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)能力將會得到提高和發(fā)展.

1.3開展探究活動的教育教學(xué)價值

澳大利亞一個物理教師曾經(jīng)說過，他第一個十年在教物理，第二個十年在引導(dǎo)學(xué)生探究物理，第三個十年在為進(jìn)行探究的學(xué)生提供支持和幫助.這位物理老師的話，很值得我們數(shù)學(xué)老師思考與借鑒.在數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生開展探究活動的意義主要表現(xiàn)在以下三個方面：

（1）加深對數(shù)學(xué)知識的理解

對于任何知識（當(dāng)然包括數(shù)學(xué)知識），如果是學(xué)生通過探究活動自己發(fā)現(xiàn)的，將比教師直接講授印象深刻，記憶長遠(yuǎn).因為學(xué)生對通過探究得到的知識不僅“知其然”，而且還能“知其所以然”，從而達(dá)到對數(shù)學(xué)知識的深層次理解和掌握.

（2）學(xué)會研究問題的一般方法

學(xué)生通過探究獲得知識的同時，將會經(jīng)歷一系列的活動，在經(jīng)歷這些活動的過程中，可積累研究問題的經(jīng)驗，掌握研究問題的一般方法，這對于他們繼續(xù)學(xué)習(xí)直至將來的工作都具有重要的意義.

（3）有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識

《課標(biāo)（2011年版）》倡導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生的“創(chuàng)新意識”，這種意識形成的前提是要具備一定的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力.學(xué)生通過開展探究活動，能體驗獲得成功的樂趣，鍛煉克服困難的意志，建立自信心，能形成科學(xué)的態(tài)度和習(xí)慣，形成實事求是、精益求精、客觀公正、敢于創(chuàng)新的精神，這些都是學(xué)生創(chuàng)新意識形成過程中不可或缺的因素，也是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)教育教學(xué)的崇高目標(biāo).2精心設(shè)計探究問題

開展探究活動，關(guān)鍵是設(shè)計好的問題，這樣的“問題”不同于一般的數(shù)學(xué)題.羅增儒教授認(rèn)為，這樣的數(shù)學(xué)題具有一些基本的特征，其中之一是“探究性”，即對于這樣的問題，我們“沒有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法”，學(xué)生不能簡單地模仿現(xiàn)成的公式或沿用常規(guī)的解題套路，需要進(jìn)行觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等探究活動才能解決[3].設(shè)計這樣的問題，需要教師在備課中多下功夫，因此，許多老師感覺不如用傳統(tǒng)的講授法省時省力，下面的考題對于倡導(dǎo)實施探究教學(xué)具有“指揮棒”的作用.

2.1原題呈現(xiàn)

問題提出（2016年青島市中考數(shù)學(xué)第23題）如何將邊長為n（n≥5，且n為整數(shù)）的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形（a×b的矩形指邊長分別為a，b的矩形）？

問題探究我們先從簡單的問題開始研究解決，再把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題.

探究一

如圖2①，當(dāng)n=5時，可將正方形分割為五個1×5的矩形.

如圖2②，當(dāng)n=6時，可將正方形分割為六個2×3的矩形.

如圖2③，當(dāng)n=7時，可將正方形分割為五個1×5的矩形和四個2×3的矩形.

如圖2④，當(dāng)n=8時，可將正方形分割為八個1×5的矩形和四個2×3的矩形.

如圖2⑤，當(dāng)n=9時，可將正方形分割為九個1×5的矩形和六個2×3的矩形.

探究二

當(dāng)n=10，11，12，13，14時，分別將正方形按下列方式分割（圖3）：

所以，當(dāng)n=10，11，12，13，14時，均可將正方形分割為一個5×5的正方形、一個

（n-5）×（n-5）的正方形和兩個5×（n-5）的矩形.顯然，5×5的正方形和5×（n-5）的矩形均可分割為1×5的矩形，而（n-5）×（n-5）的正方形是邊長分別為5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割為一些1×5或2×3的矩形.

探究三

當(dāng)n=15，16，17，18，19時，分別將正方形按下列方式分割（圖4）：

請按照上面的方法，分別畫出邊長為18，19的正方形分割示意圖.

由上圖，當(dāng)n=15，16，17，18，19時，均可將正方形分割為一個10×10的正方形、一個（n-10）×（n-10）的正方形和兩個10×（n-10）的矩形.顯然，10×10的正方形和10×（n-10）的矩形均可分割為1×5的矩形，而（n-10）×（n-10）的正方形又是邊長分別為5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割為一些1×5或2×3的矩形.

問題解決如何將邊長為n（n≥5，且n為整數(shù)）的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形？請按照上面的方法畫出分割示意圖，并加以說明.

實際應(yīng)用如何將邊長為61的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形？（只需按照探究三的方法畫出分割示意圖即可）

2.2分析解答

本題分為“問題提出——問題探究——問題解決——實際應(yīng)用”四個部分，題目敘述篇幅較長，需要學(xué)生有較強(qiáng)的閱讀理解能力.

第一部分提出“問題”：如何將邊長為n（n≥5，且n為整數(shù)）的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形？這是核心目的，通過后面的一系列探究活動，最終得到計算的通解（模型）：可分割成一個5m×5m的正方形，一個（n-5m）×（n-5m）的正方形和兩個5m×（n-5m）的矩形.

為了引導(dǎo)學(xué)生解決這個問題，題目給出了第二部分（問題探究），這部分是針對核心問題而精心設(shè)計的，它從n的最小值出發(fā)，采用逐漸增大的方法，由三個探究活動構(gòu)成：

第一個，令n≥5，當(dāng)n=5，6，7，8，9時，直接給出了將正方形分割的情況（如圖2），這是第二部分整個探究活動的關(guān)鍵和突破口，有了這個探究活動作為基礎(chǔ)，后面的活動就有了方向和思路.

第二個，直接給出當(dāng)n=10，11，12，13，14時將正方形分割的情況（如圖3）

這兩個探究活動是第二部分的關(guān)鍵，相當(dāng)于教科書中的“例題”，目的是讓學(xué)生探究分割一類圖形問題的通用方法，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，積累探究經(jīng)驗.

第三個，原題直接給出n=15，16，17時的分割結(jié)果（圖4的前三個圖），讓學(xué)生仿照這三個分割結(jié)果，給出當(dāng)n=18，19時的分割結(jié)果.對于這個問題只要學(xué)生真正領(lǐng)悟了前兩個探究活動的“實質(zhì)”，仿照其方法，就能畫出當(dāng)n=18，19時的分割圖（如圖5）.

第三部分問題解決，回到本題的核心，當(dāng)正方形的邊長為n（n≥5，且n為整數(shù)）時，按圖6的方式均可將正方形分割為一個5m×5m的正方形，一個（n-5m）×（n-5m）的正方形和兩個5m×（n-5m）的矩形.顯然5m×5m的正方形和5m×（n-5m）的矩形均可分割為1×5的矩形，而（n-5m）×（n-5m）的正方形又是邊長分別為5，6，7，8，9的正方形，用探究的方法可分割為一些1×5或2×3的矩形.

第四部分實際應(yīng)用的答案如圖7所示.圖6圖7