王婷婷　張凌梓

摘 要：函數(shù)是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，是微積分、級數(shù)理論、解析幾何、實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)等數(shù)學(xué)分支的主要研究對象，是中學(xué)及中學(xué)以上學(xué)生必修的內(nèi)容。在實(shí)際生活中函數(shù)應(yīng)用十分廣泛，解決了很多領(lǐng)域中的難題并推進(jìn)其發(fā)展。教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要材料，是教師進(jìn)行教學(xué)的主要依據(jù)。本文通過對初中、高中及大學(xué)三個(gè)階段數(shù)學(xué)教材中所涉及的函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行分析，總結(jié)了函數(shù)的概念、性質(zhì)、發(fā)展在三個(gè)階段中的變化，并依此對教師如何開展函數(shù)教學(xué)提出了切實(shí)的建議。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；教材；教學(xué)建議

函數(shù)是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一， 函數(shù)論①更是數(shù)學(xué)的基本組成部分，歐拉在《無限小分析引論》中明確指出 “數(shù)學(xué)分析②是關(guān)于函數(shù)的科學(xué)”。在笛卡爾正式引入變量以后，變量和函數(shù)等概念就日益滲透到解釋宇宙、光和熱的傳導(dǎo)、電磁揭秘以及探索天體運(yùn)行規(guī)律等科技領(lǐng)域，僅僅一個(gè)高斯函數(shù)，在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)、社會科學(xué)以及工程學(xué)等領(lǐng)域就都能看到它的身影。函數(shù)如此重要，其性質(zhì)、種類之多，內(nèi)容本身之抽象，應(yīng)用之廣泛，決定了函數(shù)內(nèi)容在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的絕對重要地位。要想學(xué)好函數(shù)知識，相應(yīng)的教材質(zhì)量無疑處于舉足輕重的地位。教材是根據(jù)課程計(jì)劃、課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生接受能力編寫的教學(xué)用書，是課程標(biāo)準(zhǔn)的具體化，是學(xué)生自學(xué)的有力輔助工具，更是教師進(jìn)行教學(xué)的主要依據(jù)。優(yōu)質(zhì)的教材可以減輕師生課業(yè)負(fù)擔(dān)，可以為師生的教與學(xué)提供基本依據(jù)和規(guī)范，可以為學(xué)好函數(shù)知識打下良好的基礎(chǔ)。

一、函數(shù)在初中、高中、大學(xué)三階段教材中的特點(diǎn)

本文選取人民教育出版社的初中《數(shù)學(xué)》[1]、高中《數(shù)學(xué)：必修一》[2]

和同濟(jì)大學(xué)出版社的《大學(xué)數(shù)學(xué)：理工類》[3]這些運(yùn)用廣泛的數(shù)學(xué)教材，對其函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行分析，歸納出以下特點(diǎn)。

1.概念界定不同

任何一門學(xué)科的知識都是由比較精確的概念構(gòu)成，概念的精確程度是學(xué)科成熟程度的標(biāo)志。函數(shù)概念的發(fā)展是個(gè)漫長的過程，從古希臘時(shí)期阿基米德在《論數(shù)砂》中研究數(shù)列關(guān)系引出“變量”的觀念開始，到1673年德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨首次提出“函數(shù)”（Function）概念，再到1837年德國數(shù)學(xué)家狄利克雷給出簡明精確、突出函數(shù)本質(zhì)的經(jīng)典定義③，眾多學(xué)者付出的艱辛與努力是不言而喻的。以下是上述三個(gè)階段教材中函數(shù)的概念：

初中：在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量（independent variable），y是x的函數(shù)（function）。

高中：一般的，我們有：設(shè)A、B是非空的集合，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一 個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)

f（x）和它對應(yīng)，那么就有f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作 y=f（x），x∈A。其中，x是自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；它所對應(yīng)y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。

大學(xué)：一般的，設(shè)x，y是兩個(gè)變量，當(dāng)x在某個(gè)數(shù)集D（即x的取值范圍）內(nèi)取任意一個(gè)確定的值，按照某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，y都有唯一的值與x對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是變量x的函數(shù)，數(shù)集D是這個(gè)函數(shù)的定義域。我們通常將y是x的函數(shù)記作y=f（x），x∈D。當(dāng)自變量x在定義域中去確定的值a時(shí)，它所對應(yīng)的函數(shù)值記作f（a），所有函數(shù)的值組成的集合叫做函數(shù)的值域。

從上述概念中我們可以看到，三個(gè)階段的概念都突出了函數(shù)的本質(zhì)，即變量之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系。初中階段的函數(shù)概念為傳統(tǒng)定義，僅提到兩個(gè)變量間的簡單對應(yīng)；學(xué)習(xí)了集合概念后，高中和大學(xué)階段的概念用的是現(xiàn)代定義，即兩個(gè)非空集合或某個(gè)數(shù)集間的對應(yīng)。

2.自變量的個(gè)數(shù)及次數(shù)逐步增加

不管是自變量的個(gè)數(shù)還是次數(shù)發(fā)生變化，函數(shù)的本質(zhì)都沒變，依然是兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系。對于自變量的個(gè)數(shù)，體現(xiàn)為依次增加。初、高中階段常見的有一元函數(shù)與二元函數(shù)。到大學(xué)階段，涉及自變量的個(gè)數(shù)超過兩個(gè)的函數(shù)我們稱之為多元函數(shù)；對于自變量的次數(shù)，同樣依次增加，常見的有一次函數(shù)和二次函數(shù)?？梢?，在函數(shù)本質(zhì)保持不變的情況下，自變量的個(gè)數(shù)和次數(shù)都在逐步增加。

3.內(nèi)容漸趨復(fù)雜且由具體變抽象

內(nèi)容的復(fù)雜程度增大：變量的個(gè)數(shù)與次數(shù)逐步增加也體現(xiàn)函數(shù)的復(fù)雜程度在增大。初中八、九年級我們只是簡單學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例、反比例的概念及解決相關(guān)變量之間對應(yīng)關(guān)系的問題。到高中階段，除了學(xué)習(xí)相關(guān)概念，又認(rèn)識了基本初等函數(shù)，接觸了函數(shù)的一些重要基本性質(zhì)。到大學(xué)階段，在前兩者的基礎(chǔ)上對函數(shù)的認(rèn)識更深一步：認(rèn)識了更多的初等函數(shù)，變量由一元變?yōu)槎?，函?shù)的性質(zhì)也被挖掘的更深更廣。在此過程中最重要的變化，毋庸置疑就是根據(jù)對解析幾何、物理等的直觀問題的需要，引出了人類智慧最偉大的成就之一[4]、人類精神的最高勝利——微積分的概念。

內(nèi)容由具體變抽象：初中和高中涉及得的章節(jié)都會有相應(yīng)的實(shí)際問題與所學(xué)函數(shù)內(nèi)容相對應(yīng)，比如，學(xué)習(xí)了三角函數(shù)知識就可以幫助解決如何把自己的庭院合理規(guī)劃的問題；學(xué)習(xí)了一元二次函數(shù)，就可以找出最值，當(dāng)涉及利益時(shí)，就可以找到最優(yōu)值得到最大利益。而大學(xué)的重點(diǎn)在于對概念弱抽象①、性質(zhì)深化和內(nèi)容抽象化上，比如，在初中的概念中只是簡單點(diǎn)明函數(shù)的本質(zhì)，定義域或值域都沒有涉及，而在大學(xué)中明顯感覺接觸到了目不暇接的函數(shù)：橋函數(shù)、整函數(shù)、庫函數(shù)、波函數(shù)、罰函數(shù)、解析函數(shù)、廣義函數(shù)、半純函數(shù)、橢圓函數(shù)、格林函數(shù)、哈爾函數(shù)等。

4.應(yīng)用更廣泛

函數(shù)的發(fā)展在很大程度上是基于物理、天文等學(xué)科上眾多問題的出現(xiàn)，這些學(xué)科重在揭示世界奧秘、解決社會實(shí)際問題，所以隨著各種難題的出現(xiàn)與解決，函數(shù)實(shí)際應(yīng)用越來越廣泛。比如，初高中階段的函數(shù)知識可以幫助商人求得最大利潤、最佳實(shí)施方案，可以幫助建筑師求得最佳建地面積等；在大學(xué)階段我們學(xué)習(xí)得知，定積分、反常積分以及級數(shù)被應(yīng)用到諸多領(lǐng)域：無窮積分在天體運(yùn)動中的求解、定積分在物理學(xué)中求物體的做功以及傅里葉級數(shù)在信號的處理與傳輸方面的應(yīng)用。隨著我們對函數(shù)的不斷深入學(xué)習(xí)，其涉及的領(lǐng)域愈加廣泛，應(yīng)用領(lǐng)域逐漸拓展。

二、對教師教學(xué)的建議

函數(shù)知識在不斷發(fā)展，對應(yīng)的教材也在不斷變化。如何使學(xué)生更好地掌握教材中的函數(shù)知識是教師教學(xué)的重難點(diǎn)?；诖?，探究教師開展高效函數(shù)教學(xué)的路徑就顯得尤為必要。

1.需有扎實(shí)深厚的函數(shù)知識儲備

教師的知識儲備直接反映學(xué)科知識結(jié)構(gòu)的內(nèi)在邏輯，教師如果掌握了函數(shù)的整個(gè)知識體系、知識本質(zhì)、知識來源和知識的發(fā)展情況，以及知識獲得的途徑和方法，對教材中函數(shù)內(nèi)容的整合、知識的篩選、及時(shí)發(fā)現(xiàn)缺陷并彌補(bǔ)缺陷將變得游刃有余。美國聯(lián)邦教師職業(yè)標(biāo)準(zhǔn)評定委員會規(guī)定，教師應(yīng)該“對他們所教的科目有著豐富的理解，懂得該科目的知識體系是怎樣組織，怎樣發(fā)展起來，怎樣與其他科目相聯(lián)系，以及如何用到現(xiàn)實(shí)世界中去”。教師扮演著不可替代的角色，教師扎實(shí)深厚的函數(shù)知識儲備可以優(yōu)化教學(xué)效果，可以促進(jìn)學(xué)生更好地學(xué)習(xí)。

2.需靈活處理教材中的函數(shù)知識

教師以教材為基礎(chǔ)教授學(xué)生知識，最基本也最重要的就是要領(lǐng)悟教材的編寫意圖、掌握教材的基本內(nèi)容，然后在此基礎(chǔ)上更優(yōu)化、更具創(chuàng)造性地使用教材。對于教材中的關(guān)于函數(shù)的內(nèi)容，任課教師通常會第一時(shí)間發(fā)現(xiàn)其中存在的問題或特殊現(xiàn)象，比如，發(fā)現(xiàn)初中階段教材和大學(xué)階段教材中出現(xiàn)內(nèi)容重疊的問題，發(fā)現(xiàn)初中、高中、大學(xué)三階段中皆多次提到信息技術(shù)與函數(shù)知識的結(jié)合的現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)有關(guān)函數(shù)的知識點(diǎn)在中學(xué)階段是重中之重。毋庸置疑，老師應(yīng)該集思廣益，思考如何把函數(shù)與其他學(xué)科知識更好地融合在一起，如何把高深的知識簡單化以便讓學(xué)生們更好地理解、吸收，如何解釋教材中出現(xiàn)的重復(fù)內(nèi)容和額外教授學(xué)生如何運(yùn)用信息技術(shù)處理函數(shù)圖像等。

3.需注意采用多種方式開展函數(shù)教學(xué)

函數(shù)內(nèi)容無疑越來越抽象、復(fù)雜，為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的興趣，教師也可使用多種方式開展函數(shù)教學(xué)。例如，體驗(yàn)式教學(xué)?？勺寣W(xué)生自己親身經(jīng)歷“問題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用與拓展”的解決問題的方式，體驗(yàn)自己動手、自主探索及與他人共同合作交流的學(xué)習(xí)過程，主動去發(fā)現(xiàn)、探索函數(shù)奧秘，不僅可以鍛煉思維能力，而且可以獲得研究問題的經(jīng)驗(yàn)和技能，增強(qiáng)自信心。情景式教學(xué)。教師可模擬現(xiàn)實(shí)生活中話費(fèi)套餐推銷員與顧客交談場景，教會學(xué)生如何利用所學(xué)函數(shù)知識找出最適合自己的話費(fèi)套餐。翻轉(zhuǎn)課堂式教學(xué)。同學(xué)們提前利用互聯(lián)網(wǎng)上的各種優(yōu)質(zhì)資源對函數(shù)知識進(jìn)行初步了解，然后在課堂上作為主體與老師互動，老師則根據(jù)學(xué)生遇到的學(xué)習(xí)困惑有針對性地進(jìn)行教學(xué)、指導(dǎo)，進(jìn)而提高教學(xué)效率。簡而言之，教師應(yīng)多鼓勵學(xué)生在生活中主動收集有趣的、有意義的、富有挑戰(zhàn)的、與函數(shù)相關(guān)的材料，讓其從中真切體會函數(shù)在生活中的運(yùn)用。

函數(shù)在自然科學(xué)領(lǐng)域和生活中都扮演著很重要的角色，教師既是教育實(shí)踐活動的主體又是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要指導(dǎo)者，希望教師通過扎實(shí)深厚的函數(shù)知識功底，靈活運(yùn)用多種教學(xué)方式和靈活處理教材中的函數(shù)知識，多方面提升學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的興趣，使學(xué)生更好地掌握函數(shù)知識。

參考文獻(xiàn)：

[1]課程教材研究所.數(shù)學(xué)教材教科書[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2]課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修一[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]陳光曙.大學(xué)數(shù)學(xué)（理工類）[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2010.

[4]恩格斯.自然辯證法[M].北京：人民教育出版社，1971.